課時跟蹤檢測（九）  指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一、基礎練——練手感熟練度1．函數(shù)y＝ln(2x－1)的定義域是(　　)A．[0，＋∞)　　　　　　　 B．[1，＋∞)C．(0，＋∞)  D．(1，＋∞)解析：選C　由2x－1>0，得x>0，所以函數(shù)的定義域為(0，＋∞). 2．函數(shù)y＝2x－x2的值域為(　　)A.  B．C.  D．(0,2]解析：選A　設t＝2x－x2，則t≤1，所以y＝t，t≤1，所以y∈，故選A.3．化簡4a·b÷的結(jié)果為(　　)A．－  B．－C．－  D．－6ab解析：選C　原式＝－6ab＝－6ab－1＝－.4．已知函數(shù)f(x)＝4＋2ax－1的圖象恒過定點P，則點P的坐標是(　　)A．(1,6)  B．(1,5)C．(0,5)  D．(5,0)解析：選A　由于函數(shù)y＝ax的圖象過定點(0,1)，當x＝1時，f(x)＝4＋2＝6，故函數(shù)f(x)＝4＋2ax－1的圖象恒過定點P(1,6)．5．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　)A．a＞b＞c  B．a＞c＞bC．c＞a＞b  D．b＞c＞a解析：選A　由0.2＜0.6,0.4＜1，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c；因為a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.綜上，a＞b＞c. 二、綜合練——練思維敏銳度1．(2021·衡水模擬)已知ab＝－5，則a ＋b 的值是(　　)A．2  B．0C．－2  D．±2解析：選B　由題意知ab<0，a ＋b ＝a ＋b ＝a ＋b ＝a＋b＝0.故選B.2．已知0<b<a<1，則在ab，ba，aa，bb中最大的是(　　)A．ba  B．aaC．ab  D．bb解析：選C　∵0<b<a<1，∴y＝ax和y＝bx均為減函數(shù)，∴ab>aa，ba<bb，又∵y＝xb在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴ab>bb，∴在ab，ba，aa，bb中最大的是ab.故選C.3．函數(shù)y＝的值域為(　　)A．(0,1)  B．(1，＋∞)C．(2，＋∞)  D．(0,1)∪(1，＋∞)解析：選D　由≠0，得y＝≠1，又y>0，所以值域為(0,1)∪(1，＋∞)，故選D.4．函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與函數(shù)y＝(a－1)x2－2x－1在同一個坐標系內(nèi)的圖象可能是(　　)解析：選C　兩個函數(shù)分別為指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)，其中二次函數(shù)過點(0，－1)，故排除A、D；二次函數(shù)的對稱軸為直線x＝，當0<a<1時，指數(shù)函數(shù)遞減，<0，C符合題意；當a>1時，指數(shù)函數(shù)遞增，>0，B不符合題意，故選C.5．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2|x－m|－1為偶函數(shù)，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　)A．a<b<c  B．a<c<bC．c<a<b  D．c<b<a解析：選C　函數(shù)f(x)＝2|x－m|－1為偶函數(shù)，則m＝0，故f(x)＝2|x|－1，a＝f(log0.53)＝2|log0.53 |－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2 log25－1＝4，c＝f(0)＝20－1＝0.所以c<a<b，故選C.6．(2021·安徽皖江名校模擬)若ea＋πb≥e－b＋π－a，則有(　　)A．a＋b≤0  B．a－b≥0C．a－b≤0  D．a＋b≥0解析：選D　令f(x)＝ex－π－x，則f(x)在R上單調(diào)遞增，因為ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb，則f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故選D.7．(多選)已知函數(shù)f(x)＝，下面說法正確的有(　　)A．f(x)的圖象關(guān)于原點對稱B．f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱C．f(x)的值域為(－1,1)D．?x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0解析：選AC　對于選項A，f(x)＝，定義域為R，則f(－x)＝＝＝     －f(x)，則f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故A正確；對于選項B，計算f(1)＝＝，f(－1)＝＝－≠f(1)，故f(x)的圖象不關(guān)于y軸對稱，故B錯誤；對于選項C，f(x)＝＝1－，令1＋2x＝t，t∈(1，＋∞)，則f(x)＝g(t)＝1－，易知1－∈(－1,1)，故f(x)的值域為(－1,1)，故C正確；對于選項D，易知函數(shù)t＝1＋2x在R上單調(diào)遞增，且y＝1－在t∈(1，＋∞)上單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，可知f(x)＝1－在R上單調(diào)遞增，故?x1，x2∈R，且x1≠x2，>0，故D錯誤．故選A、C.8．化簡：(2·)(－6·)÷(－3·)＝_______.解析：(2·)(－6·)÷(－3·)＝÷＝4a·b＝4a1·b0＝4a.答案：4a9．若函數(shù)f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，則實數(shù)a的值為________．解析：當0<a<1時，f(x)＝ax－1在[0,2]上為減函數(shù)，故f(x)max＝f(0)＝a0－1＝0，這與已知條件函數(shù)f(x)的值域是[0,2]相矛盾．當a>1時，f(x)＝ax－1在[0,2]上為增函數(shù)，又函數(shù)f(x)的定義域和值域都是[0,2]，所以解得a＝，所以實數(shù)a的值為.答案：10．當x∈(－∞，－1]時，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．解析：∵(m2－m)·4x－2x<0在(－∞，－1]上恒成立，∴(m2－m)<在x∈(－∞，－1]上恒成立．∵y＝在(－∞，－1]上單調(diào)遞減，∴當x∈(－∞，－1]時，y＝≥2，∴m2－m<2，解得－1<m<2，故m的取值范圍是(－1,2)．答案：(－1,2)11．設a>0，且a≠1，函數(shù)y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求實數(shù)a的值．解：令t＝ax(a>0，且a≠1)，則原函數(shù)化為y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．①當0<a<1，x∈[－1,1]時，t＝ax∈，此時f(t)在上為增函數(shù)．所以f(t)max＝f＝2－2＝14.所以2＝16，解得a＝－(舍去)或a＝.②當a>1時，x∈[－1,1]，t＝ax∈，此時f(t)在上是增函數(shù)．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．綜上得a＝或3.12．已知函數(shù)f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)當a＝1時，求函數(shù)f(x)在x∈[－3,0]上的值域；(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范圍．解：(1)當a＝1時，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，令t＝2x，因為x∈[－3,0]，所以t∈.故y＝2t2－t－1＝22－，t∈，故值域為.(2)設2x＝m>0，關(guān)于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，等價于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，記g(m)＝2am2－m－1，當a＝0時，解為m＝－1<0，不成立．當a<0時，開口向下，對稱軸m＝<0，過點(0，－1)，不成立．當a>0時，開口向上，對稱軸m＝>0，過點(0，－1)，必有一個根為正．綜上，a的取值范圍為(0，＋∞)．13．已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍．解：(1)因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，由上式易知f(x)在R上為減函數(shù)，又因為f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等價于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因為f(x)是R上的減函數(shù)，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即對一切t∈R有3t2－2t－k>0，從而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.故k的取值范圍為.三、自選練——練高考區(qū)分度1．已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是(　　)A．a<0，b<0，c<0  B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c  D．2a＋2c<2解析：選D　作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖所示．因為a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，結(jié)合圖象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，所以0<2a<1.所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，所以f(c)<1，所以0<c<1.所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又因為f(a)>f(c)，所以1－2a>2c－1，所以2a＋2c<2，故選D.2．(多選)若實數(shù)x，y滿足5x－4y＝5y－4x，則下列關(guān)系式中可能成立的是(　　)A．x＝y  B．1<x<yC．0<x<y<1  D．y<x<0解析：選ACD　由題意，實數(shù)x，y滿足5x－4y＝5y－4x，可化為4x＋5x＝5y＋4y，設f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x，由基本初等函數(shù)的性質(zhì)，可得f(x)，g(x)在R上都是單調(diào)遞增函數(shù)，畫出函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的大致圖象，如圖所示．根據(jù)圖象可知，當x＝0時，f(0)＝g(0)＝1；當x＝1時，f(1)＝g(1)＝9.故當x＝y＝0或1時，f(x)＝g(y)，所以5x－4y＝5y－4x成立，故A正確；當1<x<y時，f(x)<g(y)，故B不正確；當0<x<y<1時，f(x)＝g(y)可能成立，故C正確；當y<x<0時，f(x)＝g(y)可能成立，故D正確．故選A、C、D.3．(多選)設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，例如，     [－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函數(shù)f(x)＝－，則關(guān)于函數(shù)g(x)＝[f(x)]和f(x)的敘述中正確的是(　　)A．g(x)是偶函數(shù)B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x)在R上是增函數(shù)D．g(x)的值域是解析：選BC　根據(jù)題意知f(x)＝－＝－，定義域為R.∵g(1)＝[f(1)]＝＝0，g(－1)＝[f(－1)]＝＝－1，∴g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)，∴函數(shù)g(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，A錯誤；∵f(－x)＝－＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，B正確；由復合函數(shù)的單調(diào)性知f(x)＝－在R上是增函數(shù)，C正確；∵ex>0，∴1＋ex>1，∴－<f(x)<，∴g(x)＝[f(x)]的值域是，D錯誤．故選B、C.

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