2021-2022學(xué)年四川省成都市實驗外國語學(xué)校高二下學(xué)期第一次階段性考試數(shù)學(xué)（理）試題含答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題
1.函數(shù)在上的平均變化率為（）
A.B.C.D.
答案：
A
解析：
【分析】
根據(jù)題意直接計算可得.
【詳解】
在上的平均變化率為.故選：A.
2.已知向量，，，則、的夾角為（）
A.B.C.D.
答案：
D
解析：
【分析】
求出，利用平面向量的數(shù)量積可求得，結(jié)合平面向量夾角的取值范圍可求得結(jié)果.
【詳解】
由已知，所以，，
因為，因此，.故選：D.
3.已知位學(xué)生得某次數(shù)學(xué)測試成績得莖葉圖如圖，則下列說法正確的是（）
A.眾數(shù)為
B.平均數(shù)為
C.中位數(shù)為
D.極差為
答案：
B
解析：
【分析】
根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、極差的概念逐項判斷.
【詳解】
解：
對于選項A：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，故A錯誤；
對于選項B：平均數(shù)為：，故B正確；
對于選項C：中位數(shù)為：，故C錯誤；
對于選項D：極差為：，故D錯誤.故選：B
4.若實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為（）
A.B.C.D.
答案：
D
解析：
【分析】
作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．
【詳解】
作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，
由得，其中是直線的縱截距，
當(dāng)直線向下平移時，縱截距減小．值增大，
所以當(dāng)過點時，取得最大值，
由，得，即，
所以．故選：D．
5.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則（）
A.B.C.D.
答案：
C
解析：
【分析】
由已知可求得，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求出.
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
.故選：C.
6.若函數(shù)，則（）
A.B.C.D.
答案：
B
解析：
【分析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進行求解即可.
【詳解】
由，
，故選：B.
7.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西勻速行駛，在公路北側(cè)遠處一座高米的山頂?shù)臏y得點的在東偏南方向上過一分鐘后測得點處在山頂?shù)氐臇|偏南方向上，俯角為，則該車的行駛速度為（）
A.米/秒B.米/秒
C.米/秒D.米/秒
答案：
A
解析：
【分析】
根據(jù)題意可得，再除以時間即可得解.
【詳解】
根據(jù)題意，由處在山頂俯角為，
所以，
由東偏南，東偏南，
所以，
所以為等腰三角形，所以，
由，所以速度為米/秒，故選：A.
8.設(shè)，則在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象可能是（）
A.B.
C.D.
答案：
A
解析：
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次方程根的情況，結(jié)合選項逐項分析即可求出結(jié)果.
【詳解】
A選項：設(shè)函數(shù)的極小值點為，極大值點為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，所以，符合，則經(jīng)過一、二、四象限；故A正確；
B選項：設(shè)函數(shù)的極小值點為，極大值點為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，所以，符合，則經(jīng)過一、二、四象限；故B錯誤；
C選項：因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則恒成立，所以，則，由得，，，所以只有一個交點，故C錯誤；
D選項：設(shè)函數(shù)的極大值點為，極小值點為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，所以，不符合；故D錯誤；故選：A.
9.已知三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，且平面平面，該三棱錐外接球的表面積為（）
A.B.C.D.
答案：
B
解析：
【分析】
可將三棱錐補為正三棱柱，根據(jù)正三棱柱外接球求法即可得結(jié)果．
【詳解】
如圖，根據(jù)幾何關(guān)系，可將三棱錐補為正三棱柱，
則三棱錐的外接球為該正三棱柱的外接球，
設(shè)、分別為該正三棱柱上、下底面外接圓圓心，則外接球球心為中點，
根據(jù)正弦定理得等邊三角形外接圓半徑，
則外接球半徑，
則外接球表面積為．故選：B．
10.若函數(shù)有且只有個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
【分析】
分段分析函數(shù)的性質(zhì)，再根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍.
【詳解】
根據(jù)題意，時，，此時
時，;時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
時，
所以在上無零點
從而時，有個零點，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得
，故選：D.
11.雙曲線的左、右焦點分別為、，過點且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于、兩點，若，則雙曲線的離心率為（）
A.B.C.D.
答案：
C
解析：
【分析】
由，且，可得，再結(jié)合，可得，進而在中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.
【詳解】
由題意，可得，
因為，所以，
又，所以，
在△中，，即，
由余弦定理，可得，
整理得，則，即，解得，
因為，所以.
故選：C.
12.設(shè)直線，分別是函數(shù)的圖象上點，處的切線，與垂直且相交于點，且，分別與軸相交于點，則面積的取值范圍是（）
A.B.C.D.
答案：
B
解析：
【分析】
設(shè)出點，的坐標(biāo)，求出原分段函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到直線，的斜率，由兩直線垂直求得，的橫坐標(biāo)的乘積為，再分別寫出兩直線的點斜式方程，求得兩點的縱坐標(biāo)，得到，聯(lián)立兩直線方程求得點的橫坐標(biāo)，然后代入三角形面積公式，利用函數(shù)的性質(zhì)求得的面積的取值范圍
【詳解】
設(shè)，由圖象，不妨設(shè)
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以的斜率，的斜率，
因為與垂直，，所以，得，
直線為，為，
令，可求得，
所以，
聯(lián)立兩直線方程可得交點的橫坐標(biāo)為，
所以，
因為函數(shù)在上為減函數(shù)，且，
所以，所以，所以面積的取值范圍是，故選：B.
二、填空題
13.某設(shè)備的使用年限與所支出的維修費用的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
若回歸直線方程為，據(jù)此模型預(yù)測，若使用年限為年，估計維修費約為________萬元.
答案：
解析：
【分析】
由樣本中心點得出后求解
【詳解】
由題意，，
故，解得，當(dāng)時，，故答案為：
14.“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的________條件.
答案：
充分不必要
解析：
【分析】
求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分必要條件的定義判斷．
【詳解】
，定義域是，，
，即時，恒成立，遞增，
當(dāng)時，，時，恒成立，遞增，
時，，時，，只有時，因此遞增，
因此時，在上是增函數(shù)，但在上是增函數(shù)時，不能得出，因此題中應(yīng)為充分不必要條件．故答案為：充分不必要．
15.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，且滿足，若當(dāng)時，，則不等式的解集為________.
答案：
解析：
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，確定奇偶性，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，利用奇偶性變形不等式，再由單調(diào)性解出不等式．
【詳解】
設(shè)，則，時，是增函數(shù)，
又是偶函數(shù)，所以，是偶函數(shù)，
，
不等式即為，
由是偶函數(shù)，得，
又時，遞增，所以，．故答案為：．
16.已知拋物線焦點為，直線過焦點且與拋物線交于?兩點，為拋物線準(zhǔn)線上一點且，連接交軸于點，過作于點，若，則________.
答案：
解析：
【分析】
設(shè)出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，得出韋達定理，再利用相似比得出即可求出.
【詳解】
設(shè)，直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
所以①，②，
因為，可得，過作交軸于交于
由題可得，所以，則，
整理可得③，
聯(lián)立①②③，解得，，
所以.故答案為：.
三?解答題
17.已知，其中.
（1）若，求在處的切線方程；
（2）若是函數(shù)的極小值點，求函數(shù)在區(qū)間上的最值.
答案：
見解析
解析：
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，得，計算出，由點斜式得切線方程并化簡；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，由求得，然后解出的根，列表確定的符號，的單調(diào)性與極值，計算出區(qū)間端點處函數(shù)值，得最值．
【詳解】
（1），，，
，，
切線方程為，即；
（2），，，，或，
列表如下，
所以最大值為，最小值為．
19.年國慶節(jié)過后我省多地突發(fā)新冠疫情，某行業(yè)主管部門為了了解本行業(yè)中的小企業(yè)在疫情后的恢復(fù)生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了個企業(yè)，得到這些企業(yè)第四季度相對于去年同期產(chǎn)值增長率的頻數(shù)分布表如下：
（1）根據(jù)上述增長率的頻數(shù)分布表，估計這些企業(yè)中產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例（用百分?jǐn)?shù)表示）；估計這個企業(yè)同期產(chǎn)值增長率的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；
（2）現(xiàn)從同期產(chǎn)值增長率的上述個分組中各選個對應(yīng)企業(yè)，進行后疫情時期復(fù)工復(fù)產(chǎn)與防疫情況調(diào)研，并在選出的個企業(yè)中再隨機選取其中個企業(yè)對后疫情時期生產(chǎn)數(shù)據(jù)進行重點分析，求選取的這個企業(yè)恰有一家企業(yè)同期產(chǎn)值負增長的概率.
答案：
見解析
解析：
【分析】
（1）由頻率分布表將的企業(yè)數(shù)除以總企業(yè)數(shù)得到比例，再結(jié)合表及平均數(shù)的求法求個企業(yè)同期產(chǎn)值增長率的平均數(shù).
（2）應(yīng)用列舉法：寫出選出個企業(yè)所有組合及個企業(yè)恰有一家企業(yè)同期產(chǎn)值負增長的組合，根據(jù)古典概型的概率求法求所求概率.
【詳解】
（1）估計這些企業(yè)中產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為.
這個企業(yè)同期產(chǎn)值增長率的平均數(shù)為.
（2）將欲調(diào)研的這個企業(yè)按分組區(qū)間從左至右依次記為：，
則從個調(diào)研企業(yè)中任選個企業(yè)的基本事件有：共種，
事件“這個企業(yè)中恰有一家企業(yè)同期產(chǎn)值負增長”包含的基本事件有：共種，
所以這個企業(yè)中恰有一家企業(yè)同期產(chǎn)值負增長的概率：.
21.如圖，多面體中，，，為的中點，四邊形為矩形.
（1）證明：；
（2）若，，，求二面角的余弦值.
答案：
見解析
解析：
【分析】
（1）由線面垂直的判定定理證明平面后可得線線垂直；
（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．
【詳解】
（1）四邊形為矩形，，
又，為中點，，
、平面，，平面，
，平面，
又平面，，
，，、平面，
平面，又平面，．
（2），是中點，則，又，
，平面，所以平面，
，則，
以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
，，則，，，
，，，．
，，．
設(shè)平面的一個法向量是，
則，取，則，，，
設(shè)平面的一個法向量是，
則，取，，，，
，
由圖可知二面角的余弦值為．
23.已知橢圓的左焦點為，離心率為，斜率為的直線過點和點．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點的直線交橢圓于點、，且滿足（為坐標(biāo)原點），求直線的方程．
答案：
見解析
解析：
【分析】
（1）由直線斜率求出，由離心率求出，由、、關(guān)系求出；
（2）按斜率是否存在進行討論.當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求出的面積，另外也可由求得的面積，由此得關(guān)于的方程即可求解.
【詳解】
（1）由題設(shè)知，直線的斜率．
橢圓離心率，則．
∴，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，：，直線交橢圓于點、.．
注意到是等腰三角形，則，，
，∴直線滿足要求．
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，
與聯(lián)立消去整理得：
.
因直線過橢圓的左焦點，
∴直線與橢圓必相交，設(shè)交點、，
則，.
點到直線的距離.
，
∴，直線的方程為：或，
即或或.
25.已知函數(shù)（為非零實數(shù)）.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若有兩個極值點，，且，求證：.
答案：
見解析
解析：
【分析】
（1）由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解
（2）先求出，，將原式化簡后再構(gòu)造函數(shù)證明不等式
【詳解】
（1）定義域為，
，
①當(dāng)即時，，在上單調(diào)遞增，
②當(dāng)即時，令，得，
當(dāng)或時，
當(dāng)時，
故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
③當(dāng)即時，，
同理得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）若有兩個極值點，，由（1）得，
故可化為，而，
代入得，而，
只需證，
令，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，
而，故，
即證．
27.已知圓經(jīng)過點，和直線相切，且圓心在直線上.
（1）求圓的方程；
（2）已知直線經(jīng)過原點，并且被圓截得的弦長為，求直線的方程
答案：
見解析
解析：
【分析】
（1）由條件可知圓心的坐標(biāo)為，再根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，根據(jù)圓的圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分斜率不存在和斜率存在兩種情況討論，利用弦長公式可知圓心到直線的距離是，求直線方程.
【詳解】
（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，
則.
化簡，得，解得.
所以點坐標(biāo)為，
半徑.
故圓的方程為.
（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線被圓截得的弦長為，滿足條件.
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由題意得，解得，∴直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.

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