?專題4 函數(shù)的應(yīng)用
第一部分 真題分類
一、單選題
1．（2020·海南高考真題）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?，，所以，所以?br /> 設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天，
則，所以，所以，
所以天.
故選：B.
2．（2020·全國(guó)高考真題（理））若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則為增函數(shù)，因?yàn)?br /> 所以，
所以，所以.
，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有，所以C、D錯(cuò)誤.
故選：B.
3．（2020·全國(guó)高考真題（理））在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過(guò)1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
【解析】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，設(shè)需要志愿者x名，
，,故需要志愿者名.
故選：B
4．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：
①f(x)是偶函數(shù) ②f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增③f(x)在有4個(gè)零點(diǎn) ④f(x)的最大值為2
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【解析】為偶函數(shù)，故①正確．當(dāng)時(shí)，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故②錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，它有兩個(gè)零點(diǎn)：；當(dāng)時(shí)，，它有一個(gè)零點(diǎn)：，故在有個(gè)零點(diǎn)：，故③錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④正確，故選C．
5．函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由，
得或，，
．
在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3，
故選B．
6．已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，，得；最多一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)，即時(shí)，，在，上遞增，最多一個(gè)零點(diǎn)．不合題意；
當(dāng)，即時(shí)，令得，，函數(shù)遞增，令得，，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn)；
根據(jù)題意函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，在，上有2個(gè)零點(diǎn)，
如圖：
且，
解得，，．
故選．

7．2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：
.
設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得
因?yàn)椋?br /> 所以，
即，
解得，
所以
8．已知函數(shù)．若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】畫出函數(shù)的圖像，在y軸右側(cè)的去掉，
再畫出直線，之后上下移動(dòng)，
可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，
并且向下可以無(wú)限移動(dòng)，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，
即方程有兩個(gè)解，
也就是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)滿足，即，故選C.

二、填空題
9．（2021·北京高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若，則有兩個(gè)零點(diǎn)；
②，使得有一個(gè)零點(diǎn)；
③，使得有三個(gè)零點(diǎn)；
④，使得有三個(gè)零點(diǎn)．
以上正確結(jié)論得序號(hào)是_______．
【答案】①②④
【解析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，由，可得或，①正確；
對(duì)于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，
所以，存在，使得只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；
對(duì)于③，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，
若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，
直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，此不等式無(wú)解，
因此，不存在，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，④正確.

故答案為：①②④.
10．設(shè)是定義在上的兩個(gè)周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，其中.若在區(qū)間上，關(guān)于的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則 的取值范圍是_____.
【答案】.
【解析】當(dāng)時(shí)，即
又為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其周期為，如圖，函數(shù)與的圖象，要使在上有個(gè)實(shí)根，只需二者圖象有個(gè)交點(diǎn)即可.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，的圖象為恒過(guò)點(diǎn)的直線，只需函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn).當(dāng)與圖象相切時(shí)，圓心到直線的距離為，即，得，函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，得.
綜上可知，滿足在上有個(gè)實(shí)根的的取值范圍為.
11．函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．
【答案】
【解析】詳解：

由題可知，或
解得,或
故有3個(gè)零點(diǎn)．
12．已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是______________.
【答案】
【解析】分類討論：當(dāng)時(shí)，方程即，
整理可得：，
很明顯不是方程的實(shí)數(shù)解，則，
當(dāng)時(shí)，方程即，
整理可得：，
很明顯不是方程的實(shí)數(shù)解，則，
令，
其中，
原問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍.
結(jié)合對(duì)勾函數(shù)和函數(shù)圖象平移的規(guī)律繪制函數(shù)的圖象，
同時(shí)繪制函數(shù)的圖象如圖所示，考查臨界條件，
結(jié)合觀察可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

13．李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．
①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．
【答案】130. 15.
【解析】(1),顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)設(shè)顧客一次購(gòu)買水果的促銷前總價(jià)為元,
元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.
元時(shí),有恒成立,即,即元.
所以的最大值為.
14．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問(wèn)題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一，凡百錢，買雞百只，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為，，，則當(dāng)時(shí)，___________，___________．
【答案】
【解析】
15．已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f(x)

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