1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.正弦定理與余弦定理
b2＋c2－2bccs A
c2＋a2－2cacs B
a2＋b2－2abcs C
2.三角形中常用的面積公式
在△ABC中，常有以下結(jié)論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.(3)a>b?A>B?sin A>sin B，cs Asin B，則A>B.(　　)(3)在△ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素.(　　)(4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時(shí)，△ABC為銳角三角形.(　　)
1.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC等于
因?yàn)樵凇鰽BC中，設(shè)AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得
因?yàn)椤螧AC為△ABC的內(nèi)角，
又a>b，則A>B，所以B為銳角，故B＝45°.
3.在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，則c＝ ，△ABC的面積＝ .
TANJIUHEXINTIXING
例1　(12分)(2021·新高考全國(guó)Ⅰ)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2＝ac，點(diǎn)D在邊AC上，BD·sin∠ABC＝asin C.(1)證明：BD＝b;[切入點(diǎn)：角轉(zhuǎn)化為邊](2)若AD＝2DC，求cs∠ABC. [關(guān)鍵點(diǎn)：∠BDA和∠BDC互補(bǔ)]
利用正弦定理、余弦定理解三角形
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C.(1)求A；
根據(jù)正弦定理，由bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C，可得bc＋a2＝b2＋c2，即bc＝b2＋c2－a2，
所以∠ADB＋∠ADC＝π，則cs∠ADB＋cs∠ADC＝0，
整理得a2＝2b2－44，又a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋4－2b，所以b2＋4－2b＝2b2－44，解得b＝6或b＝－8(舍)，因此a2＝2b2－44＝28，
解三角形問題的技巧(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.
跟蹤訓(xùn)練1　(2021·北京)已知在△ABC中，c＝2bcs B，C＝(1)求B的大?。?br/>∵c＝2bcs B，則由正弦定理可得sin C＝2sin Bcs B，
(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求出BC邊上的中線的長(zhǎng)度.
若選擇①：由正弦定理結(jié)合(1)可得
設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，
由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)度為
則由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)度為
例2　在△ABC中， (a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則△ABC的形狀為A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用
命題點(diǎn)1　三角形形狀判斷
即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C，所以cs Bsin C＝sin Bcs C＋cs Bsin C，即sin Bcs C＝0，又sin B≠0，所以cs C＝0，又角C為三角形的內(nèi)角，
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，
所以△ABC是等邊三角形.
判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.(2)化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論.
命題點(diǎn)2　三角形的面積
例3　(2022·滄州模擬)在①sin A，sin C，sin B成等差數(shù)列；②a∶b∶c＝4∶3∶2；③bcs A＝1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.若問題中的三角形存在，求該三角形面積的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a(sin A－sin B)＋bsin B ＝csin C，c＝1， ？注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
因?yàn)閍(sin A－sin B)＋bsin B＝csin C，由正弦定理得a(a－b)＋b2＝c2，即a2＋b2－c2＝ab，
選擇①：因?yàn)閟in A，sin C，sin B成等差數(shù)列，所以sin A＋sin B＝2sin C，即a＋b＝2c＝2，由a2＋b2－c2＝a2＋b2－1＝ab，得(a＋b)2－3ab＝1，所以ab＝1，故存在滿足題意的△ABC，
選擇②：因?yàn)閍∶b∶c＝4∶3∶2，
這與A＋B＋C＝π矛盾，所以△ABC不存在.選擇③：因?yàn)閎cs A＝1，
得b2＝1＋a2＝c2＋a2，
三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對(duì)于面積公式S＝ 一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式.(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.
命題點(diǎn)3　與平面幾何有關(guān)的問題
例4　如圖，在平面四邊形ABCD中，已知A＝ AB＝6.在AB邊上(1)求sin∠BCE的值；
在△BEC中，由正弦定理，
∴△AED為直角三角形，又AE＝5，
在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cs∠CED
1.在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cs Asin B＝sin C，則該三角形的形狀是A.直角三角形 B.等腰三角形C.等邊三角形 D.鈍角三角形
∵a2＋b2－c2＝ab，
由2cs Asin B＝sin C，
故三角形為等邊三角形.
2.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acs C－(1)求tan C；
平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長(zhǎng)度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問題，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運(yùn)算的方法加以解決.在解決某些具體問題時(shí)，常先引入變量，如邊長(zhǎng)、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函數(shù)思想.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c－acs B＝(2a－b)cs A，則△ABC的形狀為A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
因?yàn)閏－acs B＝(2a－b)cs A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C－sin Acs B＝2sin Acs A－sin Bcs A，所以sin Acs B＋cs Asin B－sin Acs B＝2sin Acs A－sin Bcs A，所以cs A(sin B－sin A)＝0，所以cs A＝0或sin B＝sin A，
所以△ABC為等腰或直角三角形.
(2)(2022·鄭州模擬)如圖，在△ABC中，AB＝9，cs B＝ ，點(diǎn)D在BC邊上，AD＝7，∠ADB為銳角.①求BD；
在△ABD中，由余弦定理得AB2＋BD2－2AB·BD·cs B＝AD2，整理得BD2－12BD＋32＝0，所以BD＝8或BD＝4.
②若∠BAD＝∠DAC，求sin C的值及CD的長(zhǎng).
所以sin C＝sin(∠ADB－∠CAD)＝sin(∠ADB－∠BAD)＝sin∠ADBcs∠BAD －cs∠ADBsin∠BAD
KESHIJINGLIAN
1.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為則C等于
根據(jù)題意及三角形的面積公式知
2.(2022·北京西城區(qū)模擬)在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，則c等于
因?yàn)閟in A＝6sin B，由正弦定理可得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因?yàn)镃＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcs C，
3.(2022·濟(jì)南質(zhì)檢)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，
4.(2022·河南九師聯(lián)盟聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c＝2b，sin2A－3sin2B＝ sin Asin C，則角C等于
5.(多選)(2022·山東多校聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c,2bsin A＝ D為BC的中點(diǎn)，E為AC上的點(diǎn)，且BE為∠ABC的平分線，下列結(jié)論正確的是
又sin2B＋cs2B＝1，
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs B，得BC＝6.A項(xiàng)，
D項(xiàng)，在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcs B
6.(多選)(2022·張家口質(zhì)檢)下列命題中，正確的是A.在△ABC中，A>B，則sin A>sin BB.在銳角△ABC中，不等式sin A>cs B恒成立C.在△ABC中，若acs A＝bcs B，則△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形
對(duì)于A，由A>B，可得a>b，利用正弦定理可得sin A>sin B，正確；
∴不等式sin A>cs B恒成立，正確；對(duì)于C，在△ABC中，由acs A＝bcs B，利用正弦定理可得sin Acs A＝sin Bcs B，∴sin 2A＝sin 2B，∵A，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴是假命題，錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B＝60°，故正確.
7.(2022·濰坊質(zhì)檢)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且b＝3，a－c＝2，A＝ .則△ABC的面積為 .
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A，
解得c＝5，則△ABC的面積為
8.(2021·全國(guó)乙卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為 ，B＝60°，a2＋c2＝3ac，則b＝ .
所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，
9.(2022·南平模擬)在①2ccs B＝2a－b，②△ABC的面積為 (a2＋b2－c2)，③cs2A－cs2C＝sin2B－sin Asin B，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.(如果選擇多個(gè)條件作答，則按所選的第一個(gè)條件給分)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且 .(1)求角C的大小；
若選條件①2ccs B＝2a－b，
即a2＋b2－c2＝ab，
又因?yàn)镃∈(0，π)，
若選條件③cs2A－cs2C＝sin2B－sin Asin B，則(1－sin2A)－(1－sin2C)＝sin2B－sin Asin B，
即sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B，即a2＋b2－c2＝ab，
(2)若c＝2且4sin Asin B＝3，求△ABC的面積.
又因?yàn)?sin Asin B＝3，所以ab＝4，
10.(2022·湘豫聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，AD＝7，點(diǎn)D在BC上，且cs∠ADC＝(1)求BD；
在△ABD中，由余弦定理得82＝BD2＋72－2·BD·7·cs∠ADB，解得BD＝3或BD＝－5(舍).
11.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面
所以2S＝absin C，a2＋b2－c2＝2abcs C.又4S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，所以2absin C＝2abcs C＋2ab.因?yàn)閍b≠0，所以sin C＝cs C＋1.
因?yàn)閟in2C＋cs2C＝1，所以(cs C＋1)2＋cs2 C＝1，解得cs C＝－1(舍去)或cs C＝0，所以sin C＝1，
12.(2022·焦作模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c依次成等差數(shù)列，△ABC的周長(zhǎng)為15，且(sin A＋sin B)2＋cs2C＝1＋sin Asin B，則cs B等于
因?yàn)?sin A＋sin B)2＋cs2C＝1＋sin Asin B，所以sin2A＋sin2B＋2sin A·sin B＋1－sin2C＝1＋sin A·sin B，所以由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，又a，b，c依次成等差數(shù)列，△ABC的周長(zhǎng)為15，即a＋c＝2b，a＋b＋c＝15，
又BC⊥CD，所以∠ACB與∠ACD互余，
所以CD2－6CD＋5＝0，解得CD＝1或CD＝5.
14.(2022·大連模擬)托勒密(Ptlemy)是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理指出：圓的內(nèi)接凸四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.已知凸四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，AC，BD是其兩條對(duì)角線，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，則四邊形ABCD的面積為 .
又∠ABD＝∠ACD＝30°，所以四邊形ABCD的面積
在△ABD中，設(shè)AB＝a，由余弦定理得
15.(多選)中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積.把以上文字寫成公式，即S＝ (S為三角形的面積，a，b，c為三角形的三邊).現(xiàn)有△ABC滿足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶ ，且△ABC的面積S△ABC＝6 ，則下列結(jié)論正確的是A.△ABC的周長(zhǎng)為10＋2B.△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足A＋B＝2CC.△ABC的外接圓半徑為D.△ABC的中線CD的長(zhǎng)為3
A項(xiàng)，設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，
16.(2021·新高考全國(guó)Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面積；
因?yàn)?sin C＝3sin A，則2c＝2(a＋2)＝3a，則a＝4，
(2)是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

相關(guān)課件

數(shù)學(xué)必修 第二冊(cè)6.4 平面向量的應(yīng)用課文ppt課件：

這是一份數(shù)學(xué)必修 第二冊(cè)6.4 平面向量的應(yīng)用課文ppt課件，共60頁(yè)。PPT課件主要包含了距離問題，高度問題，角度問題，隨堂演練，課時(shí)對(duì)點(diǎn)練等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考復(fù)習(xí) 4.8　正弦定理、余弦定理課件PPT：

這是一份高考復(fù)習(xí) 4.8　正弦定理、余弦定理課件PPT，共26頁(yè)。PPT課件主要包含了水平視線，正北方向，水平角，答案B，答案C，答案A等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考復(fù)習(xí)4.7　正弦定理、余弦定理課件PPT：

這是一份高考復(fù)習(xí)4.7　正弦定理、余弦定理課件PPT，共35頁(yè)。PPT課件主要包含了RsinB，RsinC，答案C，答案D，答案A，答案B，等腰或直角三角形等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)課件 更多

人教B版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第4章第7節(jié)正弦定理與余弦定理的應(yīng)用課件

人教B版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第4章第7節(jié)正弦定理與余弦定理的應(yīng)用課件
2021學(xué)年第六章 平面向量及其應(yīng)用6.4 平面向量的應(yīng)用授課ppt課件

2021學(xué)年第六章 平面向量及其應(yīng)用6.4 平面向量的應(yīng)用授課ppt課件
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)第六章 平面向量及其應(yīng)用6.4 平面向量的應(yīng)用優(yōu)質(zhì)ppt課件

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)第六章 平面向量及其應(yīng)用6.4 平面向量的應(yīng)用優(yōu)質(zhì)ppt課件
高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第二冊(cè)11.3 余弦定理、正弦定理的應(yīng)用優(yōu)質(zhì)課課件ppt

高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第二冊(cè)11.3 余弦定理、正弦定理的應(yīng)用優(yōu)質(zhì)課課件ppt
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部