高中數(shù)學(xué)高考2018高考數(shù)學(xué)（文）大一輪復(fù)習(xí)習(xí)題 第五章 數(shù)列 Word版含答案

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?第五章數(shù)　列
第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法



1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念
概念
含義
數(shù)列
按照一定順序排列的一列數(shù)
數(shù)列的項(xiàng)
數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)
數(shù)列的通項(xiàng)
數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an
通項(xiàng)公式
數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式an＝f(n)表示，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式
前n項(xiàng)和
數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和
2．?dāng)?shù)列的表示方法
列表法
列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系
圖象法
把點(diǎn)(n，an)畫(huà)在平面直角坐標(biāo)系中
公式法
通項(xiàng)公式
把數(shù)列的通項(xiàng)使用公式表示的方法
遞推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法
3．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系
若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，
則an＝
4．?dāng)?shù)列的分類(lèi)



1．已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為1,3,7,15，則數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．
答案：an＝2n－1(n∈N*)
2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝，則a5等于________．
答案：
3．(教材習(xí)題改編)已知函數(shù)f(x)＝，設(shè)an＝f(n)(n∈N*)，則{an}是________數(shù)列(填“遞增”或“遞減”)．
答案：遞增

1．?dāng)?shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)．
2．易混項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào)．
3．在利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，往往容易忽略先求出a1，而是直接把數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只適用于n≥2的情形．


1．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝n2＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________．
答案：an＝
2．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－n2＋9n，則該數(shù)列第________項(xiàng)最大．
答案：4或5




1．已知n∈N*，給出4個(gè)表達(dá)式：①an＝②an＝，③an＝，④an＝．其中能作為數(shù)列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通項(xiàng)公式的是(　　)

A．①②③　　　　　　　 B．①②④
C．②③④ D．①③④
解析：選A　檢驗(yàn)知①②③都是所給數(shù)列的通項(xiàng)公式．
2．根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫(xiě)出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：
(1)4,6,8,10，…；
(2)(易錯(cuò)題)－，，－，，…；
(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b為實(shí)數(shù))；
(4)9,99,999,9 999，…．
解：(1)各數(shù)都是偶數(shù)，且最小為4，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝2(n＋1)，n∈N*．
(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝(－1)n×，n∈N*．
(3)這是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是a，偶數(shù)項(xiàng)是b，所以此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝
(4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以寫(xiě)成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝10n－1，n∈N*．


由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng)公式的策略
(1)根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征，并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想，具體如下：
①分式中分子、分母的特征；
②相鄰項(xiàng)的變化特征；
③拆項(xiàng)后的特征；
④各項(xiàng)符號(hào)特征等．
(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是利用不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來(lái)調(diào)整．如“題組練透”第2(2)題．


已知下面數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求{an}的通項(xiàng)公式．
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n＋b．
解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－＝4n－5，
由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5．
(2)a1＝S1＝3＋b，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1．
當(dāng)b＝－1時(shí)，a1適合此等式．
當(dāng)b≠－1時(shí)，a1不適合此等式．
∴當(dāng)b＝－1時(shí)，an＝2·3n－1；
當(dāng)b≠－1時(shí)，an＝

已知Sn求an的 3個(gè)步驟
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式；
(3)對(duì)n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來(lái)寫(xiě)．

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．
(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；
(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an．
解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；
當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)
＝(－1)n＋1·
＝(－1)n＋1·(2n－1)，
又a1也適合此式，
所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．
(2)因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝6；
當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－
＝2·3n－1＋2，
由于a1不適合此式，
所以an＝


遞推公式和通項(xiàng)公式是數(shù)列的兩種表示方法，它們都可以確定數(shù)列中的任意一項(xiàng)，只是由遞推公式確定數(shù)列中的項(xiàng)時(shí)，不如通項(xiàng)公式直接．
常見(jiàn)的命題角度有：
(1)形如an＋1＝anf(n)，求an；
(2)形如an＋1＝an＋f(n)，求an；
(3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an．　　　 　

角度一：形如an＋1＝anf(n)，求an
1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解：∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1．
以上(n－1)個(gè)式子相乘得
an＝a1···…·＝＝．
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，上式也成立．∴an＝(n∈N*)．
角度二：形如an＋1＝an＋f(n)，求an
2．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解：由題意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝．
又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∵當(dāng)n＝1時(shí)也滿足此式，∴an＝(n∈N*)．

角度三：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an
3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴＝3，∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．

典型的遞推數(shù)列及處理方法
遞推式
方　法
示　例
an＋1＝an＋f(n)
疊加法
a1＝1，an＋1＝an＋2n
an＋1＝anf(n)
疊乘法
a1＝1，＝2n
an＋1＝Aan＋B (A≠0,1，B≠0)
化為等比數(shù)列
a1＝1，an＋1＝2an＋1


根據(jù)下列條件，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n；
(2)a1＝，an＝an－1(n≥2)．
解：(1)由題意知an＋1－an＝2n，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1．
(2)因?yàn)閍n＝an－1(n≥2)，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，＝，
所以＝，＝，…，＝，＝，
以上n－1個(gè)式子相乘得··…··＝··…··，
即＝××2×1，所以an＝．
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝＝，也與已知a1＝相符，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝．


一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快
1．?dāng)?shù)列1，，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：選B　由已知得，數(shù)列可寫(xiě)成，，，…，故通項(xiàng)為．
2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2－2n＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　)
A．a(chǎn)n＝2n－3 B．a(chǎn)n＝2n＋3
C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝
解析：選C　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1時(shí)a1的值不適合n≥2的解析式，故通項(xiàng)公式為選項(xiàng)C．
3．若a1＝，an＝4an－1＋1(n≥2)，當(dāng)an>100時(shí)，n的最小值為(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：選C　由a1＝，an＝4an－1＋1(n≥2)得，
a2＝4a1＋1＝4×＋1＝3，a3＝4a2＋1＝4×3＋1＝13，
a4＝4a3＋1＝4×13＋1＝53，a5＝4a4＋1＝4×53＋1＝213>100．
4．(2016·肇慶三模)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________．
解析：由an－an－1＝n得a2－a1＝2，
a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，
上面(n－1)個(gè)式子相加得
an＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
又n＝1時(shí)也滿足此式，
所以an＝n(n＋1)．
答案：n(n＋1)
5．(2017·南昌模擬)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，則a1＋a3的值為_(kāi)_______．
解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，
得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，
令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，
則a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1．
答案：－1
二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)
1．?dāng)?shù)列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an等于(　　)
A． B．cos
C．cosπ D．cosπ
解析：選D　令n＝1,2,3，…，逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)，易得D正確．
2．(2017·福建福州八中質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，則a2 017＝(　　)
A．1 B．0
C．2 017 D．－2 017
解析：選A　∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知數(shù)列{an}是以2為周期的數(shù)列，∴a2 017＝a1＝1．
3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則an＝(　　)
A．2n B．2n－1
C．2n D．2n－1
解析：選C　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為2，所以an＝2n．
4．設(shè)曲線f(x)＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則x1·x2·x3·x4·…·x2 017＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：選D　由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝，故x1·x2·x3·x4·…·x2 017＝××…×＝．
5．(2017·衡水中學(xué)檢測(cè))若數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值為(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：選B　∵a1＝19，an＋1－an＝－3，
∴數(shù)列{an}是以19為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，
∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n．
設(shè){an}的前k項(xiàng)和數(shù)值最大，
則有k∈N*，∴
∴≤k≤，
∵k∈N*，∴k＝7．∴滿足條件的n的值為7．
6．在數(shù)列－1,0，，，…，，…中，0．08是它的第____________項(xiàng)．
解析：令＝0．08，得2n2－25n＋50＝0，
即(2n－5)(n－10)＝0．
解得n＝10或n＝(舍去)．
答案：10
7．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝a－1(n>1)，則a2 017＝________，|an＋an＋1|＝________(n>1)．
解析：由a1＝1，an＝a－1(n>1)，得
a2＝a－1＝12－1＝0，a3＝a－1＝02－1＝－1，
a4＝a－1＝(－1)2－1＝0，a5＝a－1＝02－1＝－1，
由此可猜想當(dāng)n>1，n為奇數(shù)時(shí)an＝－1，n為偶數(shù)時(shí)an＝0，
∴a2 017＝－1，|an＋an＋1|＝1．
答案：－1　1
8．在一個(gè)數(shù)列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．
解析：依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28．
答案：28
9．已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn＝a＋an(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得
a1＝a＋a1，解得a1＝1；
S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；
同理，a3＝3，a4＝4．
(2)Sn＝a＋an，①
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝a＋an－1，②
①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0．
由于an＋an－1≠0，
所以an－an－1＝1，
又由(1)知a1＝1，
故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n．
10．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋4．
(1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；
(2)對(duì)于n∈N*，都有an＋1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解：(1)由n2－5n＋40，a5－a1＝15，a4－a2＝6，則a3＝________．
解析：∵a5－a1＝15，a4－a2＝6．
∴(q≠1)
兩式相除得＝，即2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝，
當(dāng)q＝2時(shí)，a1＝1；
當(dāng)q＝時(shí)，a1＝－16(舍去)．
∴a3＝1×22＝4．
答案：4
二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)
1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若a4＋a6＝10，則a7(a1＋2a3)＋a3a9的值為(　　)
A．10 B．20
C．100 D．200
解析：選C　a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a＋2a4a6＋a＝(a4＋a6)2＝102＝100．
2．設(shè)等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝8，S6＝7，則a7＋a8＋a9等于(　　)
A． B．－
C． D．
解析：選A　因?yàn)閍7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，即8，－1，S9－S6成等比數(shù)列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝．所以a7＋a8＋a9＝．
3．已知數(shù)列{an}滿足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，則log(a5＋a7＋a9)的值是(　　)
A．－5 B．－
C．5 D．
解析：選A　∵log3an＋1＝log3an＋1，∴an＋1＝3an．
∴數(shù)列{an}是以公比q＝3的等比數(shù)列．
∵a5＋a7＋a9＝q3(a2＋a4＋a6)，
∴l(xiāng)og(a5＋a7＋a9)＝log(9×33)＝log35＝－5．
4．(2016·河北三市第二次聯(lián)考)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：選B　設(shè)該女子第一天織布x尺，則＝5，得x＝，∴前n天所織布的尺數(shù)為(2n－1)．由(2n－1)≥30，得2n≥187，則n的最小值為8．
5．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若存在m∈N*，滿足＝9，＝，則數(shù)列{an}的公比為(　　)
A．－2 B．2
C．－3 D．3
解析：選B　設(shè)公比為q，若q＝1，則＝2，與題中條件矛盾，故q≠1．∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8．
∴＝＝qm＝8＝，
∴m＝3，∴q3＝8，
∴q＝2．
6．(2015·湖南高考)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________．
解析：因?yàn)?S1,2S2，S3成等差數(shù)列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3．化簡(jiǎn)，得＝3，即等比數(shù)列{an}的公比q＝3，故an＝1×3n－1＝3n－1．
答案：3n－1
7．(2017·海口調(diào)研)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．且a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1,2,3，…)，則S2n＋3＝________．
解析：依題意得S2n＋3＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2n＋2＋a2n＋3)＝1＋＋＋…＋＝＝．
答案：
8．若一個(gè)數(shù)列的第m項(xiàng)等于這個(gè)數(shù)列的前m項(xiàng)的乘積，則稱(chēng)該數(shù)列為“m積數(shù)列”．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}是一個(gè)“2 016積數(shù)列”，且a1＞1，則當(dāng)其前n項(xiàng)的乘積取最大值時(shí)n的值為_(kāi)_______．
解析：由題可知a1a2a3·…·a2 016＝a2 016，
故a1a2a3·…·a2 015＝1，
由于{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列且a1＞1，
所以a1 008＝1，公比0＜q＜1，
所以a1 007＞1且0＜a1 009＜1，故當(dāng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積取最大值時(shí)n的值為1 007或1 008．
答案：1 007或1 008
9．(2017·蘭州診斷性測(cè)試)在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn．
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則依題意有
解得d＝1或d＝0(舍去)，
∴an＝1＋(n－1)＝n．
(2)由(1)得an＝n，
∴bn＝2n，
∴＝2，
∴{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴Tn＝＝2n＋1－2．
10．(2016·云南統(tǒng)測(cè))設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＋a2＋a3＝26，S6＝728．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求證：S－SnSn＋2＝4×3n．
解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由728≠2×26得，S6≠2S3，∴q≠1．
由已知得解得
∴an＝2×3n－1．
(2)證明：由(1)可得Sn＝＝3n－1．
∴Sn＋1＝3n＋1－1，Sn＋2＝3n＋2－1．
∴S－SnSn＋2＝(3n＋1－1)2－(3n－1)(3n＋2－1)＝4×3n．
三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校
1．設(shè){an}是各項(xiàng)為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，Ai是邊長(zhǎng)為ai，ai＋1的矩形的面積(i＝1,2，…)，則{An}為等比數(shù)列的充要條件是(　　)
A．{an}是等比數(shù)列
B．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比數(shù)列
C．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列
D．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列，且公比相同
解析：選D　∵Ai＝aiai＋1，若{An}為等比數(shù)列，則＝＝為常數(shù)，即＝，＝，…．∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比數(shù)列，且公比相等．反之，若奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，且公比相等，設(shè)為q，則＝＝q，從而{An}為等比數(shù)列．
2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解：(1)證明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，
∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．
∵a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15，
∴an＋2an－1≠0(n≥2)，∴＝3(n≥2)，
∴數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
則an＋1＝－2an＋5×3n，∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．
又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，
∴{an－3n}是以2為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列．
∴an－3n＝2×(－2)n－1，
即an＝2×(－2)n－1＋3n．
第四節(jié)數(shù)列求和


1．公式法
(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝na1＋．
推導(dǎo)方法：倒序相加法．
刪學(xué)生時(shí)注意(2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝
推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．
(3)一些常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和：
①1＋2＋3＋…＋n＝；
②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
③1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2．
2．幾種數(shù)列求和的常用方法
(1)分組求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減．
(2)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．常用的裂項(xiàng)公式有：
①＝－；
②＝；
③＝－．
(3)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．
(4)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．


1．若Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n－1·n，則S50＝________．
答案：－25
2．(教材習(xí)題改編)數(shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項(xiàng)和Sn的值等于________．
答案：n2＋1－


1．直接應(yīng)用公式求和時(shí)，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時(shí)，應(yīng)對(duì)其公比是否為1進(jìn)行討論．
2．在應(yīng)用錯(cuò)位相減法時(shí)，注意觀察未合并項(xiàng)的正負(fù)號(hào)；結(jié)論中形如an，an＋1的式子應(yīng)進(jìn)行合并．
3．在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法時(shí)，要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對(duì)稱(chēng)性，即前剩多少項(xiàng)則后剩多少項(xiàng)．


1．設(shè)f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N*)，則f(3)＝________．
答案：(87－1)
2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝________．
答案：(n－1)2n＋1＋2






1．(2017·重慶適應(yīng)性測(cè)試)在數(shù)列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，則數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為(　　)
A．9　　　　　　　　　　　 B．22
C．24 D．32
解析：選C　依題意得，數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，a1＝a2－2＝3，因此數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和等于4×3＋×2＝24，選C．
2．若等比數(shù)列{an}滿足a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________．
解析：由題意a2＋a5＝q(a1＋a4)，得20＝q×10，故q＝2，代入a1＋a4＝a1＋a1q3＝10，得9a1＝10，即a1＝．
故Sn＝＝(2n－1)．
答案：(2n－1)
3．已知等差數(shù)列{an}滿足a3＝2，前3項(xiàng)和S3＝．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
解：(1)設(shè){an}的公差為d，則由已知條件得

化簡(jiǎn)得解得
故{an}的通項(xiàng)公式an＝1＋，即an＝．
(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8．
設(shè){bn}的公比為q，則q3＝＝8，從而q＝2，
故{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝＝＝2n－1．

數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差或等比或可求數(shù)列前n項(xiàng)和的數(shù)列來(lái)求之．



(2016·北京高考)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．

解：(1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，
則q＝＝＝3，
所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，
所以bn＝3n－1(n∈N*)．
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d．
因?yàn)閍1＝b1＝1，a14＝b4＝27，
所以1＋13d＝27，即d＝2．
所以an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)知，cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1．
從而數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1
＝＋
＝n2＋．

分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型

　某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論．


(2017·蘭州實(shí)戰(zhàn)考試)在等差數(shù)列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{an＋bn}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，求{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d．
∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，
∴d＝－3，
∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1，
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－3n＋2．
(2)∵數(shù)列{an＋bn}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，
∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1，
∴bn＝3n－2＋qn－1．
∴Sn＝＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)＝＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)，
故當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝＋n＝；
當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＋．



(2016·山東高考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1．
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)令cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．
解：(1)由題意知，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝11，滿足上式，
所以an＝6n＋5．
設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d．
由即
可解得所以bn＝3n＋1．
(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1，
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×，
2Tn＝3×，
兩式作差，得－Tn＝3×
＝3×
＝－3n·2n＋2，
所以Tn＝3n·2n＋2．

用錯(cuò)位相減法求和的3個(gè)注意事項(xiàng)
(1)要善于識(shí)別題目類(lèi)型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；
(2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式；
(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．

(2017·泉州調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3＝6，S5＝15．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，首項(xiàng)為a1，
∵S3＝6，S5＝15，
∴
即解得
∴{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n．
(2)由(1)得bn＝＝，
∴Tn＝＋＋＋…＋＋，　?、?br /> ∴Tn＝＋＋＋…＋＋， ②
①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－，
∴Tn＝2－．

　
裂項(xiàng)相消法求和是歷年高考的重點(diǎn)，命題角度凸顯靈活多變，在解題中要善于利用裂項(xiàng)相消的基本思想，變換數(shù)列an的通項(xiàng)公式，達(dá)到求解目的．
常見(jiàn)的命題角度有：
(1)形如an＝型；
(2)形如an＝ 型；
(3)形如an＝型．　　　

角度一：形如an＝型
1．(2017·西安質(zhì)檢)等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1＝1，前n項(xiàng)和為Sn；數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，b1＝1，且b2S2＝6，b2＋S3＝8．
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求＋＋…＋．
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，d＞0，{bn}的公比為q，
則an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1．
依題意有
解得或(舍去)．
故an＝n，bn＝2n－1．
(2)由(1)知Sn＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)，
＝＝2，
∴＋＋…＋
＝2
＝2＝．
角度二：形如an＝ 型
2．(2017·江南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，令an＝，n∈N*．記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 017＝(　　)
A．－1　　　　　　　 B．－1
C．－1 D．＋1
解析：選C　由f(4)＝2可得4α＝2，解得α＝，
則f(x)＝x．
∴an＝＝＝－，
S2 017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 017＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1．

角度三：形如an＝型
3．正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
(2)令bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n．證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn0，Sn＝n2＋n．
于是a1＝S1＝2，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n．
綜上，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n．
(2)證明：由于an＝2n，
故bn＝＝＝．
Tn＝
＝0，∴an＋1＝3an，
又a1＝2，∴{an}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，
∴Sn＝＝3n－1．
答案：3n－1

5．(2017·廣西高三適應(yīng)性測(cè)試)已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn＝________．
解析：∵＝＝
∴＝2n－1．
∴＝＝，
∴Tn＝
＝＝．
答案：
二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)
1．已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且9S3＝S6，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為(　　)
A．或5 B．或5
C． D．
解析：選C　設(shè){an}的公比為q，顯然q≠1，由題意得＝，所以1＋q3＝9，得q＝2，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，前5項(xiàng)和為＝．
2．已知數(shù)列{an}中，an＝－4n＋5，等比數(shù)列{bn}的公比q滿足q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，則|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝(　　)
A．1－4n B．4n－1
C． D．
解析：選B　由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，
∴bn＝(－3)×(－4)n－1，
∴|bn|＝3×4n－1，
即{|bn|}是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列．
∴|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＝4n－1．
3．(2017·江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知數(shù)列5,6,1，－5，…，該數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前16項(xiàng)之和S16等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．16
解析：選C　根據(jù)題意這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)分別為5,6,1，－5，－6，－1,5,6，發(fā)現(xiàn)從第7項(xiàng)起，數(shù)列重復(fù)出現(xiàn)，所以此數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為6，前6項(xiàng)和為5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0．
又因?yàn)?6＝2×6＋4，所以這個(gè)數(shù)列的前16項(xiàng)之和S16＝2×0＋7＝7．故選C．
4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2sin，則a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：選B　an＝n2sin＝
∴a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝－12＋22－32＋42－…－2 0172＋2 0182＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(2 0182－2 0172)＝1＋2＋3＋4＋…＋2 018＝．
5．對(duì)于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，數(shù)列{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為2n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝(　　)
A．2 B．2n
C．2n＋1－2 D．2n－1－2
解析：選C　∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n，∴Sn＝＝2n＋1－2．故選C．
6．在數(shù)列{an}中，若a1＝2，且對(duì)任意正整數(shù)m，k，總有am＋k＝am＋ak，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________．
解析：依題意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1)．
答案：n(n＋1)
7．(2016·浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________．
解析：∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，
∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，
∴數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，
∴＝3．
又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，
∴S5＋＝×34＝×34＝，
∴S5＝121．
答案：1　121
8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，則S2 017＝________．
解析：∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n，①
∴n＝1時(shí)，a2＝2，n≥2時(shí)，an·an－1＝2n－1，②
∵①÷②得＝2，
∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，
∴S2 017＝＋＝21 010－3．
答案：21 010－3
9．已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1＝1，公比為q；等差數(shù)列{bn}中，b1＝3，且{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＋S3＝27，q＝．
(1)求{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn＝，求{cn}的前n項(xiàng)和Tn．
解：(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，∵a3＋S3＝27，q＝，
∴q2＋3d＝18,6＋d＝q2，聯(lián)立方程可求得q＝3，d＝3，
∴an＝3n－1，bn＝3n．
(2)由題意得：Sn＝，cn＝＝××＝－．
∴Tn＝1－＋－＋－＋…＋－
＝1－＝．
10．(2017·廣州綜合測(cè)試)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中項(xiàng)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝2log2an－1，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn．
解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，
因?yàn)閍2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2．
因?yàn)閍3＋2是a2和a4的等差中項(xiàng)，
所以2(a3＋2)＝a2＋a4．
即2(4q＋2)＝4＋4q2，
化簡(jiǎn)得q2－2q＝0．
因?yàn)楣萹≠0，所以q＝2．
所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*)．
(2)因?yàn)閍n＝2n，所以bn＝2log2an－1＝2n－1，
所以anbn＝(2n－1)2n，
則Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①
2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1．②
由①－②得，
－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1
＝2＋2×－(2n－1)2n＋1
＝－6－(2n－3)2n＋1，
所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1．
三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校
1．(2017·云南師大附中檢測(cè))已知數(shù)列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，則{an}的前100項(xiàng)和為_(kāi)_______．
解析：由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，得a2n＋a2n＋1＝n＋1，∴a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99)＝2＋2＋3＋…＋50＝1 276，∵a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13，∴a1＋a2＋…＋a100＝1 276＋13＝1 289．
答案：1 289
2．(2017·湖南省東部六校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}滿足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中項(xiàng)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47