絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。2．本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：·如果事件、互斥，那么．·如果事件、相互獨立，那么．·圓柱的體積公式，其中表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高．·棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高．一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，則A． B． C． D．2．設(shè)變量滿足約束條件則目標函數(shù)的最大值為A．2 B．3 C．5 D．63．設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件  B．必要而不充分條件C．充要條件  D．既不充分也不必要條件4．閱讀下邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的值為A．5 B．8 C．24 D．295．已知拋物線的焦點為，準線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且（為原點），則雙曲線的離心率為A． B． C． D．6．已知，，，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．7．已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為．若的最小正周期為，且，則A． B． C． D．8．已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A． B． C． D．絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）第Ⅱ卷注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2．本卷共12小題，共110分。二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．9．是虛數(shù)單位，則的值為_____________．10．的展開式中的常數(shù)項為_____________．11．已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為．若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_____________．12．設(shè)，直線和圓（為參數(shù)）相切，則的值為_____________．13．設(shè)，則的最小值為_____________．14．在四邊形中，，點在線段的延長線上，且，則_____________．三．解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．16．（本小題滿分13分）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立．（Ⅰ）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率．17．（本小題滿分13分）如圖，平面，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長．18．（本小題滿分13分）設(shè)橢圓的左焦點為，上頂點為．已知橢圓的短軸長為4，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上．若（為原點），且，求直線的斜率．19．（本小題滿分14分）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．已知．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足其中．（i）求數(shù)列的通項公式；（ii）求．20．（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當時，證明；（Ⅲ）設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點，其中，證明．絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）參考解答一．選擇題：本題考查基本知識和基本運算．每小題5分，滿分40分．1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C二．填空題：本題考查基本知識和基本運算．每小題5分，滿分30分．9．  10．  11．  12．  13． 14．三．解答題15．本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，滿分13分．（Ⅰ）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因為，得到，．由余弦定理可得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，從而，，故．16．本小題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎(chǔ)知識．考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力．滿分13分．（Ⅰ）解：因為甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7：30之前到校的概率均為，故，從而．所以，隨機變量的分布列為0123隨機變量的數(shù)學(xué)期望．（Ⅱ）解：設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為，則，且．由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨立，從而由（Ⅰ）知      ．17．本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識．考查用空間向量解決立體幾何問題的方法．考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力．滿分13分．依題意，可以建立以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸正方向的空間直角坐標系（如圖），可得，．設(shè)，則．（Ⅰ）證明：依題意，是平面的法向量，又，可得，又因為直線平面，所以平面．（Ⅱ）解：依題意，．設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得．因此有．所以，直線與平面所成角的正弦值為．（Ⅲ）解：設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得．由題意，有，解得．經(jīng)檢驗，符合題意．所以，線段的長為．18．本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識．考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)．考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力．滿分13分．（Ⅰ）解：設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，．所以，橢圓的方程為．（Ⅱ）解：由題意，設(shè)．設(shè)直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立整理得，可得，代入得，進而直線的斜率．在中，令，得．由題意得，所以直線的斜率為．由，得，化簡得，從而．所以，直線的斜率為或．19．本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其前項和公式等基礎(chǔ)知識．考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運算求解能力．滿分14分．（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．依題意得解得故．所以，的通項公式為的通項公式為．（Ⅱ）（i）解：．所以，數(shù)列的通項公式為．（ii）解：                                           ．20．本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、不等式證明、運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法．考查函數(shù)思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想．考查抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力．滿分14分．（Ⅰ）解：由已知，有．因此，當時，有，得，則單調(diào)遞減；當時，有，得，則單調(diào)遞增．所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅱ）證明：記．依題意及（Ⅰ），有，從而．當時，，故．因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，進而．所以，當時，．（Ⅲ）證明：依題意，，即．記，則，且．由及（Ⅰ），得．由（Ⅱ）知，當時，，所以在上為減函數(shù)，因此．又由（Ⅱ）知，，故．所以，．

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