?重慶市合川區(qū)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、單選題
1．下列事件中是必然事件的是（????）
A．沒(méi)有水分，種子發(fā)芽 B．某運(yùn)動(dòng)員投籃時(shí)，連續(xù)兩次投中
C．通常加熱到時(shí)，水沸騰 D．拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上
【答案】C
【分析】根據(jù)確定事件和隨機(jī)事件的定義來(lái)區(qū)分判斷即可，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定性事件；必然事件：在一定條件下，一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件；不可能事件：在一定條件下，一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件；隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件．
【詳解】解：A. 沒(méi)有水分，種子發(fā)芽，該事件是不可能事件，不符合題意；
B. 某運(yùn)動(dòng)員投籃時(shí)，連續(xù)兩次投中，該事件是隨機(jī)事件，不符合題意；
C. 通常加熱到時(shí)，水沸騰，該事件是必然事件，符合題意；
D. 拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上，該事件是隨機(jī)事件，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了確定事件和隨機(jī)事件的定義，熟悉定義是解題的關(guān)鍵．
2．下列航空航天圖標(biāo)是中心對(duì)稱圖形的是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A中圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
B中圖形是中心對(duì)稱圖形，符合題意；
C中圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
D中圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，理解中心對(duì)稱圖形的定義，找準(zhǔn)對(duì)稱中心是解答的關(guān)鍵．
3．下列是一元二次方程的是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．是一元一次方程，故A不符合題意；
B．是二元一次方程，故B不符合題意；
C．是一元二次方程，故C符合題意；
D．不是一元二次方程，故D不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次定義，含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．
4．如圖，點(diǎn)A，B，C在上，若，則的大小為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圓周角定理直接得出答案即可．
【詳解】解：∵，
∴，故C正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同弧或等弧所的圓周角等于圓心角的一半．
5．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可得到答案．
【詳解】解：∵拋物線解析式為，
∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故A正確．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，熟知對(duì)于二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為是解題的關(guān)鍵．
6．近幾年，二維碼逐漸進(jìn)入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．小剛將二維碼打印在面積為16的正方形紙片上，如圖，為了估計(jì)黑色陰影部分的面積，他在紙內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過(guò)大量實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則據(jù)此估計(jì)此二維碼中黑色陰影的面積為（????）

A．9.6 B．0.6 C．6.4 D．0.4
【答案】A
【分析】經(jīng)過(guò)大量實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在0.6左右，說(shuō)明點(diǎn)落在陰影部分的概率為0.6，再結(jié)合正方形的面積為16，即可估計(jì)陰影部分的面積．
【詳解】解：∵經(jīng)過(guò)大量實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在0.6左右，
∴點(diǎn)落在陰影部分的概率為0.6，
設(shè)陰影部分面積為S，則，即：，
∴黑色陰影的面積為9.6，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率，理解并熟練運(yùn)用概率公式是解題關(guān)鍵．
7．如圖，是半圓的直徑，，是半圓上兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，則的大小為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)切線性質(zhì)得出，根據(jù)得出，根據(jù)，得出，即可得出．
【詳解】解：是的切線，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故B正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同弧或等弧所對(duì)的角相等．
8．若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為0，則實(shí)數(shù)的值為（????）
A．2 B． C．或2 D．或0
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，即可求解．
【詳解】解：∵一元二次方程的一個(gè)根為0，
∴將代入，可得且，
解得：．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時(shí)成立的未知數(shù)的值是方程的解是解題的關(guān)鍵．
9．二次函數(shù)中，函數(shù)與自變量的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

…


0
1
2
…

…
5
0



…

當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是（????）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)表格可知該二次函數(shù)圖象開口向上，且對(duì)稱軸為直線，進(jìn)而可知當(dāng)時(shí)，，即得出當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是．
【詳解】由表格可知該二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，
∴該二次函數(shù)圖象開口向上，且對(duì)稱軸為直線．
∵時(shí)，，
∴時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．根據(jù)表格數(shù)據(jù)推斷出該二次函數(shù)圖象開口向上，且對(duì)稱軸為直線是解題關(guān)鍵．
10．從盛滿20升純消毒液的容器中，倒出升消毒液后，用水加滿，第二次倒出升混合后的消毒液，再用水加滿，此時(shí)容器內(nèi)的消毒液濃度為40%，則根據(jù)題意列出的方程正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先寫所倒次數(shù)1次，純消毒液的含量和用水加滿后容器內(nèi)的消毒液濃度；再寫出倒次數(shù)2次，純消毒液的含量和用水加滿后容器內(nèi)的消毒液濃度；將所倒次數(shù)2次后容器內(nèi)的消毒液濃度除去容器內(nèi)總含量，可得出．
【詳解】第一次倒出升后，純消毒液的含量為升，用水加滿，器內(nèi)的消毒液濃度為
第二次倒出來(lái)的為，所以容器內(nèi)的消毒液濃度為，
故選：D
【點(diǎn)睛】在實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，擅長(zhǎng)利用所給的條件列出方程即可．
11．如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊中，為邊的中點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則線段長(zhǎng)的最小值為（????）

A．2 B． C． D．3
【答案】B
【分析】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，可證明，當(dāng)時(shí)，有最小值，再由即可求解．
【詳解】解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，如下圖：

由題意可得：，是的中點(diǎn)，
∵為等邊三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴點(diǎn)的軌跡為直線，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值，
此時(shí)，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定即性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，下列結(jié)論：①：②；③；④；⑤若，是該函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，則．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（????）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】①根據(jù)拋物線的開口方向可以判定，根據(jù)對(duì)稱軸為直線，可得，得出，即，根據(jù)拋物線與y軸交于負(fù)半軸，得出，即可得出，從而判斷①②；
③根據(jù)時(shí)，，得出，可以判定③；
④根據(jù)時(shí)，可以判定④；
⑤根據(jù)，可以得出，判斷⑤．
【詳解】解：①②∵拋物線的開口方向向上，
∴，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線，
∴，
∴，，
∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸，
∴，
∴，故①正確，②錯(cuò)誤；
③根據(jù)函數(shù)圖象可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線，拋物線與x軸的交點(diǎn)在的左側(cè)，
∵與關(guān)于對(duì)稱，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)在的右邊，
∴時(shí)，，
∴，故③正確；
④與的中點(diǎn)為，根據(jù)函數(shù)圖象可以看出，在與拋物線與x軸靠右側(cè)的交點(diǎn)之間，
∵在的左側(cè)，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，故④錯(cuò)誤；
⑤∵，
∴，關(guān)于直線對(duì)稱，
∴，故⑤正確；
綜上分析可知，正確的有3個(gè)，故B正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形幾何，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．

二、填空題
13．在不透明的袋子中裝有個(gè)白球，個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同．從袋子中隨機(jī)提出個(gè)球，是紅球的概率為______．
【答案】
【分析】統(tǒng)計(jì)出紅球的個(gè)數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算其概率即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵共有（2+3）個(gè)球，紅球有2個(gè)，
∴摸出的球是紅球的概率是：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的計(jì)算，一般方法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=，難度適中．
14．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，連接．若，則陰影部分的面積為______________．

【答案】
【分析】根據(jù)垂徑定理，得到，再根據(jù)等邊三角形三線合一，得，再根據(jù)勾股定理，求出，最后根據(jù)陰影部分的面積為：，即可．
【詳解】∵是的直徑，弦于點(diǎn)，
∴，，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴陰影部分的面積為：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的垂徑定理，扇形的面積，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．
15．關(guān)于的方程有兩個(gè)根，，則______________．
【答案】9
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再對(duì)變形得，代入求解即可．
【詳解】解：，
利用根與系數(shù)的關(guān)系得：，，


，
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的變形、根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．
16．為推進(jìn)鄉(xiāng)村振興工作，駐村服務(wù)隊(duì)結(jié)合當(dāng)?shù)靥攸c(diǎn)種植了甲、乙兩種農(nóng)作物，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，甲、乙兩種農(nóng)作物的種植面積之比為1:3，單位面積產(chǎn)值之比為5:3．為進(jìn)一步提高經(jīng)濟(jì)收入，服務(wù)隊(duì)決定擴(kuò)大兩種農(nóng)作物的種植面積，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，擴(kuò)大種植面積后（單位面積的產(chǎn)值不變），甲作物的總種植面積占兩種作物總種植面積的，且兩種作物的總產(chǎn)值提高了，則甲、乙兩種作物擴(kuò)大種植的面積之比為______________．
【答案】
【分析】設(shè)甲作物擴(kuò)大種植的面積為m，乙種作物擴(kuò)大的種植面積為n，表示出擴(kuò)大后甲作物總種植面積，兩種作物總種植面積，根據(jù)甲作物的總種植面積占兩種作物總種植面積，表示出，再令甲，乙單位面積產(chǎn)值分別為，，列出式子，求出甲、乙兩種作物擴(kuò)大種植的面積之比．
【詳解】設(shè)甲作物擴(kuò)大種植的面積為m，乙種作物擴(kuò)大的種植面積為n
∵甲、乙兩種農(nóng)作物的種植面積之比為1∶3
∴令甲種農(nóng)作物的種植面積為x，乙種農(nóng)作物的種植面積為
∴擴(kuò)大后甲作物總種植面積為，兩種作物的總種植面積為
∵甲作物的總種植面積占兩種作物總種植面積
∴
整理得，
∵單位面積產(chǎn)值之比為5:3
∴令甲，乙單位面積產(chǎn)值分別為，
∵兩種作物的總產(chǎn)值提高了
∴
整理得，
把代入得，
∴
∴甲、乙兩種作物擴(kuò)大種植的面積之比為7:3
故答案為：7:3
【點(diǎn)睛】本題考查三元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)關(guān)系，列出方程進(jìn)行求解．

三、解答題
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，

【分析】（1）用公式法求解；
（2）用因式分解法求解．
【詳解】（1）解：，
其中：，，．

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
．
即，．
（2）解：
移項(xiàng)，得．
化簡(jiǎn)，得．
因式分解，得．
因此或．
解得，．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，根據(jù)方程特點(diǎn)選擇合適的解法是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)均為整數(shù)．

(1)在圖中作出與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；
(2)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為

【分析】（1）利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征畫出點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即可得到；
（2）連接，，分別確定線段的垂直平分線并找到交點(diǎn)，則點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心；連接、，則兩線段夾角即為旋轉(zhuǎn)角．結(jié)合圖像即可確定點(diǎn)的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．
【詳解】（1）解：的位置如下圖所示；

（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了作關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱圖形以及圖形旋轉(zhuǎn)變換的知識(shí)，理解并掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱圖形和圖形旋轉(zhuǎn)變換的特征是解題關(guān)鍵．
19．隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和科技的進(jìn)步，支付方式也在發(fā)生變化．多樣的支付方式便利了人們的生活，提升了人們的生活品質(zhì)，也改變了人們的消費(fèi)觀念和習(xí)慣，是人們幸福指數(shù)提高的有力見證．目前常見的支付方式有：現(xiàn)金支付、刷卡支付、掃碼支付、數(shù)字人民幣支付（分別用A，B，C，D表示）．若小明和小華兩人在購(gòu)物時(shí)，選擇以上四種支付方式的可能性相同．
(1)求小明采用“掃碼支付”的概率；
(2)請(qǐng)通過(guò)列表或畫樹狀圖的方法，求小明和小華采用同一種支付方式的概率．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）直接根據(jù)概率公式即可解答；
（2）先列表確定所有結(jié)果數(shù)和滿足題意的結(jié)果數(shù)，然后再根據(jù)概率公式即可解答．
【詳解】（1）解：由小明能采用的支付方式有4種：A，，，，則采用“掃碼支付”的概率為．
答：小明采用“掃碼支付”的概率為．
（2）解：列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下表：
小明
小華
A
B
C
D
A




B




C




D





由上表可以看出，小明和小華采用的支付方式的結(jié)果有16種，它們出現(xiàn)的可能性相等．
小明和小華采用同一種支付方式的結(jié)果有4種，即，，，，所以．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用列表法求概率、概率公式等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)列表確定所有結(jié)果數(shù)和滿足題意的結(jié)果數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．
20．已知拋物線．
(1)求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)求該拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)當(dāng)取什么值時(shí)，?
(4)當(dāng)取什么值時(shí)，隨的增大而減小?
【答案】(1)該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
(2)該拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
(3)當(dāng)時(shí)，
(4)當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小

【分析】（1）先將拋物線解析式通過(guò)配方得到頂點(diǎn)式即可解答；
（2）令，求得x的值即可解答；
（3）根據(jù)拋物線的開口方向以及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可解答；
（4）先確定拋物線的對(duì)稱軸，然后再根據(jù)拋物線的開口方向即可解答．
【詳解】（1）解：將配方可得．
該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
（2）解：令，解得或5．
該拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，．
（3）解：，
該拋物線開口向下
∵該拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴當(dāng)時(shí)，．
（4）解：∵
∴該拋物線的對(duì)稱軸為．
∵該拋物線開口向下，
∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。?br /> 【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)用二次函數(shù)求不等式的解集等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
21．如圖，為正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的分別與邊，相切于點(diǎn)，，連接，．

(1)求證：；
(2)若的半徑為，求正方形的邊長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得、、，可證得四邊形為矩形，再結(jié)合可得四邊形為正方形，然后根據(jù)正方形得性質(zhì)可得、，最后根據(jù)線段的和差即可解答；
（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，再證為等腰直角三角形可得，由圓的性質(zhì)可得，最后根據(jù)列方程 求解即可．
【詳解】（1）證明：分別與邊，相切于點(diǎn)，，
，，，
，
又，
四邊形為矩形，
，
四邊形為正方形，
．
又∵正方形，
，
，
．
（2）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則
∵，
∴為等腰直角三角形．
∴由勾股定理可得：，
∵的半徑為
∴
∴即，解得：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)和判定定理是解答本題的關(guān)鍵．
22．2022年暑期，我區(qū)遭遇連續(xù)高溫和干旱，一居民小區(qū)的部分綠化樹枯死．小區(qū)物業(yè)管理公司決定補(bǔ)種綠化樹，計(jì)劃購(gòu)買小葉榕和香樟共50棵進(jìn)行栽種．其中小葉榕每棵680元，香樟每棵1000元，經(jīng)測(cè)算，購(gòu)買兩種樹共需38800元．
(1)原計(jì)劃購(gòu)買小葉榕、香樟各多少棵？
(2)實(shí)際購(gòu)買時(shí)，經(jīng)物業(yè)管理公司與商家協(xié)商，每棵小葉榕和香樟的售價(jià)均下降元（），且兩種樹的售價(jià)每降低10元，物業(yè)管理公司將在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上多購(gòu)買小葉榕2棵，香樟1棵．物業(yè)管理公司實(shí)際購(gòu)買的費(fèi)用比原計(jì)劃多3600元，求物業(yè)管理公司實(shí)際購(gòu)買兩種樹共多少棵？
【答案】(1)原計(jì)劃購(gòu)買小葉榕35棵、香樟15棵
(2)物業(yè)管理公司實(shí)際購(gòu)買兩種樹共56棵

【分析】（1）設(shè)原計(jì)劃購(gòu)買小葉榕棵，則購(gòu)買香樟棵，根據(jù)題意列出方程即可得出答案．
（2）根據(jù)給出的條件先列出小葉榕與香樟的單價(jià)表達(dá)式分別為元每棵，元每棵，再列出實(shí)際購(gòu)買棵樹的表達(dá)式，得到方程式求出滿足條件的值，即可得出答案．
【詳解】（1）設(shè)原計(jì)劃購(gòu)買小葉榕棵，則購(gòu)買香樟棵，
根據(jù)題意，可得，
解得，．
答：原計(jì)劃購(gòu)買小葉榕35棵、香樟15棵．
（2）根據(jù)題意，可得，
整理得，，
解得：，，
∵，∴，
∴購(gòu)買了39棵小葉榕，17棵香樟，
答：物業(yè)管理公司實(shí)際購(gòu)買兩種樹共56棵．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用和一元二次方程應(yīng)用的問(wèn)題，熟練掌握題中的等量關(guān)系列出正確的方程解決本題的關(guān)鍵．
23．如圖，在中，，，以點(diǎn)C為中心，分別將線段，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)F，連接，．

(1)求證：為等腰直角三角形；
(2)連接，求證：平分．
【答案】(1)見解析
(2)見解析

【分析】（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和角的和差可得，然后再根據(jù)證明，然后再說(shuō)明為等腰直角三角形即可證明結(jié)論；
（2）先說(shuō)明和是直角三角形，然后再證明可得即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）證明：線段，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，，
，，．
．
．
在與中，
，
．
，，
為等腰直角三角形．
為等腰直角三角形．
（2）解：∵，
∴
∴．
在與中，
，

．
平分．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
24．對(duì)于一個(gè)多位自然數(shù)n，其各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排成一列，與從個(gè)位到最高位依次排成一列完全相同，則稱n為“對(duì)稱數(shù)”．
如：自然數(shù)121，從百位到個(gè)位依次排成一列為：1，2，1，從個(gè)位到百位依次排成一列為：1，2，1，所以121是“對(duì)稱數(shù)”；
又如：自然數(shù)13841，從最高位到個(gè)位依次排成一列為：1，3，8，4，1，從個(gè)位到最高位依次排成一列為：1，4，8，3，1，所以13841不是“對(duì)稱數(shù)”．
(1)直接寫出兩個(gè)四位“對(duì)稱數(shù)”，并證明任意一個(gè)四位“對(duì)稱數(shù)”n能被11整除；
(2)一個(gè)三位“對(duì)稱數(shù)”減去其各位數(shù)字之和，所得的差能被11整除，求滿足條件的三位“對(duì)稱數(shù)”的個(gè)數(shù)
【答案】(1)1001，9889；證明見解析
(2)滿足條件的三位“對(duì)稱數(shù)”有9個(gè)

【分析】（1）設(shè)四位“對(duì)稱數(shù)”的個(gè)位、十位數(shù)字分別為，（，且為整數(shù)），然后表示出，然后再因式分解即可證明；
（2））設(shè)四位“對(duì)稱數(shù)”的個(gè)位、十位數(shù)字分別為，（，且為整數(shù)），然后表示出，再根據(jù)三位“對(duì)稱數(shù)”的定義確定a、b的可能值即可解答．
【詳解】（1）解：1001，9889
證明：設(shè)四位“對(duì)稱數(shù)”的個(gè)位、十位數(shù)字分別為，（，且為整數(shù)），
則．
，均為整數(shù)，
為整數(shù)．
任意一個(gè)四位“對(duì)稱數(shù)”能被11整除．
（2）解：設(shè)三位“對(duì)稱數(shù)”的個(gè)位、十位數(shù)字分別為，（，且為整數(shù)），
則．
該三位“對(duì)稱數(shù)”減去其各位數(shù)字之和所得的差為
能被11整除，
，的可能取值為1，2，3，…，9．
滿足條件的三位“對(duì)稱數(shù)”有9個(gè)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，靈活利用因式分解解決整除性問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．
25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作軸、軸的平行線，交直線于點(diǎn)，，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線向右平移個(gè)3個(gè)單位，點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，為新拋物線對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，在新拋物線上確定一點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為
(2)的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式即可；
（2）首先確定點(diǎn)的坐標(biāo)為，易知為等腰直角三角形，設(shè)直線的表達(dá)式為，利用待定系數(shù)法求得直線的表達(dá)式為，再結(jié)合題意可知也為等腰直角三角形，即有；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，可知，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得有最大值，即可獲得答案；
（3）首先確定平移后的拋物線解析式為，平移后得對(duì)稱軸為，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，然后分為對(duì)角線、為對(duì)角線、為對(duì)角線三種情況討論，即可求得符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，
∴，解得 ，
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）在中，令，得，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∴為等腰直角三角形，則，
設(shè)直線的表達(dá)式為，
則有，解得 ，
∴直線的表達(dá)式為，
∵軸，
∴，
又∵軸，
∴為等腰直角三角形，
∴，即，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（其中），則點(diǎn)，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，
∴的最大值為，
此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）∵拋物線，，
∴由題意，該拋物線向右平移個(gè)3個(gè)單位，則平移后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
平移后的拋物線解析式為，
∴平移后得對(duì)稱軸為，
由（2）可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，
分情況討論：
①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則有，解得，
∴；
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則有，解得，
∴；
③當(dāng)為對(duì)角線時(shí)， 則有，解得，
∴．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的特征、二次函數(shù)圖像的平移、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及相關(guān)線段的長(zhǎng)度．

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