第21講 解析幾何等角定理一、問題綜述橢圓等角定理：過橢圓長軸上任一點的一條弦端點與對應(yīng)點的連線所成的角被焦點所在直線平分，即.雙曲線等角定理：過雙曲線實軸上任一點的一條弦端點與對應(yīng)點的連線所成的角被焦點所在直線平分，即.拋物線等角定理：過拋物線對稱軸上任一點的一條弦端點與對應(yīng)點的連線所成的角被對稱軸平分. 二、典例分析【例1】（2018?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)橢圓的右焦點為，過的直線與交于，兩點，點的坐標(biāo)為．（Ⅰ）當(dāng)與軸垂直時，求直線的方程；（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點，證明：．【解答】解：（Ⅰ），，與軸垂直，，由，解得或，即或，直線的方程為，，證明：方法1（Ⅱ）當(dāng)與軸重合時，，當(dāng)與軸垂直時，為的垂直平分線，，當(dāng)與軸不重合也不垂直時，設(shè)的方程為，，聯(lián)立和，得，設(shè)，，，，則，，且，，所以，而，進而，故，的傾斜角互補，所以，綜上． 證明：方法2（Ⅱ）證明：由（1）知橢圓的右焦點為，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓，得，設(shè)直線與橢圓的交點為，，，，則△恒成立，且，所以，由，可得，則． 【例2】（2018?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)拋物線，點，，過點的直線與交于，兩點．（Ⅰ）當(dāng)與軸垂直時，求直線的方程；（Ⅱ）證明：．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)與軸垂直時，，代入拋物線解得，所以或，直線的方程：，或：．（Ⅱ）證明：設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程得，消得，即，，則有，所以直線與的傾斜角互補，即. 【方法小結(jié)】（1）解析幾何角度相等常用的定理有角平分線定理、余弦定理、斜率等. 如下圖，容易看出恰為直線的傾斜角的補角，恰為直線的傾斜角. 所以有，，結(jié)合，則有，所以，即，進而. 這就能把角度問題轉(zhuǎn)化為斜率問題.    （2）由可得，通分整理得，此時先不代入直線，而是兩邊同除以，得到，利用該等式，同時把直線方程設(shè)為，用，代入消元，對解題運算顯得更為簡單.        三、鞏固練習(xí)1.（2015?新課標(biāo)Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交于，兩點．（Ⅰ）當(dāng)時，分別求在點和處的切線方程．（Ⅱ）軸上是否存在點，使得當(dāng)變動時，總有？（說明理由） 2.已知點是橢圓的右頂點，且橢圓的離心率為．過點作直線交橢圓于、兩點．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求出直線的斜率的取值范圍；（Ⅱ）橢圓的長軸上是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由． 3.（2015?四川）如圖，橢圓的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于、兩點，當(dāng)直線平行于軸時，直線被橢圓截得的線段長為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 4.（2018秋?常州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過點，，其中為橢圓的離心率，過定點，的動直線與橢圓交于，兩點．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線與軸的交點為，若總成立，求的值；（3）如果存在，求出點的坐標(biāo)（用表示；如果不存在，請說明理由．是否存在定點，（其中，使得總成立？ 參考答案1.【解答】解：聯(lián)立，不妨取，，由曲線可得：，曲線在點處的切線斜率為，其切線方程為：，即為．同理可得曲線在點處的切線方程為：．存在符合條件的點，下面給出證明：設(shè)滿足，聯(lián)立，得，設(shè)，，，，直線，的斜率分別為，．則，所以當(dāng)時，，直線，的傾斜角互補，．即點符合條件． 2.【解答】解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以橢圓的方程；設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，得，由△，解得；（Ⅱ）假設(shè)存在定點，使得恒成立，即恒成立．設(shè)點，，，，由（1）知，，解得，故存在定點． 3.【解答】解：（Ⅰ）直線平行于軸時，直線被橢圓截得的線段長為，點，在橢圓上，又離心率是，，解得，，橢圓的方程為：；（Ⅱ）結(jié)論：存在與點不同的定點，使得恒成立．理由如下：當(dāng)直線與軸平行時，設(shè)直線與橢圓相交于、兩點，如果存在定點滿足條件，則有，即．點在直線軸上，可設(shè)．當(dāng)直線與軸垂直時，設(shè)直線與橢圓相交于、兩點，則、的坐標(biāo)分別為、，又，，解得或．若存在不同于點的定點滿足條件，則點坐標(biāo)只能是．下面證明：對任意直線，均有．當(dāng)直線的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立．當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得：，設(shè)、的坐標(biāo)分別為，、，，△，且，，，已知點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為，，又，，，即、、三點共線，．故存在與點不同的定點，使得恒成立．    4.解：（1）橢圓過點，，，解得，，橢圓方程為．（2）橢圓的準(zhǔn)線方程為，則，當(dāng)直線與軸垂直或與軸重合時，；當(dāng)直線與軸不垂直且不重合時，設(shè)的方程為，，設(shè)，，，，由，得，，，，總成立，又，斜率存在，故，的斜率和總為0，對，，恒成立，即對，，恒成立，即，，恒成立，代入式并整理得．（3）假設(shè)存在這樣的點，，（其中滿足條件，則，的斜率同時存在且和為0，即，根據(jù)題意，只需要考慮直線與軸不垂直也不重合的情形，結(jié)合（2）中式有：為定值，這樣的點如果存在，其坐標(biāo)只可能為，，，滿足條件，坐標(biāo)為，．
 

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