專題23 拋物線第一部分 真題分類1．（2021·全國高考真題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（    ）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【解析】拋物線的焦點坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.2．（2020·北京高考真題）設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（    ）．A．經(jīng)過點 B．經(jīng)過點C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】B【解析】如圖所示：．因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點.故選：B.3．（2019·全國高考真題（文））若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓的一個焦點，則p=A．2 B．3C．4 D．8【答案】D【解析】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D．4．（2021·北京高考真題）已知拋物線，焦點為，點為拋物線上的點，且，則的橫坐標(biāo)是_______；作軸于，則_______．【答案】5        【解析】因為拋物線的方程為，故且.因為，，解得，故，所以，故答案為：5，.5．（2021·全國高考真題（文））拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O．焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且．已知點，且與l相切．（1）求C，的方程；（2）設(shè)是C上的三個點，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見解析【解析】（1）依題意設(shè)拋物線，，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；（2）設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)則過與圓相切的直線為，又，，此時直線關(guān)于軸對稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.6．（2021·浙江高考真題）如圖，已知F是拋物線的焦點，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點，且，（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過點F的直線交拋物線與A?B兩點，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為，故，故拋物線的方程為：.（2）設(shè)，，，所以直線，由題設(shè)可得且.由可得，故，因為，故，故.又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，則且，故，故即，解得或或.故直線在軸上的截距的范圍為或或.7．（2020·浙江高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點A是橢圓與拋物線的交點，過點A的直線l交橢圓于點B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求拋物線的焦點坐標(biāo)；（Ⅱ）若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，求p的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，的方程為，故拋物線的焦點坐標(biāo)為；（Ⅱ）設(shè)，由，，由在拋物線上，所以，又，，， .由即，所以，，，所以，的最大值為，此時.法2：設(shè)直線，.將直線的方程代入橢圓得：，所以點的縱坐標(biāo)為.將直線的方程代入拋物線得：，所以，解得，因此，由解得，所以當(dāng)時，取到最大值為.8．（2019·北京高考真題（理））已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點．【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)見解析.【解析】(Ⅰ)將點代入拋物線方程：可得：，故拋物線方程為：，其準(zhǔn)線方程為：.(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：.故：.設(shè)，則，直線的方程為，與聯(lián)立可得：，同理可得，易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：，圓的半徑為：，且：，，則圓的方程為：，令整理可得：，解得：，即以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.第二部分 模擬訓(xùn)練1．已知拋物線的焦點為，過的直線與拋物線相交于，兩點，．若，則（    ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，設(shè)，，則，，因為，且，，三點共線，則由可得，所以，即，解得或（舍），所以.設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，消去得，則，所以.則.所以.故選：D.2．已知拋物線的焦點為，若點在拋物線上，且，則點到軸的距離為（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】A【解析】根據(jù)拋物線的定義，得到，解得，即點到軸的距離為2.故選：A.3．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線交拋物線于、兩點，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，當(dāng)點的坐標(biāo)為時，為正三角形，則此時的面積為（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由拋物線定義得：，由為正三角形知，直線的傾斜角為60°，，故，，直線的方程為，拋物線方程為：，聯(lián)立，得：，所以點的坐標(biāo)為，所以.故選：A.3．已知以圓：的圓心為焦點的拋物線與圓在第一象限交于點，點是拋物線：上任意一點，與直線垂直，垂足為，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為的圓心所以以為焦點的拋物線方程為，由，解得，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，如圖，即有，當(dāng)且僅當(dāng)在之間）三點共線，可得最大值，故選：A4．已知拋物線的焦點為，為坐標(biāo)原點，為拋物線上兩點，，且，則的斜率不可能是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為為拋物線的焦點，所以，又，即為等腰三角形，所以，又點在拋物線上，所以，則，即，所以由拋物線的焦半徑公式可得：，又，所以，即，所以，則，即，所以；當(dāng)，時，的斜率為；當(dāng)，時，的斜率為；當(dāng)，時，的斜率為；當(dāng)，時，的斜率為；故ABC都能取到，D不能取到.故選：D.5．已知，為的兩個頂點，點在拋物線上，且到焦點的距離為13，則的面積為（    ）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】A【解析】解:因為點在拋物線上,設(shè)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的性質(zhì),拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離.由，得，所以.故選:A 6．若拋物線的準(zhǔn)線與曲線只有一個交點，則實數(shù)滿足的條件是__________.【答案】【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)時，表示橢圓在軸上方部分以及左右頂點所以，若與曲線只有一個交點，則，解得，當(dāng)時，表示雙曲線的在軸上方部分即上支，此時，此時滿足與曲線只有一個交點，所以，綜上所述：實數(shù)滿足的條件是或，故答案為：7．過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點，其中點，且，則__________.【答案】【解析】因為拋物線的準(zhǔn)線為，點在拋物線上，所以，解得，所以拋物線的方程為.設(shè)，由點在拋物線上，可得，由拋物線的對稱性不妨設(shè)，又，所以直線的斜率，所以直線的方程為，代入拋物線方程得，所以，所以.故答案為：.8．已知拋物線：上的點到的焦點的距離為10，點在直線上的射影為，點關(guān)于軸的對稱點為，則四邊形的周長為______．【答案】32【解析】由拋物線的方程可知，焦點，直線為拋物線的準(zhǔn)線，所以，四邊形為直角梯形．因為，所以根據(jù)拋物線的定義，得，過點作軸于點，則．在中，由勾股定理得，所以，所以四邊形的周長為．故答案為：32.9．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，則該雙曲線的方程為__．【答案】【解析】解：雙曲線的一條漸近線方程為，，①拋物線的準(zhǔn)線方程為，該雙曲線一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，，而，，②由①②，得，，雙曲線的方程為．故答案為：．10．已知拋物線的焦點為F，點為拋物線C上一點，且，過點作拋物線C的切線AN（斜率不為0），設(shè)切點為N．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：以FN為直徑的圓過點A．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）因為為拋物線上一點，所以的長等于到拋物線準(zhǔn)線的距離，即，解得，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）直線斜率不存在時，直線不是拋物線的切線，所以可設(shè)切線AN的方程為：， ，聯(lián)立直線與拋物線方程得，消去y可得，因為直線與拋物線相切，∴，解得．，所以切點，，，∴，，∴．∴，以FN為直徑的圓過點A．11．已知動點到直線的距離比到點的距離大.（1）求動點所在的曲線的方程；（2）已知點，是曲線上的兩個動點，如果直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個定值；（3）已知點，是曲線上的兩個動點，如果直線的斜率與直線的斜率之和為，證明：直線過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析，定值；（3）證明見解析.【解析】（1）已知動點到直線的距離比到點的距離大，等價于動點到直線的距離和到點的距離相等，由拋物線的定義可得曲線的軌跡時以為焦點，以直線為準(zhǔn)線的方程，且，所以曲線的方程為.（2）設(shè)直線的斜率為，因為直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，所以直線的斜率為，則，聯(lián)立方程組，整理得，即，可得聯(lián)立方程組，整理得，即，可得所以，即直線的斜率為定值.（3）設(shè)直線的斜率為，所以直線的斜率為，則，兩類方程組，整理得，即，可得，聯(lián)立方程組，可得，即，可得所以，所以，整理得所以直線恒過. 

相關(guān)試卷

高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練匯編專題21 橢圓(教師版)：

這是一份高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練匯編專題21 橢圓(教師版)，共28頁。試卷主要包含了已知橢圓C，已知橢圓C1等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練匯編專題19 圓與方程(教師版)：

這是一份高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練匯編專題19 圓與方程(教師版)，共12頁。

高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練匯編專題18 直線與方程(教師版)：

這是一份高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練匯編專題18 直線與方程(教師版)，共10頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練匯編專題12 數(shù)列求和(教師版)

高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練匯編專題12 數(shù)列求和(教師版)
高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練匯編專題04 函數(shù)的應(yīng)用(教師版)

高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練匯編專題04 函數(shù)的應(yīng)用(教師版)
高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練匯編專題02 函數(shù)及其性質(zhì)(教師版)

高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練匯編專題02 函數(shù)及其性質(zhì)(教師版)
2023高考數(shù)學(xué)二輪真題與模擬訓(xùn)練26講 專題23 拋物線解析

2023高考數(shù)學(xué)二輪真題與模擬訓(xùn)練26講 專題23 拋物線解析
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部