課時(shí)跟蹤檢測(cè)（二十二）  三角恒等變換一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　)A．1　　　　　　　　　　 B．C.  D．－解析：選B　sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝.2．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，則sin α＝(　　)A.  B．C.  D．解析：選B　由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos2α.∵α∈，∴cos α≠0，sin α>0，∴2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝.故選B.3．(2021·蘇州模擬)若cos＝－，則cos＋cos α＝(　　)A．－  B．±C．－1  D．±1解析：選C　cos＋cos α＝cos α＋sin α＋cos α＝cos α＋sin α＝        cos＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋tan 18°tan 12°＝(　　)A.  B．C.  D．解析：選D　∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝＝，∴tan 18°＋tan 12°＝(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝.5．若α∈，且3cos 2α＝sin，則sin 2α的值為(　　)A．－  B．C．－  D．解析：選C　由3cos 2α＝sin，可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，又由α∈，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝，所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.6．已知sin＝，α∈，則cos的值為________．解析：由已知得cos α＝，sin α＝－，所以cos＝cos α＋sin α＝－.答案：－二、綜合練——練思維敏銳度1．已知sin＝cos，則tan α＝(　　)A．1   B．－1C.  D．0解析：選B　∵sin＝cos，∴cos α－sin α＝cos α－sin α，即sin α＝cos α，∴tan α＝＝－1.2．(多選)下列各式中，值為的是(　　)A.   B．tan 15°cos215°C.cos2－sin2  D． 解析：選ACD　∵＝tan 45°＝，tan 15°·cos215°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，cos2－sin2＝cos ＝，＝sin 30°＝，∴選A、C、D.　3．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，則的值為(　　)A．5   B．－1C．6  D．解析：選A　由題意知sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝， 所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，即＝5.故選A.4．(2020·全國卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，則sin＝(　　)A.  B．C.  D．解析：選B　∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝.故選B.5．(2021·遼寧八校聯(lián)考)已知cos＝3sin，則tan＝(　　)A．4－2   B．2－4C．4－4  D．4－4解析：選B　由題意可得－sin α＝－3sin，即sin＝3sin，sinα＋·cos －cossin ＝3sincos ＋3cossin ，整理可得tan＝－2tan ＝－2tan＝－2×＝2－4.故選B.6.17世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦．”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為36°的等腰三角形(另一種是頂角為108°的等腰三角形)．例如，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在其中一個(gè)黃金△ABC中，＝.根據(jù)這些信息，可得sin 234°＝(　　)A.  B．－C．－  D．－解析：選C　由圖可知，∠ACB＝72°，且cos 72°＝＝，∴cos 144°＝2cos272°－1＝－.則sin 234°＝sin(144°＋90°)＝cos 144°＝－.7．設(shè)當(dāng)x＝θ時(shí)，函數(shù)f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，則cos θ＝(　　)A.  B．C．－  D．－解析：選C　利用輔助角公式可得f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x－φ)，其中cos φ＝，sin φ＝.當(dāng)函數(shù)f(x)＝sin x－2cos x取得最大值時(shí)，θ－φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)，則cos θ＝cos＝－sin φ＝－(k∈Z)．故選C.8．設(shè)0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－，則sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝(　　)A.  B．C．－  D．－解析：選B　因?yàn)?/span>0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因?yàn)?/span>sin(75°＋2α)＝－<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α為第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－.所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝sin(30°＋2α)＝sin[(75°＋2α)－45°]＝[sin(75°＋2α)·cos 45°－cos(75°＋2α)sin 45°]＝×－×＋×＝.故選B.9．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，則α＋β的值是(　　)A.  B．C.或  D．或解析：選A　∵α∈，∴2α∈，∵sin 2α＝>0，∴2α∈，∴α∈且cos 2α＝－.又∵sin(β－α)＝，β∈，∴β－α∈，cos(β－α)＝－，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝×－×＝，又∵α＋β∈，∴α＋β＝.10．化簡(jiǎn)：－＝________.解析：－＝＝＝＝4.答案：411．已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，則cos(α＋β)＝________.解析：∵α∈，∴－α∈，又cos＝，∴sin＝－.∵sin＝－，∴sin＝.又∵β∈，∴＋β∈，∴cos＝，∴cos(α＋β)＝cos＝coscos＋sinsin＝×－×＝－.答案：－12．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的兩根分別為tan α，tan β，且α，β∈，則α＋β＝________.解析：依題意有∴tan(α＋β)＝＝＝1.又∴tan α<0且tan β<0，∴－<α<0且－<β<0，即－π<α＋β<0，結(jié)合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－.答案：－13．已知A，B均為銳角，cos(A＋B)＝－，cos＝－，則cos＝________.解析：因?yàn)?/span>A，B均為銳角，cos(A＋B)＝－，cos＝－，所以<A＋B<π，<B＋<，所以sin(A＋B)＝＝，sin＝ ＝.所以cos＝cos＝－ ×＋×＝.答案：14．已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1(x∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．解：(1)由f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1，得f(x)＝(2sin xcos x)－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，∴函數(shù)f(x)的最小正周期為π.易知f(x)＝2sin在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又f(0)＝－1，f＝2，f＝－1，∴函數(shù)f(x)在上的最大值為2，最小值為－1.(2)∵2sin＝，∴sin＝.又x0∈，∴2x0－∈，∴cos＝.∴cos 2x0＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝. 15．持續(xù)高溫使某市多地出現(xiàn)干旱，城市用水緊張，為了宣傳節(jié)約用水，某人準(zhǔn)備在一片扇形區(qū)域(如圖1)上按照?qǐng)D2的方式放置一塊矩形ABCD區(qū)域宣傳節(jié)約用水，其中頂點(diǎn)B，C在半徑ON上，頂點(diǎn)A在半徑OM上，頂點(diǎn)D在上，∠MON＝，ON＝OM＝10 m，設(shè)∠DON＝θ，矩形ABCD的面積為S.(1)用含θ的式子表示DC，OB的長；(2)若此人布置1 m2的宣傳區(qū)域需要花費(fèi)40元，試將S表示為θ的函數(shù)，并求布置此矩形宣傳欄最多要花費(fèi)多少元錢？解：(1)在△ODC中，DC＝10sin θ，在△OAB中，OB＝＝10sin θ.(2)在△ODC中OC＝10cos θ，從而S＝BC×CD＝100(cos θsin θ－sin2θ)＝100＝100＝100sin－50，0<θ<，當(dāng)2θ＋＝，即θ＝時(shí)，S取得最大值100－50≈13.4，所以布置此矩形宣傳欄最多要花費(fèi)13.4×40＝536元．

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