1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事件所包含的樣本點及事件發(fā)生的概率.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.古典概型(1)有限性：樣本空間的樣本點只有_______；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性_____.2.古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝__＝ .其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).
3.概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝___________；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝________；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對于任意事件A，因為??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A∪B)＝____________________.
若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一個數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.(　　)(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事件.(　　)(3)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(　　)(4)兩個互斥事件的概率和為1.(　　)
2.某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.2,0.3,0.1，則該射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為A.0.9 D.0.4
3.拋擲一枚骰子，記A為事件“出現(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)”，則P(A∪B)＝__，P(A∩B)＝__.
拋擲一枚骰子，樣本空間出現(xiàn)的點數(shù)是{1,2,3,4,5,6}，事件A∪B包括出現(xiàn)的點數(shù)是{1,3,5,6}這4個樣本點，故P(A∪B)＝ ；事件A∩B包括出現(xiàn)的點數(shù)是{3}這1個樣本點，故P(A∩B)＝ .
TANJIUHEXINTIXING
例1　(1)(2022·昆明模擬)2021年，云南省人民政府發(fā)布《關(guān)于命名“云南省美麗縣城”“云南省特色小鎮(zhèn)”的通知》，命名16個“云南省美麗縣城”和6個“云南省特色小鎮(zhèn)”，其中這6個云南省特色小鎮(zhèn)分別是安寧溫泉小鎮(zhèn)、騰沖銀杏小鎮(zhèn)、祿豐黑井古鎮(zhèn)、劍川沙溪古鎮(zhèn)、瑞麗畹町小鎮(zhèn)、德欽梅里雪山小鎮(zhèn).某人計劃在今年暑假期間從這6個云南特色小鎮(zhèn)中任意選兩個去旅游，則其中一個是安寧溫泉小鎮(zhèn)的概率為
6個云南省特色小鎮(zhèn)分別為a，b，c，d，e，f，其中a為安寧溫泉小鎮(zhèn)，則6個云南特色小鎮(zhèn)中任意選兩個的樣本點有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15個，其中一個是安寧溫泉小鎮(zhèn)有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)共5個，所以要求的概率為P＝
(2)(2021·全國甲卷)將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為
1.(2022·江蘇百師聯(lián)盟聯(lián)考)將3名男生1名女生共4名同學(xué)分配到甲、乙、丙三個社區(qū)參加社會實踐，每個社區(qū)至少一名同學(xué)，則恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的概率是
2.(2022·福州模擬)“博餅”是閩南地區(qū)中秋佳節(jié)的傳統(tǒng)民俗游戲，也是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的代表性項目.“博餅”的游戲規(guī)則是：參與者輪流把6顆骰子同時投進(jìn)一個大瓷碗里，而后根據(jù)骰子的向上一面點數(shù)組合情況，來決定獲獎等次，獲獎等次分為6類，分別用中國古代科舉的排名名稱命名，獲獎?wù)咄冻龅镊蛔咏M合如圖所示，根據(jù)你所學(xué)的概率知識，投出“六杯紅”的概率為___；投出“狀元插金花”的概率為_______.(不需得出具體數(shù)值)
依題意，6個骰子同時投擲一次，樣本點總數(shù)為66.其中，投出“六杯紅”的樣本點數(shù)為1；投出“狀元插金花”的樣本點數(shù)為 ＝15.故投出“六杯紅”的概率為 ；投出“狀元插金花”的概率為 .
利用公式法求解古典概型問題的步驟
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2022·深圳模擬)五一國際勞動節(jié)放假期間，甲、乙兩名同學(xué)計劃在5月1日到5月3日期間去敬老院做志愿者，若甲同學(xué)在三天中隨機選一天，乙同學(xué)在前兩天中隨機選一天，且兩名同學(xué)的選擇互不影響，則他們在同一天去的概率為
甲同學(xué)在三天中隨機選一天共有3種方法，乙同學(xué)在前兩天中隨機選一天共有2種方法，所以一共有3×2＝6(種)方法，他們在同一天去共有2種情況，所以他們在同一天去的概率為
(2)(2022·蘇州模擬)皮埃爾·德·費馬，法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，對數(shù)學(xué)作出了重大貢獻(xiàn)，其中在1636年發(fā)現(xiàn)了：若p是質(zhì)數(shù)，且a，p互質(zhì)，那么a的(p－1)次方除以p的余數(shù)恒等于1，后來人們稱該定理為費馬小定理.依此定理，若在數(shù)集{2,3,5,6,8}中任取兩個數(shù)，其中一個作為p，另一個作為a，則所取兩個數(shù)符合費馬小定理的概率為
在數(shù)集{2,3,5,6,8}中任取兩個數(shù)，其中一個作為p，另一個作為a，樣本點總數(shù)n＝ ＝20，所取兩個數(shù)(p，a)符合費馬小定理包含的樣本點有(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,5)，(3,8)，(5,2)，(5,3)，(5,6)，(5,8)，共9個，∴所取兩個數(shù)符合費馬小定理的概率為P＝ .
例2　某醫(yī)院要派醫(yī)生下鄉(xiāng)義診，派出醫(yī)生的人數(shù)及其概率如下表所示.
(1)求派出醫(yī)生至多2個的概率；
設(shè)“不派出醫(yī)生”為事件A，“派出1名醫(yī)生”為事件B，“派出2名醫(yī)生”為事件C，“派出3名醫(yī)生”為事件D，“派出4名醫(yī)生”為事件E，“派出5名及5名以上醫(yī)生”為事件F，事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.“派出醫(yī)生至多2個”的概率為P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)求派出醫(yī)生至少2個的概率.
方法一　“派出醫(yī)生至少2人”的概率為P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.方法二　“派出醫(yī)生至少2個”的概率為1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
方法一　A包含向上點數(shù)是1,3,5的情況，B包含向上的點數(shù)是1,2,3的情況，所以A∪B包含了向上點數(shù)是1,2,3,5的情況，故P(A∪B)＝ .方法二　P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
求復(fù)雜互斥事件的概率的兩種方法(1)直接法?(2)間接法(正難則反，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解簡單).
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(2022·東營模擬)五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為宮、商、角、徵、羽.如果從這五個音階中任取兩個音階，排成一個兩個音階的音序，則這個音序中宮和羽至少有一個的概率為
設(shè)從這五個音階中任取兩個音階，排成一個兩個音階的音序，這個音序中宮和羽至少有一個為事件A，則 表示這個音序中不含宮和羽這兩個音序，
(2)數(shù)學(xué)多選題有A，B，C，D四個選項，在給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯的不得分.已知某道數(shù)學(xué)多選題正確答案為B，D，小明同學(xué)不會做這道題目，他隨機地填涂了至少一個選項，則他能得分的概率為____.
例3　飲用水水源的安全是保障飲用水安全的基礎(chǔ).同時國家提倡節(jié)約用水，全民積極維護(hù)飲用水水源安全，保障安全飲水.2021年5月13日下午，正在河南省南陽市考察調(diào)研的習(xí)近平總書記來到淅川縣，先后考察了陶岔渠首樞紐工程、丹江口水庫，聽取南水北調(diào)中線工程建設(shè)管理運行和水源地生態(tài)保護(hù)等情況介紹.為了提高節(jié)約用水意識，為此，某校開展了“節(jié)約用水，從我做起”活動，從參賽的學(xué)生中隨機選取100人的成績作為樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計該校此次參賽學(xué)生成績的平均分 (同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；
根據(jù)頻率分布直方圖得到(0.005＋0.025×2＋0.01＋a)×10＝1，解得a＝0.035.這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為50×0.05＋60×0.25＋70×0.35＋80×0.25＋90×0.1＝71，所以 ＝71.
(2)在該樣本中，若采用分層隨機抽樣方法，從成績低于65分的學(xué)生中隨機抽取6人調(diào)查他們的答題情況，再從這6人中隨機抽取3人進(jìn)行深入調(diào)研，求這3人中至少有1人的成績低于55分的概率.
根據(jù)頻率分布直方圖得到，成績在[45,55)，[55,65)內(nèi)的頻率分別為0.05,0.25，所以采用分層隨機抽樣的方法從樣本中抽取的6人，成績在[45,55)內(nèi)的有1人，記為X，成績在[55,65)內(nèi)的有5人，分別記為a，b，c，d，e，從這6人中隨機抽取3人，所有可能的結(jié)果為Xab，Xac，Xad，Xae，Xbc，Xbd，Xbe，Xcd，Xce，Xde，abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，共20種.
這3人中至少有1人的成績在[45,55)內(nèi)的有Xab，Xac，Xad，Xae，Xbc，Xbd，Xbe，Xcd，Xce，Xde，共10種.所以這3人中至少有1人的成績低于55分的概率為＝ .
(2019·天津)2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受情況.(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？
由已知得老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采用分層隨機抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人、9人、10人.
(2)抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.
①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；
從已知的6人中隨機抽取2人的樣本空間為{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共15個樣本點.
②設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件M發(fā)生的概率.
由表格知，符合題意的有(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共11個樣本點.所以事件M發(fā)生的概率P(M)＝ .
求解古典概型的交匯問題的步驟(1)將題目條件中的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為事件；(2)判斷事件是否為古典概型；(3)選用合適的方法確定樣本點個數(shù)；(4)代入古典概型的概率公式求解.
跟蹤訓(xùn)練3　為了了解某種新型藥物對治療某種疾病的療效，某機構(gòu)日前聯(lián)合醫(yī)院，進(jìn)行了小規(guī)模的調(diào)查，結(jié)果顯示，相當(dāng)多的受訪者擔(dān)心使用新藥后會有副作用.為了了解使用該種新型藥品后是否會引起疲乏癥狀，該機構(gòu)隨機抽取了某地患有這種疾病的275人進(jìn)行調(diào)查，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：
(1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，m，t的值，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否以此推斷有疲乏癥狀與使用該新藥有關(guān)？
由數(shù)表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175，所以x＝75，y＝25，m＝50，t＝175，零假設(shè)為H0：有疲乏癥狀與使用該新藥無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到≈4.911>3.841＝x0.05，根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為有疲乏癥狀與使用該新藥有關(guān).
(2)從使用該新藥的100人中按是否有疲乏癥狀，采用分層隨機抽樣的方法抽出4人，再從這4人中隨機抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，求這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率.
從使用新藥的100人中用分層隨機抽樣抽取4人的抽樣比為 ，則抽取有疲乏癥狀的人數(shù)為 ×25＝1，無疲乏癥狀的有3人，抽取的有疲乏癥狀的1人記為1，無疲乏癥狀的3人記為a，b，c，從4人中隨機抽取2人的所有樣本點為(1，a)，(1，b)，(1，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共6個，它們等可能，記2人中恰有1人有疲乏癥狀的事件為M，它所含樣本點是(1，a)，(1，b)，(1，c)，共3個，
于是得P(M)＝ ，所以這2人中恰有1 人有疲乏癥狀的概率是 .
KESHIJINGLIAN
1.(多選)下列試驗是古典概型的是A.在適宜的條件下種一粒種子，發(fā)芽的概率B.口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一 球為白球的概率C.向一個圓面內(nèi)部隨機地投一個點，該點落在圓心的概率D.老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人做典型發(fā)言，甲被選中的概率
A項，在適宜的條件下種一粒種子，發(fā)芽的概率，不符合等可能性；B項，從中任取一球的事件有限，且任取一球為白球或黑球的概率是等可能的；C項，向一個圓面內(nèi)部隨機地投一個點，該點落在圓心的概率，不符合有限性；D項，老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人的事件有限，甲、乙、丙被選中的概率是等可能的.
由題意得，從1,2,3,4,5這5個數(shù)中隨機抽取2個數(shù)，則共有下列情況：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，共有20種等可能情況，其中 為整數(shù)的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(4,2)，5種情況，所以所求概率為 .
3.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓.如圖是易經(jīng)先天八卦圖，每一卦由三根線組成(“ ”表示一根陽線，“ ”表示一根陰線)，現(xiàn)從八卦中任取兩卦，這兩卦的陽線數(shù)目相同的概率為
從八卦中任取兩卦，樣本點總數(shù)n＝ ＝28，這兩卦的陽線數(shù)目相同的樣本點有6種，分別為(兌，巽)，(兌，離)，(巽，離)，(坎，艮)，(艮，震)，(坎，震)，∴這兩卦的陽線數(shù)目相同的概率為P＝ .
4.(2022·黃山質(zhì)檢)從集合{1,2,4}中隨機抽取一個數(shù)a，從集合{2,4,5}中隨機抽取一個數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(2，－1)垂直的概率為
從集合{1,2,4}中隨機抽取一個數(shù)a，從集合{2,4,5}中隨機抽取一個數(shù)b，可以組成向量m＝(a，b)的個數(shù)是3×3＝9(個)，其中與向量n＝(2，－1)垂直的向量是m＝(1,2)和m＝(2,4)，共2個，故所求的概率為P＝ .
5.(2022·莆田質(zhì)檢)甲、乙兩位同學(xué)到莆田市湄洲島當(dāng)志愿者，他們同時從“媽祖祖廟”站上車，乘坐開往“黃金沙灘”站方向的3路公交車(線路圖如下).甲將在“供水公司”站之前的任意一站下車，乙將在“鵝尾神化石”站之前的任意一站下車.假設(shè)每人自“管委會”站開始在每一站點下車是等可能的，則甲比乙后下車的概率為
甲從“管委會”站到“北埭”站的每一站下車都可以，有8種情況，乙從“管委會”站到“東至”站的每一站下車都可以，有15種情況，若乙在“管委會”站下車，則甲有7種情況，若乙在“地稅分局”站下車，則甲有6種情況，若乙在“興海路”站下車，則甲有5種情況，若乙在“閩臺風(fēng)情街”站下車，則甲有4種情況，
若乙在“蓮池小學(xué)”站下車，則甲有3種情況，若乙在“金沙灘”站下車，則甲有2種情況，若乙在“蓮池沙灘”站下車，則甲有1種情況，因此，甲比乙后下車的概率為
6.(2022·紹興模擬)北斗導(dǎo)航系統(tǒng)由55顆衛(wèi)星組成，于2020年6月23日完成全球組網(wǎng)部署，全面投入使用.北斗七星自古是我國人民辨別方向判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、天璣、天權(quán)、玉衡、開陽、搖光，其中玉衡最亮，天權(quán)最暗.一名天文愛好者從七顆星中隨機選兩顆進(jìn)行觀測，則玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為
7.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是0.05和0.03，則抽檢一件是甲級品的概率為_____.
記抽撿的產(chǎn)品是甲級品為事件A，是乙級品為事件B，是丙級品為事件C，這三個事件彼此互斥，且事件A和事件B∪C是對立事件，因而所求概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.92.
8.已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，則函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是____.
若函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)，則a2－2

相關(guān)課件

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件 第10章 §10.5　古典概型、概率的基本性質(zhì)：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件 第10章 §10.5　古典概型、概率的基本性質(zhì)，共60頁。PPT課件主要包含了落實主干知識，探究核心題型，課時精練等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)高考2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(新高考版) 第10章 §10 4　隨機事件的概率與古典概型課件PPT：

這是一份高中數(shù)學(xué)高考2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(新高考版) 第10章 §10 4　隨機事件的概率與古典概型課件PPT，共60頁。PPT課件主要包含了考試要求，主干梳理基礎(chǔ)落實，題型突破核心探究，課時精練，內(nèi)容索引，事件的關(guān)系與運算，B?A，A＝B，≤PA≤1，PA＋PB等內(nèi)容，歡迎下載使用。

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件第10章§10.5《古典概型、概率的基本性質(zhì)》(含解析)：

這是一份(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件第10章§10.5《古典概型、概率的基本性質(zhì)》(含解析)，共60頁。PPT課件主要包含了考試要求，落實主干知識，有限個，PA＋PB，－PB，－PA∩B，探究核心題型，古典概型，思維升華，概率的基本性質(zhì)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)課件 更多

數(shù)學(xué)必修 第二冊第十章 概率10.1 隨機事件與概率教案配套課件ppt

數(shù)學(xué)必修 第二冊第十章 概率10.1 隨機事件與概率教案配套課件ppt
數(shù)學(xué)必修 第二冊8.1 基本立體圖形示范課ppt課件

數(shù)學(xué)必修 第二冊8.1 基本立體圖形示范課ppt課件
數(shù)學(xué)8.1 基本立體圖形集體備課課件ppt

數(shù)學(xué)8.1 基本立體圖形集體備課課件ppt
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊10.1 隨機事件與概率一等獎?wù)n件ppt

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊10.1 隨機事件與概率一等獎?wù)n件ppt
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部