2022-2023學(xué)年四川省遂寧市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．已知直線與直線平行，則值為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，解得：.經(jīng)檢驗(yàn)成立故選：B.2．已知a、b為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若，，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，，則【答案】C【分析】根據(jù)直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：若，，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，則或與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則，故C正確；對(duì)于D：若，，，則或與異面，故D錯(cuò)誤.故選：C.3．已知點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】因點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則AB中點(diǎn)在直線上且直線AB與直線垂直.【詳解】設(shè)，因點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則AB中點(diǎn)在直線上且直線AB與直線垂直，則，即點(diǎn)A坐標(biāo)為.故選：C4．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件A為“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B為“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事件C為“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，事件D為“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是1或3”，則下列每對(duì)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件的是（    ）A．A與B B．B與D C．A與D D．B與C【答案】B【分析】事件和是對(duì)立事件，事件和是互斥事件但不是對(duì)立事件，事件和不是互斥事件，事件和不是互斥事件，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：事件和是對(duì)立事件，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：事件和是互斥事件但不是對(duì)立事件，正確；對(duì)選項(xiàng)C：事件和不是互斥事件，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：事件和不是互斥事件，錯(cuò)誤；故選：B5．關(guān)于用統(tǒng)計(jì)方法獲取、分析數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（    ）A．質(zhì)檢機(jī)構(gòu)為檢測(cè)一大型超市某商品的質(zhì)量情況，合理的調(diào)查方式為抽樣調(diào)查B．若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差滿足，則可以估計(jì)甲比乙更穩(wěn)定C．若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù) 的平均數(shù)為D．為了解高一學(xué)生的視力情況，現(xiàn)有高一男生200人，女生400人，按性別進(jìn)行分層抽樣，樣本量按比例分配，若從女生中抽取的樣本量為80，則男生樣本容量為60【答案】D【分析】由抽樣調(diào)查，標(biāo)準(zhǔn)差，平均數(shù)相關(guān)知識(shí)分析各選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)，因大型超市某商品數(shù)量較大，則用抽樣調(diào)查較為合理，故A正確；B選項(xiàng)，標(biāo)準(zhǔn)差較小的數(shù)據(jù)更加穩(wěn)定，故B正確；C選項(xiàng)，由題有，故C正確；D選項(xiàng)，由題可得抽取樣本中男生與女生的比例為，則男生樣本容量為，故D錯(cuò)誤.故選：D6．若圓與圓有且僅有3條公切線，則m=（    ）A．14 B．28 C．9 D．【答案】A【分析】分別求出兩圓的圓心及半徑，再根據(jù)圓與圓有且僅有3條公切線，可得兩圓外切，則，從而可得答案.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因?yàn)閳A與圓有且僅有3條公切線，所以?xún)蓤A外切，則，即，解得.故選：A.7．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（    ）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】D【分析】如圖所示，畫(huà)出可行域，，表示直線與軸的截距，截距最小時(shí)，最大，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】畫(huà)出可行域，如圖所示：，則，表示直線與軸的截距，截距最小時(shí)，最大，當(dāng)直線過(guò)交點(diǎn)，，即時(shí)，.故選：D8．如圖，在直棱柱中，，，E為BC的中點(diǎn)，F為的中點(diǎn)，則異面直線AF與所成角的正弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接BF，證明，在中計(jì)算即可作答.【詳解】在直棱柱中，連接BF，如圖，因E為BC的中點(diǎn)，F為的中點(diǎn)，則，則四邊形為平行四邊形，即有，因此是異面直線AF與所成角或其補(bǔ)角，因平面，平面，則，又，，平面，即有平面，平面，即，令，則，所以異面直線AF與所成角的正弦值為.故選：B9．從非洲蔓延到東南亞的蝗蟲(chóng)災(zāi)害嚴(yán)重威脅了國(guó)際農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，影響了人民生活.世界性與區(qū)域性溫度的異常、旱澇頻繁發(fā)生給蝗災(zāi)發(fā)生創(chuàng)造了機(jī)會(huì).已知蝗蟲(chóng)的產(chǎn)卵量y與溫度x的關(guān)系可以用模型（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）擬合，設(shè)，其變換后得到一組數(shù)據(jù)：x2023252730z22.4334.6 由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則當(dāng)x＝35時(shí)，蝗蟲(chóng)的產(chǎn)卵量y的估計(jì)值為（    ）A． B． C．8 D．【答案】A【分析】根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)求出，由此可求.【詳解】由表格數(shù)據(jù)知：，，因?yàn)閿?shù)對(duì)滿足，得，∴，即，∴，∴x＝35時(shí)，.故當(dāng)x＝35時(shí)，蝗蟲(chóng)的產(chǎn)卵量y的估計(jì)值為.故選：A.10．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且，則k =（    ）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】由，可知直線到圓心距離為，據(jù)此可得答案.【詳解】由圖，可知，取AB中點(diǎn)為C，則由垂經(jīng)定理可得，OC平分，故，即圓心到直線距離為，則，結(jié)合，可得.故選：B.11．已知A，B，C，D在球O的表面上， 為等邊三角形且邊長(zhǎng)為3，平面ABC，，則球O的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】球心在平面的投影為的中心，設(shè)為，連接，計(jì)算，，根據(jù)勾股定理得到，計(jì)算表面積得到答案.【詳解】球心在平面的投影為的中心，設(shè)為，連接，是中點(diǎn)，連接，如圖所示：，，則，四邊形為矩形，，，故，.故選：C12．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，P為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．①當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，異面直線于所成角為②三棱錐中，點(diǎn)P到面的距離為定值③過(guò)點(diǎn)P且平行于面的平面被正方體截得的多邊形的面積為④直線與面所成角的正弦值的范圍為以上命題為真命題的個(gè)數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】建立空間坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算得到①正確，計(jì)算平面的法向量為，根據(jù)距離公式得到②正確，確定截面為，計(jì)算面積得到③正確，根據(jù)向量的夾角公式得到④正確，得到答案.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)，，對(duì)①：，，故，正確；對(duì)②：設(shè)平面的法向量為，則，取，得到，，點(diǎn)P到面的距離為，正確；對(duì)③：如圖所示，連接，則，平面，平面，故平面，同理平面，，故平面平面，故截面即為，為等邊三角形，面積為，正確；對(duì)④：，線與面所成角為，則，，故，正確.故選：D 二、填空題13．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，則圖中的值______．【答案】【分析】根據(jù)莖葉圖可求得兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造方程求得的值.【詳解】由莖葉圖可知：乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同，甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，即，解得：.故答案為：.14．已知點(diǎn)A在圓C：上，點(diǎn)B在直線上，則最小值是____.【答案】【分析】由題意可知最小值為圓心到直線的距離減去半徑.【詳解】圓C：的圓心，半徑，圓心到直線的距離為：，由題意可知，故答案為：.15．下圖為一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖，M是AB的中點(diǎn)，一只蝴蝶在幾何體ADF-BCE內(nèi)自由飛舞，則它飛入幾何體EF-MBC內(nèi)的概率為____.【答案】##0.5【分析】結(jié)合題目條件可得，.則蝴蝶飛入幾何體EF-MBC內(nèi)的概率為【詳解】由直觀圖可得，，則.則蝴蝶飛入幾何體EF-MBC內(nèi)的概率為.故答案為：.16．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為______.【答案】【分析】利用幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離和兩點(diǎn)距離之比，結(jié)合直線與圓的相切求解即可【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)是圓上任一點(diǎn)，則的幾何意義為點(diǎn)到直線的距離，過(guò)作的垂線，垂足為，則，又表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，從而，又直線與圓相切時(shí)，，解得，所以當(dāng)直線為圓的另一條切線時(shí)，最大，取最大值，此時(shí)，所以的最大值為，故答案為： 三、解答題17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．(1)求BC邊上的高所在直線的方程；(2)求AB邊的垂直平分線所在直線的方程．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）BC邊上的高所在直線過(guò)點(diǎn)A，且與直線BC垂直；（2）AB邊的垂直平分線過(guò)AB中點(diǎn)，且與直線AB垂直.【詳解】（1）邊所在的直線的斜率，因?yàn)?/span>邊上的高與垂直，所以邊上的高所在直線的斜率為．又邊上的高經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以邊上的高所在的直線方程為，即；（2）邊所在的直線的斜率，所以邊的垂直平分線的斜率為，邊中點(diǎn)E的坐標(biāo)是，即， 所以AC邊的垂直平分線的方程是即．18．如圖，在四棱錐中，底面，且底面為正方形，，分別是的中點(diǎn)． (1)求證：；(2)求證：平面平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明出平面，進(jìn)而可得，又，則結(jié)論成立；（2）利用線面平行的判定定理證明出面，由（1）可得面，再由面面平行的判定定理得出結(jié)論成立．【詳解】（1）平面，平面，；四邊形為正方形，；平面，，平面，又平面，；分別為的中點(diǎn)，，.（2）四邊形為正方形，且分別為，邊的中點(diǎn)，，面，面，面，由（1）知，面，面，面，又，平面平面．19．某次人才招聘活動(dòng)中，某公司計(jì)劃招收600名新員工.由于報(bào)名者共2 000人，遠(yuǎn)超計(jì)劃，故該公司采用筆試的方法進(jìn)行選拔，并按照筆試成績(jī)擇優(yōu)錄取.現(xiàn)采用隨機(jī)抽樣的方法抽取200名報(bào)名者的筆試成績(jī)，繪制頻率分布直方圖如圖:已知圖中左邊四個(gè)小長(zhǎng)方形的高度自左向右依次構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列.根據(jù)頻率分布直方圖解答以下問(wèn)題:(1)求m；(2)估計(jì)此次筆試的平均成績(jī).【答案】(1)(2)67.1分 【分析】（1）根據(jù)頻率和為1計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)平均數(shù)的公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖各小長(zhǎng)方形面積之和為1，，解得.（2）由頻率分布直方圖，得樣本數(shù)據(jù)的平均值可估計(jì)為，此次筆試的平均成績(jī)可估計(jì)為67.1分.20．已知袋子中放有大小和形狀相同，標(biāo)號(hào)分別是0，1，2的小球，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球2個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球1個(gè).從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的球標(biāo)號(hào)為b. 記“”為事件A．(1)求事件A的概率；(2)在區(qū)間內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事件“”恒成立的概率.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）將標(biāo)號(hào)為0的小球記為0，標(biāo)號(hào)為1的小球記為，標(biāo)號(hào)為2的小球記為2，再用坐標(biāo)表示取球情況，可得取球總情況數(shù)，則；（2）設(shè)事件“恒成立”為事件B，由題可得事件B等價(jià)于“恒成立”，又全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?/span>，事件B所構(gòu)成的區(qū)域，則所求概率為兩區(qū)域面積之比.【詳解】（1）將標(biāo)號(hào)為0的小球記為0，標(biāo)號(hào)為1的小球記為，標(biāo)號(hào)為2的小球記為2，則從袋子中兩次不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球可能的結(jié)果：，，，，共12種.其中滿足“”的有，共4種.故；（2）設(shè)事件“恒成立”為事件B，因，故事件B等價(jià)于恒成立.又全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域，事件B所構(gòu)成的區(qū)域，如下圖所示.則.21．如圖，在直三棱柱中，，，為棱上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn)，連接．(1)求證：平面平面；(2)求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）求出、，利用勾股定理可證得，再利用線面垂直的性質(zhì)可得出，利用線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）計(jì)算出，分析可得出，由此可得出，即可得解.【詳解】（1）證明：在直三棱柱中，，即，所以，，則，則，因?yàn)?/span>，所以，在中，由余弦定理，可得，所以，即．因?yàn)?/span>平面，又平面，所以．因?yàn)?/span>，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）解：因?yàn)?/span>，平面，且，則，因?yàn)?/span>，且，因?yàn)?/span>，平面，平面，則平面，所以，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.22．平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的半徑為2，圓心在y軸的正半軸上，直線與圓相切．(1)求圓的方程；(2)設(shè)，過(guò)點(diǎn)作直線，交圓于P、Q兩點(diǎn)，不在y軸上，過(guò)點(diǎn)作與直線垂直的直線，交圓于、兩點(diǎn)，記四邊形的面積為，求的最大值．【答案】(1)(2)7 【分析】(1)設(shè)圓心為(0,a)，a>0，結(jié)合直線與圓相切，計(jì)算出a＝2即可；(2)假設(shè)直線方程，借助垂徑定理計(jì)算出，結(jié)合兩直線垂直關(guān)系同理可得，而，化簡(jiǎn)后借助基本不等式計(jì)算最大值即可.【詳解】（1）設(shè)圓心為(0,a)，a>0，則圓的方程為∴，∴a＝2，∴圓C的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離，所以，（i）若，則直線斜率不存在，則，，則，（ii）若，則直線得方程為，即，則圓心到直線的距離，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，綜上所述，因?yàn)?/span>，所以S的最大值為7. 

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