8.14 曲線系方程巧解四點(diǎn)共圓問(wèn)題 講義——高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解題技巧方法

這是一份8.14 曲線系方程巧解四點(diǎn)共圓問(wèn)題 講義——高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解題技巧方法，文件包含第八章第14節(jié)曲線系方程巧解四點(diǎn)共圓問(wèn)題-解析版docx、第八章第14節(jié)曲線系方程巧解四點(diǎn)共圓問(wèn)題-原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共13頁(yè)， 歡迎下載使用。
第14節(jié)  曲線系方程巧解四點(diǎn)共圓問(wèn)題知識(shí)與方法圓錐曲線中的四點(diǎn)共圓問(wèn)題在高考中是一大難點(diǎn)，常規(guī)的做法是用垂徑定理找圓心，并通過(guò)計(jì)算得出圓心到四點(diǎn)的距離相等，從而證出四點(diǎn)共圓，再求出圓的方程.除此之外，應(yīng)用曲線系方程也可以很好地解決這類(lèi)問(wèn)題.1.曲線系方程：設(shè)和分別表示平面上的兩條有公共點(diǎn)的曲線，則經(jīng)過(guò)兩曲線交點(diǎn)的曲線系方程可以為.2．高考中常見(jiàn)的四點(diǎn)共圓問(wèn)題是兩條直線與圓錐曲線交于不同的四點(diǎn)，判斷四點(diǎn)是否在同一圓上，如果是，需求出圓的方程.應(yīng)用曲線系方程求解這類(lèi)四點(diǎn)共圓問(wèn)題的解題步驟是：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)圓錐曲線和兩直線交點(diǎn)的曲線系方程為，其中表示圓錐曲線方程，表示兩直線構(gòu)成的曲線的方程;（2）將展開(kāi)，合并同類(lèi)項(xiàng)，與圓的一般方程比較系數(shù)，求出的值；（3）將反代回方程的展開(kāi)式，化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得出四點(diǎn)共圓且求出了圓的方程.3.圓錐曲線中四點(diǎn)共圓問(wèn)題的結(jié)論：設(shè)兩條直線和圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）交于四點(diǎn)，則四個(gè)交點(diǎn)在同一個(gè)圓上的充要條件是兩直線傾斜角互補(bǔ).典型例題【例1】（2014·大綱卷）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且（1）求C的方程；（2）過(guò)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，若的垂直平分線與C相交于M、N兩點(diǎn)，且A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程.【解析】（1）聯(lián)立解得：，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，因?yàn)?/span>，所以，解得：或（舍去），故拋物線C的方程為.（2）解法1：顯然直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)其方程為，設(shè),，聯(lián)立消去x整理得：①，由韋達(dá)定理，，所以，故中點(diǎn)為，所以直線的方程為，代入消去x整理得：②，設(shè)，，則，故，從而的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，所以由A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上知圓心必為點(diǎn)E，所以，而，所以，，由得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足方程①和②的判別式大于0，故直線l的方程為或.解法2：由題意，直線l不與y軸垂直，故可設(shè)其方程為，設(shè)，，聯(lián)立消去x整理得：，顯然，由韋達(dá)定理，，所以，故中點(diǎn)D的坐標(biāo)為，從而直線的方程為，即，可設(shè)經(jīng)過(guò)A、M、B、N四點(diǎn)的曲線系方程為，整理得：①，因?yàn)?/span>A、M、B、N四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，所以存在，使方程①表示圓，此時(shí)應(yīng)有，解得：或當(dāng)，時(shí)，代入式①整理得：，從而A、M、B、N四點(diǎn)都在圓上，當(dāng)，時(shí)，代入式①整理得：，從而A、M、B、N四點(diǎn)都在圓上，綜上所述，直線l的方程為或.【例2】設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，線段的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).（1）確定的取值范圍，并求直線的方程；（2）證明：當(dāng)?。?/span>1）中任意值時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.【解析】解：（1）由題意，N點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，故，即，設(shè)，，則，兩式作差得：，整理得：，即，所以，故直線的方程為，即.（2）解法l：由（1）可得線段的中垂線的方程為，即，設(shè)，，聯(lián)立消去y整理得：，判別式，當(dāng)時(shí)，， 由韋達(dá)定理，，，所以中點(diǎn)為，從而，，故，聯(lián)立消去y整理得：，判別式，，所以，從而，故A、B、C、D四點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.解法2：由（1）可得線段的中垂線的方程為，即，設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C、D四點(diǎn)的曲線系方程為，整理得：①，若方程①表示圓，則，解得：，代入式①化簡(jiǎn)得：配方得：，顯然對(duì)任意的，該方程都表示圓，綜上所述，當(dāng)?。?/span>1）中任意值時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.強(qiáng)化訓(xùn)練1.（★★★★）已知，，動(dòng)點(diǎn)P滿足直線、的斜率之積為定值1，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.（1）求C的方程；（2）直線與C交于M、N兩點(diǎn)，直線與C交于S、T兩點(diǎn)，M、N、S、T四點(diǎn)是否在同一圓上？若是，求出該圓的方程；否則，說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)，則，整理得：，即曲線C的方程為.（2）解法1：如圖，設(shè)，，，，聯(lián)立消去y整理得：，判別式，由韋達(dá)定理，，所以，從而的中點(diǎn)為，且，聯(lián)立消去y整理得：，判別式，由韋達(dá)定理，，所以，從而的中點(diǎn)為，且，線段的中垂線為，即，線段的中垂線為，即，聯(lián)立解得：，記，則，所以，，，從而，故M、N、S、T四點(diǎn)都在以K為圓心，為半徑的圓上，該圓的方程為.解法2：由題意，可設(shè)經(jīng)過(guò)M、N、S、T四點(diǎn)的曲線系的方程為，整理得： ①，令得：，代入①整理得：，該方程是圓的方程，所以M、N、S、T四點(diǎn)在同一圓上，其方程為.2.（★★★★）已知橢圓的離心率為，右頂點(diǎn)為A，O為原點(diǎn)，B為橢圓E上異于左、右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，的面積的最大值為.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)P，直線交橢圓E于另一點(diǎn)C，直線和分別交l于點(diǎn)M和N，若O、A、M、N四點(diǎn)共圓，求t的值.【解析】（1）由題意，，，解得：，，故橢圓E的方程為.（2）解法1：由題意，，，顯然直線不與y軸垂直，可設(shè)其方程為，設(shè)，，聯(lián)立消去x整理得：，由韋達(dá)定理，，，所以，，直線的方程為，令得：，所以，同理，，因?yàn)?/span>O、A、M、N四點(diǎn)共圓，所以，從而，故，所以，從而，結(jié)合化簡(jiǎn)可得.解法2：由題意，，，顯然直線、均不與坐標(biāo)軸垂直，故可設(shè)其方程分別為，，其中，，聯(lián)立消去x整理得：，解得：或所以，從而，故，同理，，因?yàn)?/span>P、B、C三點(diǎn)共線，所以，從而，化簡(jiǎn)得：①聯(lián)立可得，所以，同理，，顯然線段的中垂線為，線段的中垂線為，即，因?yàn)?/span>O、A、M、N四點(diǎn)共圓，所以該圓的圓心必為，而，，化簡(jiǎn)得：，將式①代入可得解得：或2，又，所以.【反思】本題不屬于橢圓上的四個(gè)點(diǎn)在同一圓上的情形，所以就不能套用曲線系方程來(lái)求解，因此我們?cè)谡莆涨€系方程求解四點(diǎn)共圓問(wèn)題的方法的同時(shí)，常規(guī)方法也不能丟棄，否則一旦遇到這種反套路的題，就無(wú)從下手了.