2022高考數(shù)學(xué)真題分類匯編05 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（學(xué)生與教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?2022高考數(shù)學(xué)真題分類匯編
五、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
一、選擇題
1.（2022·全國甲（文T7）(理T5)）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）
A. B.
C. D.
2.（2022·全國甲（文T8）(理T6)）. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）
A. B. C. D. 1
3.（2022·全國乙（文T8）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（）

A. B. C. D.
4.（2022·全國乙（理）T12）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則（）
A. B. C. D.
5.（2022·新高考Ⅰ卷T10）已知函數(shù)，則（）
A. 有兩個(gè)極值點(diǎn) B. 有三個(gè)零點(diǎn)
C. 點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D. 直線是曲線的切線
6.（2022·新高考Ⅰ卷T12）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（）
A. B. C. D.
7.（2022·新高考Ⅱ卷T8）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（）
A. B. C. 0 D. 1
8.（2022·北京卷T4）己知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有（）
A. B.
C. D.
9.（2022·北京卷T7）在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是．下列結(jié)論中正確的是（）

A. 當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)
B. 當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)
C. 當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)
D. 當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)
10.（2022·浙江卷T7）已知，則（）
A. 25 B. 5 C. D.
二、填空題
1.（2022·全國乙（文T16）若是奇函數(shù)，則_____，______．
2.（2022·全國乙（理）T16）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．
3.（2022·新高考Ⅰ卷T15）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是______________．
4.（2022·新高考Ⅱ卷T14）寫出曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程：____________，____________．
5.（2022·北京卷T11）函數(shù)的定義域是_________．
6.（2022·北京卷T14）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為________；a的最大值為___________．
7.（2022·浙江卷T14）已知函數(shù)則________；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是_________．
三、解答題

1.（2022·全國甲（文）T20）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．
（1）若，求a；
（2）求a的取值范圍．
2.（2022·全國甲（理）T21）已知函數(shù)．
（1）若，求a的取值范圍；
（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則環(huán)．
3.（2022·全國乙（文）T20）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；
（2）若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
4.（2022·全國乙（理）T21）已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
5.（2022·新高考Ⅰ卷T22）已知函數(shù)和有相同最小值．
（1）求a；
（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
6.（2022·新高考Ⅱ卷T22）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；
（3）設(shè)，證明：．
7.（2022·北京卷T20）已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處切線方程；
（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
（3）證明：對(duì)任意的，有．
8.（2022·浙江卷T22）設(shè)函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過點(diǎn)．證明：
（?。┤?，則；
（ⅱ）若，則．
（注：是自然對(duì)數(shù)底數(shù)）
參考答案
一、選擇題
1.【答案】A
【解析】
【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.
【詳解】令，
則，
所以為奇函數(shù)，排除BD；
又當(dāng)時(shí)，，所以，排除C.
故選：A.
2.【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋砸李}可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．
故選：B.
3. 【答案】A
【解析】
【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.
【詳解】設(shè)，則，故排除B;
設(shè)，當(dāng)時(shí)，，
所以，故排除C;
設(shè)，則，故排除D.
故選：A.
4. 【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.
【詳解】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，
因?yàn)?，所以，即?br /> 因?yàn)?，所以?br /> 代入得，即，
所以，
.
因?yàn)?，所以，即，所?
因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?br /> 聯(lián)立得，，
所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，
所以
因?yàn)?，所?
所以.
故選：D
【點(diǎn)睛】含有對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.
5. 【答案】AC
【解析】
【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.
【詳解】由題，，令得或，
令得，
所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
所以是極值點(diǎn)，故A正確；
因，，，
所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，
綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，?br /> 則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，
將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，
所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；
令，可得，又，
當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，
故D錯(cuò)誤.
故選：AC
6. 【答案】BC
【解析】
【分析】轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】因?yàn)?，均為偶函?shù)，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對(duì)稱，
又，且函數(shù)可導(dǎo)，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；
若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化題干條件為抽象函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系，準(zhǔn)確把握函數(shù)的性質(zhì)（必要時(shí)結(jié)合圖象）即可得解.
7.【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．
【詳解】因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．
因?yàn)?，，，，，所?br /> 一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，
所以．
故選：A．
8. 【答案】C
【解析】
【分析】直接代入計(jì)算，注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤．
【詳解】，故A錯(cuò)誤，C正確；
，不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤；
故選：C．
9. 【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)與的關(guān)系圖可得正確的選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.
當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.
當(dāng)，時(shí)，與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，
另一方面，時(shí)對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)誤.
當(dāng)，時(shí)，因, 故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.
故選：D

10. 【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，冪的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．
【詳解】因?yàn)?，，即，所以?br /> 故選：C.

二、填空題
1. 【答案】 ①. ； ②. ．
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)?，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．
故答案為：；．
2. 【答案】
【解析】
【分析】由分別是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，可得時(shí)，，時(shí)，，再分和兩種情況討論，方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義結(jié)合圖象即可得出答案.
【詳解】解：，
因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
若時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
則此時(shí)，與前面矛盾，
故不符合題意，
若時(shí)，
則方程的兩個(gè)根為，
即方程的兩個(gè)根為，
即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
令，則，
設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，
則切線的斜率為，
故切線方程為，
則有，
解得，
則切線的斜率為，
因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以，解得，
又，所以，
綜上所述，的范圍為.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)問題，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想，有一定的難度.
3. 【答案】
【解析】
【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.
【詳解】∵，∴，
設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過原點(diǎn)，∴,
整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,
故答案為：
4. 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；
【詳解】解：因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；
當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；
故答案為：；

5. 【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組，解得即可；
【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得且?br /> 故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 故答案為：
6. 【答案】 ① 0（答案不唯一） ②. 1
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時(shí)函數(shù)沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據(jù)定義域討論可知或，解得 .
【詳解】解：若時(shí)，，∴；
若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒有最小值，不符合題目要求；
若時(shí)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，
∴或，
解得，
綜上可得；
故答案為：0（答案不唯一），1

7. 【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出的最小值,的最大值即可.
【詳解】由已知，，
所以，
當(dāng)時(shí)，由可得，所以，
當(dāng)時(shí)，由可得，所以，
等價(jià)于，所以，
所以的最大值為.
故答案為：，.

四、解答題

1. 【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）先由上的切點(diǎn)求出切線方程，設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)值求出即可；
（2）設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別由和及切點(diǎn)表示出切線方程，由切線重合表示出，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.
【小問1詳解】
由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，
即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；
【小問2詳解】
，則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，
設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，整理得，
則，整理得，
令，則，令，解得或，
令，解得或，則變化時(shí)，的變化情況如下表：

0

1

0

0

0

則的值域?yàn)?，故的取值范圍?
2. 【答案】（1）
（2）證明見的解析
【解析】
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.
【小問1詳解】
的定義域?yàn)椋?br />
令,得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增，
若,則,即
所以的取值范圍為
【小問2詳解】
由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1
不妨設(shè)
要證,即證
因?yàn)?即證
因?yàn)?即證
即證
即證
下面證明時(shí)，
設(shè)，
則

設(shè)
所以,而
所以,所以
所以在單調(diào)遞增
即,所以
令

所以在單調(diào)遞減
即,所以；
綜上, ,所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式
這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握
3. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；
（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以；
【小問2詳解】
，則，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
又，當(dāng)x趨近正無窮大時(shí)，趨近于正無窮大，
所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，
所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，
又，當(dāng)n趨近正無窮大時(shí)，趨近負(fù)無窮，
所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，
所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.
4. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可
（2）求導(dǎo),對(duì)分類討論,對(duì)分兩部分研究
【小問1詳解】
的定義域?yàn)?br /> 當(dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為
【小問2詳解】

設(shè)
若,當(dāng),即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點(diǎn),不合題意
若,當(dāng),則
所以在上單調(diào)遞增所以,即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點(diǎn),不合題意
若
(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增

所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增
所以
當(dāng)
當(dāng)
所以在上有唯一零點(diǎn)
又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)
(2)當(dāng)
設(shè)

所以在單調(diào)遞增

所以存在,使得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增
又
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減
有
而,所以當(dāng)
所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)
即在上有唯一零點(diǎn)
所以,符合題意
所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.
5. 【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.
（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)時(shí)，的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.
【小問1詳解】
的定義域?yàn)椋?br /> 若，則，此時(shí)無最小值，故.
的定義域?yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，
故.
當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，
故.
因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担?br /> 故，整理得到，其中，
設(shè)，則，
故為上的減函數(shù)，而，
故的唯一解為，故的解為.
綜上，.
【小問2詳解】
由（1）可得和的最小值為.
當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
設(shè)，其中，則，
故在上為增函數(shù)，故，
故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.
當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無零點(diǎn)，
故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
則.
設(shè)，其中，故，
設(shè)，，則，
故在上為增函數(shù)，故即，
所以，所以在上為增函數(shù)，
而，，
故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：
當(dāng)時(shí)，即即，
當(dāng)時(shí)，即即，
因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同交點(diǎn)，
故，
此時(shí)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
此時(shí)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
故，，，
所以即即，
故為方程的解，同理也為方程的解
又可化為即即，
故為方程的解，同理也為方程的解，
所以，而，
故即.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)注意對(duì)參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.
6. 【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）
（3）見解析
【解析】
【分析】（1）求出，討論其符號(hào)后可得的單調(diào)性.
（2）設(shè)，求出，先討論時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號(hào)，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.
（3）由（2）可得對(duì)任意的恒成立，從而可得對(duì)任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
【小問2詳解】
設(shè)，則，
又，設(shè)，
則，
若，則，
因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.
若，則，
下證：對(duì)任意，總有成立，
證明：設(shè)，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，
所以.
當(dāng)時(shí)，有，
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
【小問3詳解】
取，則，總有成立，
令，則，
故即對(duì)任意的恒成立.
所以對(duì)任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號(hào)合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.

7. 【答案】（1）
（2）在上單調(diào)遞增.
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；
（2）在求一次導(dǎo)數(shù)無法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問題即得解；
（3）令，，即證，由第二問結(jié)論可知在[0,+∞）上單調(diào)遞增，即得證.
【小問1詳解】
解：因?yàn)?，所以?br /> 即切點(diǎn)坐標(biāo)為，
又，
∴切線斜率
∴切線方程為：
【小問2詳解】
解：因?yàn)椋?
所以，
令，
則，
∴在上單調(diào)遞增，
∴
∴在上恒成立，
∴上單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
解：原不等式等價(jià)于，
令，，
即證，
∵，
，
由（2）知在上單調(diào)遞增，
∴，
∴
∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?br /> ∴，所以命題得證.

8. 【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）（?。┮娊馕?；（ⅱ）見解析.
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性.
（2）（?。┯深}設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，根據(jù)方程有3個(gè)不同的解可證明不等式成立，（ⅱ），，則題設(shè)不等式可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合零點(diǎn)滿足的方程進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)可證該不等式成立.
【小問1詳解】
，
當(dāng)，；當(dāng)，，
故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.
【小問2詳解】
（?。┮?yàn)檫^有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為，
故，
故方程有3個(gè)不同的根，
該方程可整理為，
設(shè)，
則
，
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，故且，
故且，
整理得到：且，
此時(shí)，
設(shè)，則，
故為上的減函數(shù)，故，
故
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，同（?。┲杏懻摽傻茫?br /> 故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
不妨設(shè)，則，
因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，故且，
故且，
整理得到：，
因?yàn)?，故?br /> 又，
設(shè)，，則方程即為：
即為，
記
則為有三個(gè)不同的根，
設(shè)，，
要證：，即證，
即證：，
即證：，
即證：，
而且，
故，
故，
故即證：，
即證：
即證：，
記，則，
設(shè)，則即，
故在上為增函數(shù)，故，
所以，
記，
則，
所以在為增函數(shù)，故，
故即，
故原不等式得證：
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下的切線條數(shù)問題，一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點(diǎn)方程的解的個(gè)數(shù)問題，而復(fù)雜方程的零點(diǎn)性質(zhì)的討論，應(yīng)該根據(jù)零點(diǎn)的性質(zhì)合理轉(zhuǎn)化需求證的不等式，常用的方法有比值代換等.

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