專(zhuān)題5 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一部分 真題分類(lèi) 一、單選題1．（2021·全國(guó)高考真題）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】在曲線上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.解法二：畫(huà)出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.2．（2021·全國(guó)高考真題（理））設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】若，則為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故.依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，，畫(huà)出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當(dāng)時(shí)，由時(shí)，，畫(huà)出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D3．（2020·全國(guó)高考真題（理））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（    ）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【解析】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.4．（2020·全國(guó)高考真題（理））函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.5．已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（  ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解析：，將代入得，故選D．6．已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（     ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，即，（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)函數(shù)單增，當(dāng)函數(shù)單減，故，所以．當(dāng)時(shí)，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C． 二、填空題7．（2021·全國(guó)高考真題（理））曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．【答案】【解析】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．8．（2021·全國(guó)高考真題）函數(shù)的最小值為______.【答案】1【解析】由題設(shè)知：定義域?yàn)?/span>，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.9．（2020·江蘇高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則△PAB面積的最大值是__________．【答案】【解析】設(shè)圓心到直線距離為，則所以令（負(fù)值舍去）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，取最大值，即取最大值為，故答案為：10．（2020·全國(guó)高考真題（文））設(shè)函數(shù)．若，則a=_________．【答案】1【解析】由函數(shù)的解析式可得：，則：，據(jù)此可得：，整理可得：，解得：.故答案為：.11．（2020·全國(guó)高考真題（文））曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為______________.【答案】【解析】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所求的切線方程為，即.故答案為：.12．在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.【答案】4.【解析】當(dāng)直線平移到與曲線相切位置時(shí)，切點(diǎn)Q即為點(diǎn)P到直線的距離最小.由，得，，即切點(diǎn)，則切點(diǎn)Q到直線的距離為，故答案為． 三、解答題13．（2021·北京高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求在處切線方程；（2）若函數(shù)在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因?yàn)?/span>，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，.14．（2021·全國(guó)高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)?/span>，故，即，故，設(shè)，由（1）可知不妨設(shè).因?yàn)?/span>時(shí)，，時(shí)，，故.先證：，若，必成立.若， 要證：，即證，而，故即證，即證：，其中.設(shè)，則，因?yàn)?/span>，故，故，所以，故在為增函數(shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立.設(shè)，則，結(jié)合，可得：，即：，故，要證：，即證，即證，即證：，即證：，令，則，先證明一個(gè)不等式：.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，故成立由上述不等式可得當(dāng)時(shí)，，故恒成立，故在上為減函數(shù)，故，故成立，即成立.綜上所述，.15．（2021·全國(guó)高考真題（文））設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖像與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，又，因?yàn)?/span>，故，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因?yàn)?/span>且的圖與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.16．（2021·浙江高考真題）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，滿足.(注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))【答案】(1)時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)，①若，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上可得，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.(2)有2個(gè)不同零點(diǎn)有2個(gè)不同解有2個(gè)不同的解，令，則，記，記，又，所以時(shí)，時(shí)，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.(3)有2個(gè)不同零點(diǎn)，則，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).由(2)可知有2個(gè)不同零點(diǎn)，記較大者為，較小者為，，注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，又由知，，要證，只需，且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需證，只需證，只需證，，只需證在時(shí)為正，由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，又，故在時(shí)為正，從而題中的不等式得證.17．（2021·全國(guó)高考真題（理））已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，,令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）,設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.18．（2021·全國(guó)高考真題（理））設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】1；證明見(jiàn)詳解【解析】（1）由，，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；（2）由（1）得，，且，當(dāng) 時(shí)，要證，， ，即證，化簡(jiǎn)得；同理，當(dāng)時(shí)，要證，， ，即證，化簡(jiǎn)得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時(shí)，，單減，假設(shè)能取到，則，故；當(dāng)時(shí)，，單增，假設(shè)能取到，則，故；綜上所述，在恒成立19．（2021·全國(guó)高考真題（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．（1）求；（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，，所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；（2）拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點(diǎn)、、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.20．（2020·全國(guó)高考真題（理））設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)?/span>，由題意，，即則；（2）由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)，則或，即或.當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.21．（2020·全國(guó)高考真題（文））已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；(2).【解析】（1）由題，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，有三個(gè)零點(diǎn)，則，且即，解得，當(dāng)時(shí)，，且，所以在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，同理，，所以在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，又在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，所以有三個(gè)零點(diǎn)，綜上可知的取值范圍為.22．（2020·全國(guó)高考真題（理））已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.(2)由得，，其中，①.當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.23．（2020·全國(guó)高考真題（理））已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：，在上的根為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.(2)注意到，故函數(shù)是周期為的函數(shù)，結(jié)合(1)的結(jié)論，計(jì)算可得：，，，據(jù)此可得：，，即.(3)結(jié)合(2)的結(jié)論有：.第二部分 模擬訓(xùn)練一、單選題1．已知函數(shù)，，若方程有2不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A．  B．  C． D． 【答案】B【解析】由得，去分母整理得有2不同的實(shí)數(shù)解，所以或，所以或，設(shè)所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，所以沒(méi)有實(shí)數(shù)解.所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，要方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，必須.故選：B2．已知是定義在上的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．恒成立 B．恒成立C． D．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【答案】A【解析】設(shè)g(x)=(x-1)f(x),所以，所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>所以x>1時(shí)，g(x)>0,x<1時(shí)，g(x)＜0，所以x>1時(shí)，(x-1)f(x)>0，所以f(x)>0;所以x<1時(shí)，(x-1)f(x)<0，所以f(x)>0.所以恒成立.故答案為A3．已知定義在上的函數(shù)滿足恒成立（其中為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，下列不等式一定正確的是（   ）A． B．C． D．【答案】D【解析】 由題意，定義在上的函數(shù)滿足恒成立，即設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，不妨設(shè)，則，且，即，故選D．4．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)則 ，已知當(dāng)時(shí)，，所以在x>0時(shí)，<0，即g（x）在（0，+）上是減函數(shù)，因?yàn)?/span>y=lnx在（0，+）上是增函數(shù)，所以f（x）在（0，+）上是減函數(shù)已知是奇函數(shù)，所以f（x）在（-，0）上也是減函數(shù)，f（0）=0，故當(dāng)時(shí)，f（x）<0, 當(dāng)時(shí)，f（x）>0,由得 ，解得x<-2或0<x<2故選D. 二、解答題5．已知函數(shù)，.（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)，，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若上存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由，得.由題意，，所以.（2）.因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)，，都有恒成立，設(shè)，則即恒成立.問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)，即在上為增函數(shù)，所以在上恒成立.即在上恒成立.所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）不等式等價(jià)于，整理得.構(gòu)造函數(shù)，由題意知，在上存在一點(diǎn)，使得..因?yàn)?/span>，所以，令，得.①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增.只需，解得.②當(dāng)即時(shí)，在處取最小值.令即，可得.令，即，不等式可化為.因?yàn)?/span>，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，只需，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是. 

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