?第六章數(shù)　列
第一節(jié)
　數(shù)列的概念與簡單表示
本節(jié)主要包括2個知識點：
1.數(shù)列的通項公式；2.數(shù)列的單調(diào)性.


突破點(一)　數(shù)列的通項公式
基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流”
1．?dāng)?shù)列的定義
按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，數(shù)列中的每一項都和它的序號有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第一項(通常也叫做首項)．
2．?dāng)?shù)列的通項公式
如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．
3．?dāng)?shù)列的遞推公式
如果已知數(shù)列{an}的第一項(或前幾項)，且任何一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個式子來表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么這個式子叫做數(shù)列{an}的遞推公式．
4．Sn與an的關(guān)系
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則
an＝這個關(guān)系式對任意數(shù)列均成立．

考點貫通 抓高考命題的“形”與“神”


由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式

[例1]　寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：
(1)3,5,7,9，…；
(2)，，，，，…；
(3)－1，，－，，－，，…；
(4)3,33,333,3 333，….
[解]　(1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1.
(2)每一項的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，所以an＝.
(3)奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，故通項公式中含因式(－1)n；各項絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，…；而各項絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項為1，偶數(shù)項為3，即奇數(shù)項為2－1，偶數(shù)項為2＋1，所以an＝(－1)n·.
也可寫為an＝
(4)將數(shù)列各項改寫為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1)．

[方法技巧]
由數(shù)列的前幾項求通項公式的思路方法
給出數(shù)列的前幾項求通項時，需要注意觀察數(shù)列中各項與其序號之間的關(guān)系，在所給數(shù)列的前幾項中，先看看哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部分與序號間的關(guān)系，主要從以下幾個方面來考慮：
(1)分式形式的數(shù)列，分子、分母分別求通項，較復(fù)雜的還要考慮分子、分母的關(guān)系．
(2)若第n項和第n＋1項正負(fù)交錯，那么符號用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1來調(diào)控．
(3)熟悉一些常見數(shù)列的通項公式．
(4)對于較復(fù)雜數(shù)列的通項公式，其項與序號之間的關(guān)系不容易發(fā)現(xiàn)，這就需要將數(shù)列各項的結(jié)構(gòu)形式加以變形，可使用添項、通分、分割等方法，將數(shù)列的各項分解成若干個常見數(shù)列對應(yīng)項的“和”“差”“積”“商”后再進(jìn)行歸納．


利用an與Sn的關(guān)系求通項
[例2]　已知下面數(shù)列{an}的前n項和Sn，求{an}的通項公式：
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n＋b.
[解]　(1)a1＝S1＝2－3＝－1，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也適合此等式，
所以{an}的通項公式為an＝4n－5.
(2)a1＝S1＝3＋b，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2×3n－1.
當(dāng)b＝－1時，a1適合此等式．
當(dāng)b≠－1時，a1不適合此等式．
所以當(dāng)b＝－1時，an＝2×3n－1；
當(dāng)b≠－1時，an＝
[方法技巧]
已知Sn求an的三個步驟
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時an的表達(dá)式．
(3)對n＝1時的結(jié)果進(jìn)行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來寫．　



利用遞推關(guān)系求通項
[例3]　(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝an＋，則an＝________；
(2)若數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝an，則通項an＝________；
(3)若數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋3，則an＝________；
(4)若數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝，則an＝________.
[解析]　(1)由條件知an＋1－an＝＝＝－，
則(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝＋＋＋…＋－，
即an－a1＝1－，又∵a1＝，
∴an＝1－＋＝－.
(2)由an＋1＝an(an≠0)，得＝，
故an＝··…··a1
＝··…··
＝.
(3)設(shè)遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，則t＝－3.
故an＋1＋3＝2(an＋3)．
令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，bn≠0，且＝＝2.
所以{bn}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．
所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，
即an＝2n＋1－3.
(4)∵an＋1＝，a1＝1，
∴an≠0，
∴＝＋，
即－＝，
又a1＝1，則＝1，
∴是以1為首項，為公差的等差數(shù)列．
∴＝＋(n－1)×＝＋，
∴an＝.
[答案]　(1)－　(2)　(3)2n＋1－3　(4)
[方法技巧]
由遞推關(guān)系式求通項公式的常用方法
(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.
(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an.
(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{an＋k}．
(4)形如an＋1＝(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解．
(5)形如an＋1＋an＝f(n)的數(shù)列，可將原遞推關(guān)系改寫成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，兩式相減即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分類討論即可．

能力練通 抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”
1.已知n∈N*，給出4個表達(dá)式：①an＝②an＝，③an＝，④an＝.其中能作為數(shù)列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通項公式的是(　　)
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
解析：選A　檢驗知①②③都是所給數(shù)列的通項公式．
2.數(shù)列1，－，，－，…的一個通項公式是(　　)
A．a(chǎn)n＝(－1)n＋1(n∈N*)
B．a(chǎn)n＝(－1)n－1(n∈N*)
C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1(n∈N*)
D．a(chǎn)n＝(－1)n－1(n∈N*)
解析：選D　所給數(shù)列各項可寫成：，－，，－，…，通過對比各選項，可知選D.
3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2－2n＋2，則數(shù)列{an}的通項公式為(　　)
A．a(chǎn)n＝2n－3 B．a(chǎn)n＝2n＋3
C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝
解析：選C　當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1時a1的值不適合n≥2的解析式，故{an}的通項公式為an＝
4.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1，求數(shù)列{an}的通項公式．
解：由題意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.
又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∵當(dāng)n＝1時也滿足此式，
∴an＝(n∈N*)．
5.若數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求數(shù)列{an}的通項公式．
解：由題意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.又因為當(dāng)n＝1時滿足此式，所以an＝2n－1.
突破點(二)　數(shù)列的單調(diào)性

基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流”
數(shù)列的分類
分類標(biāo)準(zhǔn)
類型
滿足條件
按項數(shù)分類　
有窮數(shù)列
項數(shù)有限
無窮數(shù)列
項數(shù)無限
按項與項間的大小關(guān)系分類
遞增數(shù)列
an＋1＞an
其中n∈N*
遞減數(shù)列
an＋1＜an
常數(shù)列
an＋1＝an
按其他標(biāo)準(zhǔn)分類
有界數(shù)列
存在正數(shù)M，使|an|≤M
擺動數(shù)列
從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項

考點貫通 抓高考命題的“形”與“神”


利用數(shù)列的單調(diào)性研究最值問題

[例1]　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，常數(shù)λ>0，且λa1an＝S1＋Sn對一切正整數(shù)n都成立．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)a1>0，λ＝100.當(dāng)n為何值時，數(shù)列的前n項和最大？
[解]　(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，
即a1(λa1－2)＝0.
若a1＝0，則Sn＝0，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，
所以an＝0.
若a1≠0，則a1＝，當(dāng)n≥2時，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1，兩式相減得2an－2an－1＝an，
所以an＝2an－1(n≥2)，從而數(shù)列{an}是等比數(shù)列，
所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.
綜上，當(dāng)a1＝0時，an＝0；
當(dāng)a1≠0時，an＝.
(2)當(dāng)a1>0且λ＝100時，令bn＝lg，
由(1)知bn＝lg＝2－nlg 2.
所以數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列(公差為－lg 2)．
則b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg 1＝0，
當(dāng)n≥7時，bn≤b7＝lg＝lg0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；an＋1－an0時，>1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；0，且當(dāng)n＝1時，an＋1－an最小，
∴an＋1－an≥a2－a1＝3＋λ>0，∴λ>－3.
答案：(－3，＋∞)
4.已知數(shù)列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．
(1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值；
(2)若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍．
解：(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
又∵a＝－7，∴an＝1＋.
結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性，
可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．
∴數(shù)列{an}中的最大項為a5＝2，最小項為a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋.
∵對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性，知50.由a＝a3a7得a＝4a3a7＝4a＝4aq2，所以q2＝，q＝.又a1＋2a2＝a1＋2a1q＝3，即2a1＝3，所以a1＝，所以an＝a1qn－1＝×n－1＝.
答案：
5．設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若＝3，則＝________.
解析：設(shè)S2＝k，S4＝3k，由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數(shù)列，∵S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝.
答案：
[練?？碱}點——檢驗高考能力]
一、選擇題
1．(2017·河南名校聯(lián)考)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝3，a9＝a2a3a4，則公比q的值為(　　)
A. B.
C．2 D．3
解析：選D　由a9＝a2a3a4得a1q8＝aq6，所以q2＝a，因為等比數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，所以q＝a1＝3.
2．(2016·杭州質(zhì)檢)在等比數(shù)列{an}中，a5a11＝3，a3＋a13＝4，則＝(　　)
A．3 B．－
C．3或 D．－3或－
解析：選C　根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得化簡得3q20－10q10＋3＝0，解得q10＝3或，所以＝＝q10＝3或.
3．(2017·長沙模擬)已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝(　　)
A．7 B．5
C．－5 D．－7
解析：選D　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由解得或所以或所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
4．(2016·衡陽三模)在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，前n項和為Sn，若數(shù)列{an＋1}也是等比數(shù)列，則Sn＝(　　)
A．2n＋1－2 B．3n
C．2n D．3n－1
解析：選C　因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1＝2，設(shè)其公比為q，則an＝2qn－1，因為數(shù)列{an＋1}也是等比數(shù)列，所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，即a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，則an＋an＋2＝2an＋1，即an(1＋q2－2q)＝0，所以q＝1，即an＝2，所以Sn＝2n，故選C.
5．(2017·福州質(zhì)檢)已知等比數(shù)列{an}的前n項積記為Ⅱn，若a3a4a8＝8，則Ⅱ9＝(　　)
A．512 B．256
C．81 D．16
解析：選A　由題意知，a3a4a7q＝a3a7(a4q)＝a3a7a5＝a＝8，Ⅱ9＝a1a2a3…a9＝(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5＝a，所以Ⅱ9＝83＝512.
6．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問第二天走了(　　)
A．192 里 B．96 里
C．48 里 D．24 里
解析：選B　設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q＝，依題意有＝378，解得a1＝192，則a2＝192×＝96，即第二天走了96 里，故選B.
二、填空題
7．已知數(shù)列1，a1，a2,9是等差數(shù)列，數(shù)列1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，則的值為________．
解析：因為1，a1，a2,9是等差數(shù)列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，所以b＝1×9＝9，易知b2>0，所以b2＝3，所以＝.
答案：
8．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________.
解析：因為3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3.化簡，得＝3，即等比數(shù)列{an}的公比q＝3，故an＝1×3n－1＝3n－1.
答案：3n－1
9．在等比數(shù)列中，公比q＝2，前99項的和S99＝30，則a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.
解析：∵S99＝30，∴a1(299－1)＝30.又∵數(shù)列a3，a6，a9，…，a99也成等比數(shù)列且公比為8，∴a3＋a6＋a9＋…a99＝＝＝×30＝.
答案：
10．若一個數(shù)列的第m項等于這個數(shù)列的前m項的乘積，則稱該數(shù)列為“m積數(shù)列”．若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}是一個“2 016積數(shù)列”，且a1＞1，則當(dāng)其前n項的乘積取最大值時n的值為________．
解析：由題可知a1a2a3·…·a2 016＝a2 016，
故a1a2a3·…·a2 015＝1，
由于{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列且a1＞1，
所以a1 008＝1，公比0＜q＜1，
所以a1 007＞1且0＜a1 009＜1，故當(dāng)數(shù)列{an}的前n項的乘積取最大值時n的值為1 007或1 008.
答案：1 007或1 008
三、解答題
11．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
解：(1)∵S1＝a1＝1，且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列，∴Sn＝2n－1.
又當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－2＝2n－2.
當(dāng)n＝1時a1＝1，不適合上式．∴an＝
(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，
∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.
∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.
12．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
解：(1)證明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，
∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．
∵a1＝5，a2＝5，
∴a2＋2a1＝15，
∴an＋2an－1≠0(n≥2)，
∴＝3(n≥2)，
∴數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
則an＋1＝－2an＋5×3n，
∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．
又∵a1－3＝2，
∴an－3n≠0，
∴{an－3n}是以2為首項，－2為公比的等比數(shù)列．
∴an－3n＝2×(－2)n－1，
即an＝2×(－2)n－1＋3n.
第四節(jié)
數(shù)列的綜合問題
本節(jié)主要包括2個知識點：
1.數(shù)列求和；2.數(shù)列的綜合應(yīng)用問題.


突破點(一)　數(shù)列求和
基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流”
1．公式法與分組轉(zhuǎn)化法
(1)公式法
直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和．
①等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝＝na1＋d.
②等比數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝
(2)分組轉(zhuǎn)化法
若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和后相加減．
2．倒序相加法與并項求和法
(1)倒序相加法
如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的．
(2)并項求和法
在一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．
形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
3．裂項相消法
(1)把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
(2)常見的裂項技巧
①＝－.
②＝.
③＝.
④＝－.
4．錯位相減法
如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的.
考點貫通 抓高考命題的“形”與“神”


分組轉(zhuǎn)化法求和
[例1]　已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝5，an＝2an－1＋3n－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an－3n(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
[解]　(1)∵an＝2an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，
∴an－3n＝2(an－1－3n－1)，
∴bn＝2bn－1(n∈N*，n≥2)．
∵b1＝a1－3＝2≠0，
∴bn≠0(n≥2)，∴＝2，
∴{bn}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
∴bn＝2·2n－1＝2n.
(2)由(1)知an＝bn＋3n＝2n＋3n，
∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(3＋32＋…＋3n)
＝＋
＝2n＋1＋－.
[方法技巧]
分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求{an}的前n項和．
(2)通項公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．


錯位相減法求和
[例2]　(2016·山東高考)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)令cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
[解]　(1)由題意知，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝11，滿足上式，
所以an＝6n＋5.
設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d.
由即
可解得所以bn＝3n＋1.
(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1，
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
兩式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
＝3×
＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.
[方法技巧]
錯位相減法求和的策略
(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．
(2)在寫“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．　


裂項相消法求和
[例3]　數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝2n＋1－2，數(shù)列{bn}是首項為a1，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，且b1，b3，b9成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)若cn＝(n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
[解]　(1)當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，
又a1＝S1＝21＋1－2＝2＝21，也滿足上式，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.則b1＝a1＝2.
由b1，b3，b9成等比數(shù)列，得(2＋2d)2＝2×(2＋8d)，
解得d＝0(舍去)或d＝2，
所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n.
(2)由(1)得cn＝＝＝－，
所以數(shù)列{cn}的前n項和Tn＝＋＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
[易錯提醒]
利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原項相等．如：若{an}是等差數(shù)列，則＝，＝.　

能力練通 抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”
1.若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和為(　　)
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
解析：選C　Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)
＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n
＝＋2×－n
＝2(2n－1)＋n2＋n－n
＝2n＋1＋n2－2.
2.(2016·江南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝xa的圖象過點(4,2)，令an＝，n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2 017＝(　　)
A.－1 B.－1
C.－1 D.＋1
解析：選C　由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝，則f(x)＝x.所以an＝＝＝－，S2 017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 017＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1.
3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝________.
解析：∵an＝n·2n，
∴Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.①
∴2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②
①－②，得
－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1
＝(1－n)2n＋1－2.
∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2.
答案：(n－1)2n＋1＋2
4.已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n項和Sn.
解：Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3，
所以當(dāng)n為偶數(shù)時，
Sn＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1；
當(dāng)n為奇數(shù)時，
Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋ln 3
＝3n－ln 3－ln 2－1.
綜上所述，Sn＝
5.正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；
(2)令bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.證明：對于任意的n∈N*，都有Tn0，Sn＝n2＋n.
于是a1＝S1＝2，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.
綜上，數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.
(2)證明：由于an＝2n，
故bn＝＝＝.
則Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＋－＝1＋－－

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