?注意事項(xiàng)：
1.本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。
2.答卷前先將密封線左側(cè)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚。
3.答案須用黑色字跡的鋼筆、簽字筆或圓珠筆書(shū)寫(xiě)，密封線內(nèi)不得答題。

2023年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市中考數(shù)學(xué)試卷
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10題，每題3分，共30分）
1．（3分）（2023?鄂爾多斯）有理數(shù)的相反數(shù)為　　
A． B． C． D．3
2．（3分）（2023?鄂爾多斯）下面四個(gè)圖形中，經(jīng)過(guò)折疊能圍成如圖所示的幾何圖形的是　　

A． B．
C． D．
3．（3分）（2023?鄂爾多斯）禽流感病毒的半徑大約是0.00000045米，它的直徑用科學(xué)記數(shù)法表示為　　
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（3分）（2023?鄂爾多斯）如圖，在正方形的外側(cè)，作等邊，則為　　

A． B． C． D．
5．（3分）（2023?鄂爾多斯）下列計(jì)算
①②③④⑤，
其中任意抽取一個(gè)，運(yùn)算結(jié)果正確的概率是　　
A． B． C． D．
6．（3分）（2023?鄂爾多斯）下表是抽查的某班10名同學(xué)中考體育測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)表．
成績(jī)（分
30
25
20
15
人數(shù)（人
2


1
若成績(jī)的平均數(shù)為23，中位數(shù)是，眾數(shù)是，則的值是　　
A． B． C．2.5 D．5
7．（3分）（2023?鄂爾多斯）如圖，在中，，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計(jì)算的度數(shù)是　　

A． B． C． D．
8．（3分）（2023?鄂爾多斯）下列說(shuō)法正確的是　　
①函數(shù)中自變量的取值范圍是．
②若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7，則第三邊長(zhǎng)是3或7．
③一個(gè)正六邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍．
④同旁內(nèi)角互補(bǔ)是真命題．
⑤關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
A．①②③ B．①④⑤ C．②④ D．③⑤
9．（3分）（2023?鄂爾多斯）如圖，矩形與菱形的對(duì)角線均交于點(diǎn)，且，將矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕過(guò)點(diǎn)．若，，，則的長(zhǎng)為　　

A． B． C． D．
10．（3分）（2023?鄂爾多斯）在“加油向未來(lái)”電視節(jié)目中，王清和李北進(jìn)行無(wú)人駕駛汽車運(yùn)送貨物表演，王清操控的快車和李北操控的慢車分別從，兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行．快車到達(dá)地后，停留3秒卸貨，然后原路返回地，慢車到達(dá)地即停運(yùn)休息，如圖表示的是兩車之間的距離（米與行駛時(shí)間（秒的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象信息，計(jì)算、的值分別為　　

A．39，26 B．39，26.4 C．38，26 D．38，26.4
二、填空題（本大題共6題，每題3分，共18分）
11．（3分）（2023?鄂爾多斯）計(jì)算：　　．
12．（3分）（2023?鄂爾多斯）一組數(shù)據(jù)，0，1，2，3的方差是　 ?。?br /> 13．（3分）（2023?鄂爾多斯）如圖，中，，以為直徑的分別與，交于點(diǎn)，，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．若，，則陰影部分的面積是　?。?br />
14．（3分）（2023?鄂爾多斯）如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”．若是“好玩三角形”，且，則　　．
15．（3分）（2023?鄂爾多斯）如圖，有一條折線，它是由過(guò)，，組成的折線依次平移8，16，24，個(gè)單位得到的，直線與此折線有且為整數(shù)）個(gè)交點(diǎn)，則的值為　?。?br />
16．（3分）（2023?鄂爾多斯）如圖，在圓心角為的扇形中，，為上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)為的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則內(nèi)心所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為　?。?br />
三、解答題（本大題共8題，共72分，解答時(shí)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，演算步驟或推理過(guò)程）
17．（8分）（2023?鄂爾多斯）（1）先化簡(jiǎn)：，再?gòu)牡恼麛?shù)中選取一個(gè)你喜歡的的值代入求值．
（2）解不等式組，并寫(xiě)出該不等式組的非負(fù)整數(shù)解．
18．（9分）（2023?鄂爾多斯）某校調(diào)查了若干名家長(zhǎng)對(duì)“初中生帶手機(jī)上學(xué)”現(xiàn)象的看法，統(tǒng)計(jì)整理并制作了如下的條形與扇形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中提供的信息，完成以下問(wèn)題：
（1）本次共調(diào)查了　　名家長(zhǎng)，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“很贊同”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是　　度，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．
（2）該校共有3600名家長(zhǎng)，通過(guò)計(jì)算估計(jì)其中“不贊同”的家長(zhǎng)有多少名？
（3）從“不贊同”的五位家長(zhǎng)中（兩女三男），隨機(jī)選取兩位家長(zhǎng)對(duì)全校家長(zhǎng)進(jìn)行“學(xué)生使用手機(jī)危害性”的專題講座，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求出選中“1男1女”的概率．

19．（8分）（2023?鄂爾多斯）教室里的飲水機(jī)接通電源就進(jìn)入自動(dòng)程序，開(kāi)機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升，加熱到停止加熱，水溫開(kāi)始下降，此時(shí)水溫與開(kāi)機(jī)后用時(shí)成反比例關(guān)系，直至水溫降至，飲水機(jī)關(guān)機(jī)，飲水機(jī)關(guān)機(jī)后即刻自動(dòng)開(kāi)機(jī)，重復(fù)上述自動(dòng)程序．若在水溫為時(shí)接通電源，水溫與時(shí)間的關(guān)系如圖所示：
（1）分別寫(xiě)出水溫上升和下降階段與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）怡萱同學(xué)想喝高于的水，請(qǐng)問(wèn)她最多需要等待多長(zhǎng)時(shí)間？

20．（7分）（2023?鄂爾多斯）某校組織學(xué)生到恩格貝和康鎮(zhèn)進(jìn)行研學(xué)活動(dòng)，澄澄老師在網(wǎng)上查得，和分
別位于學(xué)校的正北和正東方向，位于南偏東方向，校車從出發(fā)，沿正北方向前往地，行駛到15千米的處時(shí)，導(dǎo)航顯示，在處北偏東方向有一服務(wù)區(qū)，且位于，兩地中點(diǎn)處．
（1）求，兩地之間的距離；
（2）校車從地勻速行駛1小時(shí)40分鐘到達(dá)地，若這段路程限速100千米時(shí)，計(jì)算校車是否超速？
（參考數(shù)據(jù)：，，

21．（8分）（2023?鄂爾多斯）如圖，是的直徑，弦，垂足為，連接．過(guò)上一點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且．
（1）求證：是的切線；
（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．

22．（9分）（2023?鄂爾多斯）某工廠制作，兩種手工藝品，每天每件獲利比多105元，獲利30元的與獲利240元的數(shù)量相等．
（1）制作一件和一件分別獲利多少元？
（2）工廠安排65人制作，兩種手工藝品，每人每天制作2件或1件．現(xiàn)在在不增加工人的情況下，增加制作．已知每人每天可制作1件（每人每天只能制作一種手工藝品），要求每天制作，兩種手工藝品的數(shù)量相等．設(shè)每天安排人制作，人制作，寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在（1）（2）的條件下，每天制作不少于5件．當(dāng)每天制作5件時(shí)，每件獲利不變．若每增加1件，則當(dāng)天平均每件獲利減少2元．已知每件獲利30元，求每天制作三種手工藝品可獲得的總利潤(rùn)（元的最大值及相應(yīng)的值．
23．（11分）（2023?鄂爾多斯）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】
如圖1，的頂點(diǎn)在正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的兩邊分別與正方形的邊和交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合）．則，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系是　　．
（2）【類比應(yīng)用】
如圖2，若將（1）中的“正方形”改為“的菱形”，其他條件不變，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)猜想結(jié)論并說(shuō)明理由．
（3）【拓展延伸】
如圖3，，，，平分，，且，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．

24．（12分）（2023?鄂爾多斯）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式．
（2）是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)，求的最大值．
（3）以點(diǎn)為圓心，1為半徑作圓，上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．


2023年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10題，每題3分，共30分）
1．（3分）（2023?鄂爾多斯）有理數(shù)的相反數(shù)為　　
A． B． C． D．3
【分析】直接利用相反數(shù)的定義分析得出答案．
【解答】解：有理數(shù)的相反數(shù)為：．
故選：．
2．（3分）（2023?鄂爾多斯）下面四個(gè)圖形中，經(jīng)過(guò)折疊能圍成如圖所示的幾何圖形的是　　

A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)圖中符號(hào)所處的位置關(guān)系作答．
【解答】解：三角形圖案的頂點(diǎn)應(yīng)與圓形的圖案相對(duì)，而選項(xiàng)與此不符，所以錯(cuò)誤；
三角形圖案所在的面應(yīng)與正方形的圖案所在的面相鄰，而選項(xiàng)與此也不符，
三角形圖案所在的面應(yīng)與圓形的圖案所在的面相鄰，而選項(xiàng)與此也不符，正確的是．
故選：．
3．（3分）（2023?鄂爾多斯）禽流感病毒的半徑大約是0.00000045米，它的直徑用科學(xué)記數(shù)法表示為　　
A．米 B．米 C．米 D．米
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
【解答】解：．
故選：．
4．（3分）（2023?鄂爾多斯）如圖，在正方形的外側(cè)，作等邊，則為　　

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)角都是求出，的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角相等求出，然后根據(jù)列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：在正方形中，，，
在等邊中，，，
在中，，，
所以，，
所以．
故選：．
5．（3分）（2023?鄂爾多斯）下列計(jì)算
①②③④⑤，
其中任意抽取一個(gè)，運(yùn)算結(jié)果正確的概率是　　
A． B． C． D．
【分析】隨機(jī)事件的概率（A）事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．
【解答】解：運(yùn)算結(jié)果正確的有⑤，則運(yùn)算結(jié)果正確的概率是，
故選：．
6．（3分）（2023?鄂爾多斯）下表是抽查的某班10名同學(xué)中考體育測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)表．
成績(jī)（分
30
25
20
15
人數(shù)（人
2


1
若成績(jī)的平均數(shù)為23，中位數(shù)是，眾數(shù)是，則的值是　　
A． B． C．2.5 D．5
【分析】首先根據(jù)平均數(shù)求得、的值，然后利用中位數(shù)及眾數(shù)的定義求得和的值，從而求得的值即可．
【解答】解：平均數(shù)為23，
，
，
即：，
，
，，
中位數(shù)，，
，
故選：．
7．（3分）（2023?鄂爾多斯）如圖，在中，，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計(jì)算的度數(shù)是　　

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，所以，再利用基本作圖得到垂直平分，平分，所以，，然后利用互余計(jì)算出，從而得到的度數(shù)．
【解答】解：四邊形為平行四邊形，
，
，
由作法得垂直平分，平分，
，，
，
，
的度數(shù)是．
故選：．

8．（3分）（2023?鄂爾多斯）下列說(shuō)法正確的是　　
①函數(shù)中自變量的取值范圍是．
②若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7，則第三邊長(zhǎng)是3或7．
③一個(gè)正六邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍．
④同旁內(nèi)角互補(bǔ)是真命題．
⑤關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
A．①②③ B．①④⑤ C．②④ D．③⑤
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)、正多邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及一元二次方程根的判別式分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【解答】解：①函數(shù)中自變量的取值范圍是，故錯(cuò)誤．
②若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7，則第三邊長(zhǎng)是7，故錯(cuò)誤．
③一個(gè)正六邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍，正確．
④兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是真命題，故錯(cuò)誤．
⑤關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，正確，
故選：．
9．（3分）（2023?鄂爾多斯）如圖，矩形與菱形的對(duì)角線均交于點(diǎn)，且，將矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕過(guò)點(diǎn)．若，，，則的長(zhǎng)為　　

A． B． C． D．
【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，則為直角三角形，證明四邊形為菱形，則可證，由勾股定理求得的值，再由梯形的中位線定理，即可得出答案．
【解答】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、；如圖所示：
則，為直角三角形，
四邊形是菱形，，
，，，
，
由折疊的性質(zhì)得：，，，
，
，
，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，
四邊形為菱形，
，
根據(jù)題意得：是梯形的中位線，
，
；
故選：．

10．（3分）（2023?鄂爾多斯）在“加油向未來(lái)”電視節(jié)目中，王清和李北進(jìn)行無(wú)人駕駛汽車運(yùn)送貨物表演，王清操控的快車和李北操控的慢車分別從，兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行．快車到達(dá)地后，停留3秒卸貨，然后原路返回地，慢車到達(dá)地即停運(yùn)休息，如圖表示的是兩車之間的距離（米與行駛時(shí)間（秒的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象信息，計(jì)算、的值分別為　　

A．39，26 B．39，26.4 C．38，26 D．38，26.4
【分析】由圖象可知，兩車經(jīng)過(guò)18秒相遇，繼續(xù)行駛秒，兩車的距離為24米，可求速度和為米秒，距離為米，在快車到地停留3秒，兩車的距離增加米，慢車的速度為：米秒，而根據(jù)題意米的距離相當(dāng)于慢車行駛秒的路程，故速度為米秒，因此，，解得：米，從而可求慢車速度為：米秒，快車速度為：米秒，快車返回追至兩車距離為24米的時(shí)間：秒，因此秒．
【解答】解：速度和為：米秒，
由題意得：，解得：，
因此慢車速度為：米秒，快車速度為：米秒，
快車返回追至兩車距離為24米的時(shí)間：秒，因此秒．
故選：．
二、填空題（本大題共6題，每題3分，共18分）
11．（3分）（2023?鄂爾多斯）計(jì)算：　?。?br /> 【分析】首先計(jì)算乘方，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：


故答案為：．
12．（3分）（2023?鄂爾多斯）一組數(shù)據(jù)，0，1，2，3的方差是　2?。?br /> 【分析】利用方差的定義求解．方差．
【解答】解：數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
方差．
故填2．
13．（3分）（2023?鄂爾多斯）如圖，中，，以為直徑的分別與，交于點(diǎn)，，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．若，，則陰影部分的面積是　?。?br />
【分析】根據(jù)即可求解．
【解答】解：連接，

，，，
，
，
．
故答案．
14．（3分）（2023?鄂爾多斯）如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”．若是“好玩三角形”，且，則　或?。?br /> 【分析】分兩種情形分別畫(huà)出圖形求解即可．
【解答】解：①如圖1中，

在中，，是的中線，設(shè)，則，，
．

②如圖2中，

在中，，是的中線，設(shè)，則，，
．，
故答案為：或．
15．（3分）（2023?鄂爾多斯）如圖，有一條折線，它是由過(guò)，，組成的折線依次平移8，16，24，個(gè)單位得到的，直線與此折線有且為整數(shù)）個(gè)交點(diǎn)，則的值為　?。?br />
【分析】由點(diǎn)、的坐標(biāo)，結(jié)合平移的距離即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線與此折線恰有，且為整數(shù)）個(gè)交點(diǎn)，即可得出點(diǎn)在直線上，依據(jù)依此函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出值．
【解答】解：，，，，，
．
直線與此折線恰有且為整數(shù)）個(gè)交點(diǎn)，
點(diǎn)在直線上，
，
解得：．
故答案為：．
16．（3分）（2023?鄂爾多斯）如圖，在圓心角為的扇形中，，為上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)為的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則內(nèi)心所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為　　．

【分析】如圖，以為斜邊在的右邊作等腰，以為圓心為半徑作，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接，，，．首先證明點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【解答】解：如圖，以為斜邊在的右邊作等腰，以為圓心為半徑作，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接，，，．

，
，
點(diǎn)是內(nèi)心，
，
，，，
，
，
，
，
，，，四點(diǎn)共圓，
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是，
內(nèi)心所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)，
故答案為．
三、解答題（本大題共8題，共72分，解答時(shí)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，演算步驟或推理過(guò)程）
17．（8分）（2023?鄂爾多斯）（1）先化簡(jiǎn)：，再?gòu)牡恼麛?shù)中選取一個(gè)你喜歡的的值代入求值．
（2）解不等式組，并寫(xiě)出該不等式組的非負(fù)整數(shù)解．
【分析】（1）根據(jù)分式的除法和加法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后從的整數(shù)中選取一個(gè)使得原分式有意義的整數(shù)代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題；
（2）根據(jù)解一元一次不等式組的方法可以解答本題．
【解答】解：（1）


，
當(dāng)時(shí)，原式；
（2），
由不等式①，得
，
由不等式②，得
，
故原不等式組的解集是，
該不等式組的非負(fù)整數(shù)解是0，1．
18．（9分）（2023?鄂爾多斯）某校調(diào)查了若干名家長(zhǎng)對(duì)“初中生帶手機(jī)上學(xué)”現(xiàn)象的看法，統(tǒng)計(jì)整理并制作了如下的條形與扇形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中提供的信息，完成以下問(wèn)題：
（1）本次共調(diào)查了　200　名家長(zhǎng)，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“很贊同”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是　　度，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．
（2）該校共有3600名家長(zhǎng)，通過(guò)計(jì)算估計(jì)其中“不贊同”的家長(zhǎng)有多少名？
（3）從“不贊同”的五位家長(zhǎng)中（兩女三男），隨機(jī)選取兩位家長(zhǎng)對(duì)全校家長(zhǎng)進(jìn)行“學(xué)生使用手機(jī)危害性”的專題講座，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求出選中“1男1女”的概率．

【分析】（1）根據(jù)無(wú)所謂人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，乘以很贊同人數(shù)所占比例可得其圓心角度數(shù)，由各部分人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求出不贊同的人數(shù)即可補(bǔ)全圖形；
（2）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中不贊同人數(shù)所占比例即可得；
（3）用表示男生，表示女生，畫(huà)出樹(shù)形圖，再根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）本次調(diào)查的家長(zhǎng)人數(shù)為（人，
扇形統(tǒng)計(jì)圖中“很贊同”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是，
不贊同的人數(shù)為（人，
補(bǔ)全圖形如下：

故答案為：200、27；

（2）估計(jì)其中“不贊同”的家長(zhǎng)有（人；

（3）用表示男生，表示女生，畫(huà)圖如下：

共有20種情況，一男一女的情況是12種，
則剛好抽到一男一女的概率是．
19．（8分）（2023?鄂爾多斯）教室里的飲水機(jī)接通電源就進(jìn)入自動(dòng)程序，開(kāi)機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升，加熱到停止加熱，水溫開(kāi)始下降，此時(shí)水溫與開(kāi)機(jī)后用時(shí)成反比例關(guān)系，直至水溫降至，飲水機(jī)關(guān)機(jī)，飲水機(jī)關(guān)機(jī)后即刻自動(dòng)開(kāi)機(jī)，重復(fù)上述自動(dòng)程序．若在水溫為時(shí)接通電源，水溫與時(shí)間的關(guān)系如圖所示：
（1）分別寫(xiě)出水溫上升和下降階段與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）怡萱同學(xué)想喝高于的水，請(qǐng)問(wèn)她最多需要等待多長(zhǎng)時(shí)間？

【分析】（1）根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以求得的值；根據(jù)函數(shù)圖象和題意可以求得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，注意函數(shù)圖象是循環(huán)出現(xiàn)的；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式可以解答本題；
【解答】解：（1）觀察圖象，可知：當(dāng)時(shí)，水溫
當(dāng)時(shí)，設(shè)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：，
，得，
即當(dāng)時(shí)，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，
，得，
即當(dāng)時(shí)，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，
當(dāng)時(shí)，，
與的函數(shù)關(guān)系式為：，與的函數(shù)關(guān)系式每分鐘重復(fù)出現(xiàn)一次；
（2）將代入，得，
將代入，得，
，
怡萱同學(xué)想喝高于的水，她最多需要等待；
20．（7分）（2023?鄂爾多斯）某校組織學(xué)生到恩格貝和康鎮(zhèn)進(jìn)行研學(xué)活動(dòng)，澄澄老師在網(wǎng)上查得，和分
別位于學(xué)校的正北和正東方向，位于南偏東方向，校車從出發(fā)，沿正北方向前往地，行駛到15千米的處時(shí)，導(dǎo)航顯示，在處北偏東方向有一服務(wù)區(qū)，且位于，兩地中點(diǎn)處．
（1）求，兩地之間的距離；
（2）校車從地勻速行駛1小時(shí)40分鐘到達(dá)地，若這段路程限速100千米時(shí)，計(jì)算校車是否超速？
（參考數(shù)據(jù)：，，

【分析】（1）作于．由題意，可得，設(shè)千米，則千米，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．
（2）求出的長(zhǎng)，再求出校車的速度即可判斷．
【解答】解：（1）如圖，作于．
由題意，可得，設(shè)千米，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
千米，
在中，，
，
，
（千米），（千米），（千米），
（千米）．

（2）在中，（千米），
（千米），
千米小時(shí)，
，
校車沒(méi)有超速．

21．（8分）（2023?鄂爾多斯）如圖，是的直徑，弦，垂足為，連接．過(guò)上一點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且．
（1）求證：是的切線；
（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．

【分析】（1）連接，如圖，通過(guò)證明得到，然后根據(jù)切線的判定定理得到是的切線；
（2）連接，如圖，設(shè)的半徑為，則，，利用勾股定理得到，解得，然后證明，再利用相似比計(jì)算的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接，如圖，
，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的切線；
（2）解：連接，如圖，
設(shè)的半徑為，則，，
在中，，解得，
在中，，
，
，
，
，即，
．

22．（9分）（2023?鄂爾多斯）某工廠制作，兩種手工藝品，每天每件獲利比多105元，獲利30元的與獲利240元的數(shù)量相等．
（1）制作一件和一件分別獲利多少元？
（2）工廠安排65人制作，兩種手工藝品，每人每天制作2件或1件．現(xiàn)在在不增加工人的情況下，增加制作．已知每人每天可制作1件（每人每天只能制作一種手工藝品），要求每天制作，兩種手工藝品的數(shù)量相等．設(shè)每天安排人制作，人制作，寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在（1）（2）的條件下，每天制作不少于5件．當(dāng)每天制作5件時(shí)，每件獲利不變．若每增加1件，則當(dāng)天平均每件獲利減少2元．已知每件獲利30元，求每天制作三種手工藝品可獲得的總利潤(rùn)（元的最大值及相應(yīng)的值．
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列分式方程即可求出，
（2）、的工藝品數(shù)量相等，由工作效率的關(guān)系可得，生產(chǎn)產(chǎn)品的人數(shù)是產(chǎn)品人數(shù)的2倍，根據(jù)三種工藝品生產(chǎn)人數(shù)的和為65，從而得出與的函數(shù)關(guān)系式，
（3）由于工藝品每件盈利，隨著的變化而變化，得出工藝品的每件盈利與的關(guān)系，再根據(jù)總利潤(rùn)，等于三種工藝品的利潤(rùn)之和，得出與的二次函數(shù)關(guān)系，但，最大值時(shí)，蹦為頂點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)椴粸檎麛?shù)，因此要根據(jù)拋物線的增減性，確定為何整數(shù)時(shí)，最大．
【解答】解：（1）設(shè)制作一件獲利元，則制作一件獲利元，由題意得：
，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，
當(dāng)時(shí)，，
答：制作一件獲利15元，制作一件獲利120元．
（2）設(shè)每天安排人制作，人制作，則人制作，于是有：
，

答：與之間的函數(shù)關(guān)系式為．
（3）由題意得：
，
又
，
，對(duì)稱軸為，而時(shí)，的值不是整數(shù)，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得：
當(dāng)時(shí)，元．
此時(shí)制作產(chǎn)品的13人，產(chǎn)品的26人，產(chǎn)品的26人，獲利最大，最大利潤(rùn)為2198元．
23．（11分）（2023?鄂爾多斯）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】
如圖1，的頂點(diǎn)在正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的兩邊分別與正方形的邊和交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合）．則，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系是　?。?br /> （2）【類比應(yīng)用】
如圖2，若將（1）中的“正方形”改為“的菱形”，其他條件不變，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)猜想結(jié)論并說(shuō)明理由．
（3）【拓展延伸】
如圖3，，，，平分，，且，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．

【分析】（1）如圖1中，結(jié)論：．證明，即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，結(jié)論不成立．．連接，在上截取，連接．首先證明，再利用直角三角形30度角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（3）如圖3中，由可知是鈍角三角形，，作于，設(shè)．構(gòu)建方程求出可得，再利用（2）中結(jié)論即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）如圖1中，結(jié)論：．理由如下：

四邊形是正方形，
，，，
，
，
，
，
．
故答案為．

（2）如圖2中，結(jié)論不成立．．

理由：連接，在上截取，連接．
四邊形是菱形，，
，
，
，，，四點(diǎn)共圓，
，
，
是等邊三角形，
，，
，，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，

（3）如圖3中，由可知是鈍角三角形，，作于，設(shè)．

在中，，
，
，
解得（舍棄）或，
，
，
，，，四點(diǎn)共圓，
平分，
，
，
，
是等邊三角形，
由（2）可知：，
．
24．（12分）（2023?鄂爾多斯）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式．
（2）是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)，求的最大值．
（3）以點(diǎn)為圓心，1為半徑作圓，上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出過(guò)點(diǎn)平行于直線的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，最大，再求出此直線的解析式，即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，先求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出，的長(zhǎng)，再構(gòu)造出相似三角形即可得出結(jié)論；
②當(dāng)時(shí)，利用銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后用對(duì)稱的性質(zhì)得出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，
，
，
拋物線的解析式為；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)作直線，使，過(guò)點(diǎn)作，
當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，最大，等于，
直線的解析式為，
設(shè)直線的解析式為①，
拋物線的解析式為②，
聯(lián)立①②化簡(jiǎn)得，，
△，
，
直線的解析式為，
令，則，
，，
，
在△中，，
．

（3）①當(dāng)時(shí)，如圖2，
是的切線，
半徑為1，，
軸，
，，
，
與是的切線，
，，
，，
在中，，
，
，
，

過(guò)點(diǎn)作軸，
軸，
△，
，
，
，，
，
，，
②當(dāng)時(shí)，如圖3，
，
，
，
在中，，，
，
，
過(guò)點(diǎn)作軸于，
在中，，
設(shè)，則，
根據(jù)勾股定理得，，
，
，，
，，
而點(diǎn)與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
，，
即：滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，或或，或，．





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