2022.09
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
2. 在等差數(shù)列中，，，則值是（ ）
A. 9B. 11C. 13D. 15
3. 記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則
A B. C. D.
4. 已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 若是等比數(shù)列中的項，且不等式的解集是，則的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 若直線經(jīng)過、兩點，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
7. 三個實數(shù)成等差數(shù)列，首項是，若將第二項加、第三項加可使得這三個數(shù)依次構(gòu)成等比數(shù)列，則的所有取值中的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知數(shù)列滿足，且，，則（ ）
A. B. C. D.
二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. （多選題）已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直線AB與直線CD平行，則m的值為（ ）
A. 1B. 0C. 2D. -1
10. 已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且，，則（ ）．
A. B. C. D.
11. 在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，若，，則下列說法正確的是
A.
B. 數(shù)列是等比數(shù)列
C.
D. 數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列
12. 等差數(shù)列是遞增數(shù)列，滿足，前項和為，下列選項正確的是（ ）
A B.
C. 當時最小D. 時的最小值為
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 在等比數(shù)列中，若，，則數(shù)列的公比為___________.
14. 已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且，，成等差__________．
15. 若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三點共線，則________.
16. 已知數(shù)列滿足：，，，，則______．
四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知點，在坐標軸上求一點P，使直線PA的傾斜角為60°.
18. 在遞增的等比數(shù)列中，已知，.
（1）求等比數(shù)列的前和；
（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前和.
19. 已知直線經(jīng)過點、，直線經(jīng)過點?，
（1）若，求的值；
（2）若的傾斜角為銳角，求的取值范圍.
20. 已知數(shù)列的前n項和為.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2） 求數(shù)列的前n項和.
21. 已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和，．
（1）求數(shù)列通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項的和．
22. 已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且，，，成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)是首項為1，公比為3等比數(shù)列，
①求數(shù)列的前項和；
②若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的最大值.
2022-2023學(xué)年第一學(xué)期汾湖高級中學(xué)九月教學(xué)調(diào)研測試
高二數(shù)學(xué)試卷
2022.09
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】求得傾斜角的正切值即得．
【詳解】k=tan120°=.
故選：B．
2. 在等差數(shù)列中，，，則的值是（ ）
A. 9B. 11C. 13D. 15
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算．
【詳解】∵是等差數(shù)列，∴，，，，
∴．
故選：B．
【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題方便快捷．本題也可利用等差數(shù)列的基本量法求解．
3. 記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】等差數(shù)列通項公式與前n項和公式．本題還可用排除，對B，，，排除B，對C，，排除C．對D，，排除D，故選A．
【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．
【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關(guān)于首項與公差的方程，解出首項與公差，在適當計算即可做了判斷．
4. 已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用等比數(shù)列片段和性質(zhì)可求得的值.
【詳解】由等比數(shù)列片段和的性質(zhì)可知，、、成等比數(shù)列，
所以，，即，解得.
故選：C.
5. 若是等比數(shù)列中的項，且不等式的解集是，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根據(jù)給定的條件，結(jié)合韋達定理求出，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)計算作答.
【詳解】因不等式的解集是，則是方程的兩根，
有，即有，
而是等比數(shù)列中的項，則，且，
所以.
故選：C
6. 若直線經(jīng)過、兩點，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】計算出的取值范圍，結(jié)合角的取值范圍可求得結(jié)果.
【詳解】由題意可得，又因為，故.
故選：C.
7. 三個實數(shù)成等差數(shù)列，首項是，若將第二項加、第三項加可使得這三個數(shù)依次構(gòu)成等比數(shù)列，則的所有取值中的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】設(shè)原來的三個數(shù)為、、，根據(jù)題意可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得解.
【詳解】設(shè)原來的三個數(shù)為、、，
由題意可知，，，，且，
所以，，即，解得或.
則的所有取值中的最小值是.
故選：D.
8. 已知數(shù)列滿足，且，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由可得，從而得數(shù)列以為首項，2為公比等比數(shù)列，根據(jù)，可化為，從而即可求得答案.
【詳解】由可得，
若，則，與題中條件矛盾，故，
所以，即數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以
，所以，
故選：A．
二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. （多選題）已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直線AB與直線CD平行，則m的值為（ ）
A. 1B. 0C. 2D. -1
【答案】AB
【分析】先分析直線斜率不存在時，即時，直線與直線是否平行，再分析當，兩直線的斜率相等，求出，得到答案.
【詳解】（1）當時，直線，，故直線AB與直線CD平行；
（2）當時，直線的斜率為，的斜率為，
則，得，此時直線的方程為：，的方程為，
直線AB與直線CD平行.
故選：AB.
【點睛】本題考查了已知兩點求直線的斜率，兩直線平行的應(yīng)用，注意分類討論直線斜率是否存在，屬于基礎(chǔ)題.
10. 已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且，，則（ ）．
A. B. C. D.
【答案】BD
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求公差和，從而可判斷ABCD的正誤.
【詳解】因為，，故，故A錯誤，B正確.
而，故C錯誤，D正確.
故選：BD.
11. 在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，若，，則下列說法正確的是
A.
B. 數(shù)列是等比數(shù)列
C.
D. 數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列
【答案】ABC
【分析】由，，，，公比為整數(shù)．解得，．可得，，進而判斷出結(jié)論．
【詳解】解：，，，，公比為整數(shù)．
解得．
，．
，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列．
．
．數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．
綜上可得：只有ABC正確．
故選：ABC．
12. 等差數(shù)列是遞增數(shù)列，滿足，前項和為，下列選項正確的是（ ）
A. B.
C. 當時最小D. 時的最小值為
【答案】ABD
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，求得，根據(jù)數(shù)列是遞增數(shù)列，得到A、B正確；再由前項和公式，結(jié)合二次函數(shù)和不等式的解法，即可求解．
【詳解】解：由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為，可得，解得，
又由等差數(shù)列是遞增數(shù)列，可知，則，故A、B正確；
因為，
由可知，當或4時最小，故C錯誤，
令，解得或，即時的最小值為8，故D正確．
故選：ABD．
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 在等比數(shù)列中，若，，則數(shù)列的公比為___________.
【答案】
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用等比通項公式得到公比，從而得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，
∴，
∴數(shù)列的公比為，
故答案為：
14. 已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且，，成等差__________．
【答案】
【詳解】由題意得
15. 若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三點共線，則________.
【答案】
【分析】由斜率相等得的關(guān)系．
【詳解】解析：由題意得，
ab+2(a+b)=0，．
故答案為：．
16. 已知數(shù)列滿足：，，，，則______．
【答案】81
【分析】根據(jù)給定條件構(gòu)造新數(shù)列使，計算并探求函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因當時，，則，
令，，于是有，且，，
因此，，
從而得數(shù)列是周期數(shù)列，周期為6，而，則，即，
所以.
故答案為：81
四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知點，在坐標軸上求一點P，使直線PA的傾斜角為60°.
【答案】或.
【分析】分類討論，當點P在x軸上時，設(shè)點，利于斜率即可求出，當點P在y軸上時，設(shè)點，利用斜率公式可求.
【詳解】①當點P在x軸上時，設(shè)點.
又，
∴直線PA的斜率又直線PA的傾斜角為，
∴，解得，
∴點P的坐標為.
②當點P在y軸上時，設(shè)點，同理可得，
∴點P的坐標為.
故所求點P的坐標為或.
【點睛】本題主要考查了直線的斜率公式，涉及分類討論思想，屬于中檔題.
18. 在遞增的等比數(shù)列中，已知，.
（1）求等比數(shù)列的前和；
（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前和.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）求出等比數(shù)列的公比和首項，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得；
（2）求得，利用裂項相消法可求得.
【小問1詳解】
解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
由題意可得，則，則，
所以，，.
【小問2詳解】
解：由（1），所以，
所以，
所以：.
19. 已知直線經(jīng)過點、，直線經(jīng)過點?，
（1）若，求的值；
（2）若的傾斜角為銳角，求的取值范圍.
【答案】（1）或
（2）
【分析】（1）分、兩種情況討論，在第一種情況下，直接驗證，在第二種情況下，利用斜率關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)等式，解之即可；
（2）由題意可知，直線的斜率為正數(shù)，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.
小問1詳解】
解：當時，直線的斜率不存在，此時直線的斜率為，滿足；
當時，由，設(shè)直線、的斜率分別為、，
可得，即，解得，
所以當時，的值是或.
【小問2詳解】
解：因為直線經(jīng)過點?，所以直線的斜率，
又因為直線的傾斜角為銳角，所以，即，
即，解得，故的取值范圍是.
20. 已知數(shù)列的前n項和為.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2） 求數(shù)列的前n項和.
【答案】（1），（2）
【分析】（1）利用求解數(shù)列通項公式；
（2）由（1）由得，然后分和兩種情況對化簡求解即可
【詳解】解：（1）當時，，即，
當時，，
時，滿足上式，
所以
（2）由得，而，
所以當時，，當時，，
當時，，
當時，
，
所以
【點睛】此題考查的關(guān)系，考查數(shù)列求和的方法，考查分類思想，屬于基礎(chǔ)題
21. 已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項的和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1），先求出，利用和的關(guān)系，化簡可得出，再根據(jù)等差數(shù)列的定義可證明數(shù)列為等差數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項公式；
（2）數(shù)列的前項的和，又，，，是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，再運用等差數(shù)列的前項和公式，即可求得數(shù)列的前項的和.
【詳解】解：（1）當時，，即或，
因為，所以，
當時，，，
兩式相減得：，
又因為，所以，所以，
則數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，
所以.
（2）
，
又，，...，是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，
所以，
故．
【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前項和公式的應(yīng)用，考查和的關(guān)系的應(yīng)用，以及利用等差數(shù)列的定義證明等差數(shù)列，考查化簡運算能力.
22. 已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且，，，成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，
①求數(shù)列的前項和；
②若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的最大值.
【答案】（1）；（2）①；②.
【分析】（1）由可得，再由，，成等比數(shù)列可得，解出即可求出通項公式；
（2）①可得，利用錯位相減法即可求出；
②不等式對一切恒成立，等價于對一切恒成立，利用單調(diào)性求出的最小值即可得出.
【詳解】（1），，
，，成等比數(shù)列，，即，
聯(lián)立方程解得，
；
（2）①， ，
，
，
兩式相減得
，
.
②由（1），
不等式對一切恒成立，等價于對一切恒成立，
令，則，
是單調(diào)遞增數(shù)列，，
.
【點睛】結(jié)論點睛：解決數(shù)列問題的常用方法：
（1）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和.
（2）對于數(shù)列不等式的恒成立問題，常常構(gòu)造數(shù)列，利用數(shù)列的單調(diào)性求最值.

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