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七年級(jí)每名學(xué)生必須選兩門不同的課程，小明和小華在選課程的過程中，第一門都選了課程他倆決定隨機(jī)選擇第二門課程，請(qǐng)用列表法或樹狀圖的方法求他倆同時(shí)選到課程或課程的概率．
19. 本小題分
我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中記載有這樣一個(gè)問題：“今有甲、乙二人，持錢不知其數(shù)甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而錢亦五十問甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：今有甲、乙二人，各帶了若干錢如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢；如果乙得到甲所有錢的，那么乙也共有錢，問甲、乙二人各帶了多少錢？
求甲、乙兩人各帶的錢數(shù)；
若小明、小穎去文具店購(gòu)買作業(yè)本，兩人帶的錢數(shù)單位：元恰好等于甲、乙兩人各帶的錢數(shù)，已知作業(yè)本的單價(jià)為元本由于開學(xué)之際，文具店搞促銷活動(dòng)，凡消費(fèi)元可以打八折，那么他們合起來購(gòu)買可以比單獨(dú)購(gòu)買多多少本作業(yè)本？20. 本小題分
如圖所示，是的直徑，為的切線，為上的一點(diǎn)，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接若．
求證：為的切線；
求圖中陰影部分的面積．
21. 本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于第一、三象限內(nèi)的，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
在軸上找一點(diǎn)使最大，求的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)；
直接寫出當(dāng)時(shí)，的取值范圍．
22. 本小題分
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是循序漸進(jìn)、不斷延伸拓展的，數(shù)學(xué)知識(shí)往往起源于人們?yōu)榱私鉀Q某些問題，通過觀察、測(cè)量、思考、猜想出的一些結(jié)論但是所猜想的結(jié)論不一定都是正確的人們從已有的知識(shí)出發(fā)，經(jīng)過推理、論證后，如果所猜想的結(jié)論在邏輯上沒有矛盾，就可以作為新的推理的前提，數(shù)學(xué)中稱之為定理．
推理證明：
在八年級(jí)學(xué)習(xí)等腰三角形和直角三角形時(shí)，借助工具測(cè)量就能夠發(fā)現(xiàn)：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，當(dāng)時(shí)并未說明這個(gè)結(jié)論的正確性九年級(jí)學(xué)習(xí)了矩形的判定和性質(zhì)之后，就可以解決這個(gè)問題了如圖，在中，若是斜邊上的中線，則，請(qǐng)你用矩形的性質(zhì)證明這個(gè)結(jié)論的正確性．
遷移運(yùn)用：利用上述結(jié)論解決下列問題：
如圖，在線段異側(cè)以為斜邊分別構(gòu)造兩個(gè)直角三角形與，、分別是、的中點(diǎn)，判斷與的位置關(guān)系并說明理由；
如圖，?對(duì)角線、相交于點(diǎn)，分別以、為斜邊且在同側(cè)分別構(gòu)造兩個(gè)直角三角形與，求證：?是矩形．23. 本小題分
如圖，拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)．
求拋物線的解析式；
在直線下方的拋物線上有一點(diǎn)，使得的面積最大，求點(diǎn)的坐標(biāo)以及的面積的最大值．
點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作軸于，是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，直接寫出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
最小的實(shí)數(shù)是．
故選：．
根據(jù)選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)，可以比較它們的大小，從而可以解答本題．
本題考查實(shí)數(shù)大小的比較，解答此類問題的關(guān)鍵是明確負(fù)數(shù)小于小于正數(shù)．
2.【答案】 【解析】解：億．
故選：．
用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中，為整數(shù)，且比原來的整數(shù)位數(shù)少，據(jù)此判斷即可．
此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，其中，確定與的值是解題的關(guān)鍵．
3.【答案】 【解析】解：、與不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，故本選項(xiàng)正確，符合題意；
故選：．
根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
本題考查合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵．
4.【答案】 【解析】解：、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；
D、軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選C．
根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)度后兩部分重合．
5.【答案】 【解析】解：如圖所示，
，
，
，
，
；
故選：．
根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出，根據(jù)平行線性質(zhì)得出，代入求出即可．
本題考查了平行線性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
6.【答案】 【解析】解：圓錐不可能得到長(zhǎng)方形截面，
故能得到長(zhǎng)方形截面的幾何體有：圓柱、長(zhǎng)方體、四棱柱，一共有個(gè)．
故選：．
根據(jù)圓柱、長(zhǎng)方體、圓錐、四棱柱的形狀判斷即可，可用排除法．
本題考查幾何體的截面，關(guān)鍵要理解面與面相交得到線，注意：截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)．
7.【答案】 【解析】解：乙和丁的平均數(shù)較大，
從乙和丁中選擇一人參加競(jìng)賽，
丁的方差較小，
選擇丁參加比賽，
故選：．
首先比較平均數(shù)，平均數(shù)相同時(shí)選擇方差較小的參加比賽．
此題考查了平均數(shù)和方差，方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．
8.【答案】 【解析】解：設(shè)小明答對(duì)了道題．
則：，
解得：，
小明至少答對(duì)了道題．
故選：．
根據(jù)題意可得，關(guān)系式為：答對(duì)的題數(shù)其余題數(shù)，進(jìn)而得出答案．
此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，找到相應(yīng)的不等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，
9.【答案】 【解析】解：四邊形為的內(nèi)接四邊形，
，
由圓周角定理得：，
四邊形為菱形，
，
，
解得：，
故選：．
根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，計(jì)算即可．
本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、菱形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
10.【答案】 【解析】解：拋物線開口向下，
，
拋物線對(duì)稱軸為直線，
，
拋物線與軸的交點(diǎn)在軸正半軸，
，
，故錯(cuò)誤；
拋物線的對(duì)稱軸是直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，
拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，，
，故正確；
拋物線開口向下，
離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)，函數(shù)值越大，
，
，故正確；
，為方程的兩個(gè)根，
把，看作二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
，故錯(cuò)誤．
說法正確的有．
故選：．
利用拋物線的開口方向、對(duì)稱軸的位置、拋物線與軸交點(diǎn)的位置即可判斷，，的符號(hào)；根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸和與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)可算出另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷，的大小關(guān)系；把，看作二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象即可判斷，的取值范圍．
本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)時(shí)，拋物線向下開口；還可以決定開口大小，越大開口就越?。?/span>一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)與同號(hào)時(shí)即，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)與異號(hào)時(shí)即，對(duì)稱軸在軸右側(cè)．簡(jiǎn)稱：左同右異常數(shù)項(xiàng)決定拋物線與軸交點(diǎn)：拋物線與軸交于拋物線與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)：時(shí)，拋物線與軸有個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，拋物線與軸有個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，拋物線與軸沒有交點(diǎn)．
11.【答案】 【解析】解：原式．
故答案為：．
直接找出公因式提取公因式分解因式即可．
此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．
12.【答案】： 【解析】解：兩個(gè)相似三角形的相似比為：，
它們的面積比：．
故答案為：：．
根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得到它們的面積比．
本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積的比等于相似比的平方．
13.【答案】 【解析】解：，
，，
，，
．
故答案為：．
根據(jù)偶次方的性質(zhì)和算術(shù)平方根的非負(fù)性得出，的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可得出答案．
此題考查了算術(shù)平方根和算術(shù)平方根的非負(fù)性，能求出、的值是解此題的關(guān)鍵．
14.【答案】 【解析】解：如圖，過點(diǎn)作于，
則四邊形是矩形，
，，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
．
即樹的高度為．
故答案為：．
過點(diǎn)作于，則四邊形是矩形，證是等腰直角三角形，得，即可得出答案．
本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是通過添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
15.【答案】 【解析】解：取中點(diǎn)，連接，，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
的最小值是．
故答案為：．
取中點(diǎn)，連接，，由直角三角形的性質(zhì)得到的長(zhǎng)，由，即可求出的最小值．
本題考查求線段最小值的問題，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是通過作輔助線得到．
16.【答案】解：原式
，
當(dāng)，時(shí)，
原式． 【解析】直接利用乘法公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而計(jì)算得出答案．
此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵．
17.【答案】 【解析】證明：在菱形中，，，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：在菱形中，，
，，
∽，
：：，
，
：：，
菱形邊長(zhǎng)為，
，
，
故答案為：．
根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，進(jìn)一步可得，根據(jù)可證≌；
根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，進(jìn)一步可證∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得：：，即可求出的長(zhǎng)．
本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18.【答案】 【解析】解：把這些數(shù)從小到大排列為：、、、、、、、、，
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是分，
出現(xiàn)了次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
眾數(shù)是分；
故答案為：，；
根據(jù)題意得：
人，
答：估算七年級(jí)選擇課程的學(xué)生成績(jī)?cè)?/span>分的人數(shù)是人；
故答案為：；
根據(jù)題意列樹狀圖如下：
共有種等可能的結(jié)果數(shù)，其中他倆同時(shí)選到課程或課程的概率有種，
則他倆同時(shí)選到課程或課程的概率是．
根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進(jìn)行求解即可；
用總?cè)藬?shù)乘以分的人數(shù)所占的百分比即可；
畫樹狀圖展示所有種等可能的結(jié)果數(shù)，找出他倆同時(shí)選到課程或課程的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．
本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再?gòu)闹羞x出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式計(jì)算事件或事件的概率．
19.【答案】解：設(shè)甲有錢，乙有錢，
根據(jù)題意，得，
解得，
答：甲有錢，乙有錢；
本，
，取正整數(shù)本，
本，
答：他們合起來購(gòu)買可以比單獨(dú)購(gòu)買多本作業(yè)本． 【解析】設(shè)甲有錢，乙有錢，根據(jù)如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢；如果乙得到甲所有錢的，那么乙也共有錢，列二元一次方程組，求解即可；
分別求出單獨(dú)購(gòu)買和合起來購(gòu)買的數(shù)量，進(jìn)一步求解即可．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意建立二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
20.【答案】證明：如圖，連接．
，
，
，，
，
，
為的切線，
，
，
，
是半徑，
為的切線；
解：，
，
，
，
，
，是的切線，
，
是等邊三角形，
，
，
，，
，
，
． 【解析】連接，證明，可得結(jié)論；
證明是等邊三角形，求出，再根據(jù)，求解即可．
本題主要考查切線的性質(zhì)和判定及扇形的計(jì)算，掌握切線問題中的兩種輔助線的作法及扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
21.【答案】解：把代入，可得，
反比例函數(shù)的解析式為；
把點(diǎn)代入，可得，
．
把，代入，可得，
解得，
一次函數(shù)的解析式為；
一次函數(shù)的解析式為，令，則，
一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，
當(dāng)，，共線時(shí)時(shí)，最大，即為所求，
令，則，
，
．
當(dāng)時(shí)，或． 【解析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求線段長(zhǎng)，正確掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
利用待定系數(shù)法，即可得到反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
根據(jù)一次函數(shù)，求得與軸的交點(diǎn)，此交點(diǎn)即為所求；
根據(jù)直線在反比例函數(shù)圖象的上方，找到的取值范圍．
22.【答案】證明：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，
為斜邊上的中線，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
?是矩形，
，
；
解：垂直平分，理由如下：
連接，，
在中，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，
，
在中，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，
，
，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
垂直平分；
證明：連接，
四邊形是平行四邊形，
點(diǎn)為、的中點(diǎn)，
，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
，
?為矩形． 【解析】延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，利用矩形的性質(zhì)得?是矩形，則，即可證明結(jié)論；
連接，，利用中結(jié)論可得，，則，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
連接，利用中結(jié)論可得，，則，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形即可證明．
本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23.【答案】解：設(shè)拋物線的解析式為，
點(diǎn)在拋物線上，
，
，
拋物線的解析式為；
如圖，
當(dāng)點(diǎn)在拋物線上，且使的面積最大，
必有平行于直線的直線，且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；
，，
直線解析式為，
設(shè)直線解析式為，
拋物線的解析式為；
聯(lián)立化簡(jiǎn)得，，
，
，
，
，
，
又，，
；
如圖，
過點(diǎn)作，
，，
，，
，
設(shè)點(diǎn)，
，，
，
以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，
，
，
聯(lián)立解得舍或或，
或
，
，
聯(lián)立解得，或舍或，
或，
綜上，得到點(diǎn)或或或． 【解析】用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
先判斷出平行于，并且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，從而確定出點(diǎn)的坐標(biāo)；
以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，分兩種情況討論計(jì)算即可．
本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，極值的確定，相似三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)的坐標(biāo)，分類討論是解本題的難點(diǎn)．
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