?注意事項：
1.本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘。
2.答卷前先將密封線左側(cè)的項目填寫清楚。
3.答案須用黑色字跡的鋼筆、簽字筆或圓珠筆書寫，密封線內(nèi)不得答題。

2023年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學試卷
一、選擇題（本題包括10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確答案，請在答題卡上將代表正確答案的字母用2B鉛筆涂黑）
1．（3分）（2023?通遼）的相反數(shù)是　　
A．2023 B． C． D．
2．（3分）（2023?通遼）的平方根是　　
A． B．4 C． D．2
3．（3分）（2023?通遼）2018年12月，在國家發(fā)展改革委發(fā)布《關(guān)于全力做好2023年春運工作的意見》中預測，2023年春運全國民航旅客發(fā)送量將達到7300萬人次，比上一年增長，其中7300萬用科學記數(shù)法表示為　　
A． B． C． D．
4．（3分）（2023?通遼）下列幾何體是由4個相同的小正方體搭成的，其中左視圖和俯視圖相同的是　　
A． B．
C． D．
5．（3分）（2023?通遼）如圖，直線經(jīng)過點，則不等式的解集為　　

A． B． C． D．
6．（3分）（2023?通遼）一個菱形的邊長是方程的一個根，其中一條對角線長為8，則該菱形的面積為　　
A．48 B．24 C．24或40 D．48或80
7．（3分）（2023?通遼）如圖，等邊三角形內(nèi)接于，若的半徑為2，則圖中陰影部分的面積等于　　

A． B． C． D．
8．（3分）（2023?通遼）現(xiàn)有以下命題：
①斜邊中線和一個銳角分別對應相等的兩個直角三角形全等；
②一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，各組對應點所連接的線段平行且相等；
③通常溫度降到以下，純凈的水會結(jié)冰是隨機事件；
④一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；
⑤在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；
其中真命題的個數(shù)有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
9．（3分）（2023?通遼）關(guān)于、的二元一次方程組的解滿足，則直線與雙曲線在同一平面直角坐標系中大致圖象是　　
A． B．
C． D．
10．（3分）（2023?通遼）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象如圖所示，現(xiàn)給以下結(jié)論：①；
②；
③；
④為實數(shù)）；
⑤．
其中錯誤結(jié)論的個數(shù)有　　

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題（本題包括7小題，每小題3分，共21分，將答案直接填在答題卡對應題的橫線上）
11．（3分）（2023?通遼）如圖，是我市6月份某7天的最高氣溫折線統(tǒng)計圖，則這些最高氣溫的中位數(shù)是　　．

12．（3分）（2023?通遼）某機床生產(chǎn)一種零件，在6月6日至9日這4天中出現(xiàn)次品的數(shù)量如下表：
日期
6月6日
6月7日
6月8日
6月9日
次品數(shù)量（個
1
0
2

若出現(xiàn)次品數(shù)量的唯一眾數(shù)為1，則數(shù)據(jù)1，0，2，的方差等于　　．
13．（3分）（2023?通遼）如圖，在矩形中，，對角線與相交于點，，垂足為點，且平分，則的長為　?。?br />
14．（3分）（2023?通遼）已知三個邊長分別為，，的正方形如圖排列，則圖中陰影部分的面積為　?。?br />
15．（3分）（2023?通遼）腰長為5，高為4的等腰三角形的底邊長為　?。?br /> 16．（3分）（2023?通遼）取5張看上去無差別的卡片，分別在正面寫上數(shù)字1，2，3，4，5，現(xiàn)把它們洗勻正面朝下，隨機擺放在桌面上．從中任意抽出1張，記卡片上的數(shù)字為，則數(shù)字使分式方程無解的概率為　?。?br /> 17．（3分）（2023?通遼）如圖，在邊長為3的菱形中，，是邊上的一點，且，是邊上的一動點，將沿所在直線翻折得到△，連接．則長度的最小值是　　．

三、解答題（本題包括9小題，共69分，每小題分值均在各題號后面標出，請在答題卡上寫出各題解答的文字說明、證明過程或計算步驟）
18．（5分）（2023?通遼）計算：
19．（6分）（2023?通遼）先化簡，再求值．
，請從不等式組的整數(shù)解中選擇一個你喜歡的求值．
20．（5分）（2023?通遼）兩棟居民樓之間的距離，樓和均為10層，每層樓高為．上午某時刻，太陽光線與水平面的夾角為，此刻樓的影子會遮擋到樓的第幾層？（參考數(shù)據(jù)：，

21．（6分）（2023?通遼）有四張反面完全相同的紙牌、、、，其正面分別畫有四個不同的幾何圖形，將四張紙牌洗勻正面朝下隨機放在桌面上．
（1）從四張紙牌中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率是　?。?br /> （2）小明和小亮約定做一個游戲，其規(guī)則為：先由小明隨機摸出一張，不放回．再由小亮從剩下的紙牌中隨機摸出一張，若摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則小亮獲勝，否則小明獲勝．這個游戲公平嗎？請用列表法（或畫樹狀圖）說明理由．（紙牌用、、、表示）若不公平，請你幫忙修改一下游戲規(guī)則，使游戲公平．

22．（9分）（2023?通遼）通遼市某中學為了了解學生“大課間”活動情況，在七、八、九年級的學生中，分別抽取了相同數(shù)量的學生對“你最喜歡的運動項目”進行調(diào)查（每人只能選一項），調(diào)查結(jié)果的部分數(shù)據(jù)如下表（圖所示，其中七年級最喜歡跳繩的人數(shù)比八年級多5人，九年級最喜歡排球的人數(shù)為10人．
七年級學生最喜歡的運動項目人數(shù)統(tǒng)計表
項目
排球
籃球
踢毽
跳繩
其他
人數(shù)（人
7
8
14
　　
6
請根據(jù)以上統(tǒng)計表（圖解答下列問題：
（1）本次調(diào)查共抽取了多少人？
（2）補全統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖．
（3）該校有學生1800人，學校想對“最喜歡踢毽子”的學生每4人提供一個毽子，學?，F(xiàn)有124個毽子，能否夠用？請說明理由．

23．（8分）（2023?通遼）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，連接交于點，延長至點，使，連接．
（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若，，求的長．

24．（9分）（2023?通遼）當今，越來越多的青少年在觀看影片《流浪地球》后，更加喜歡同名科幻小說，該小說銷量也急劇上升．書店為滿足廣大顧客需求，訂購該科幻小說若干本，每本進價為20元．根據(jù)以往經(jīng)驗：當銷售單價是25元時，每天的銷售量是250本；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10本，書店要求每本書的利潤不低于10元且不高于18元．
（1）直接寫出書店銷售該科幻小說時每天的銷售量（本與銷售單價（元之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍．
（2）書店決定每銷售1本該科幻小說，就捐贈元給困難職工，每天扣除捐贈后可獲得最大利潤為1960元，求的值．
25．（9分）（2023?通遼）如圖，點是正方形內(nèi)的一點，連接，將線段繞點順時旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖，延長交直線于點．
①如圖2，求證：；
②如圖3，若為等邊三角形，判斷的形狀，并說明理由．

26．（12分）（2023?通遼）已知，如圖，拋物線的頂點為，經(jīng)過拋物線上的兩點和的直線交拋物線的對稱軸于點．
（1）求拋物線的解析式和直線的解析式．
（2）在拋物線上、兩點之間的部分（不包含、兩點），是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若點在拋物線上，點在軸上，當以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出滿足條件的點的坐標．


2023年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題包括10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確答案，請在答題卡上將代表正確答案的字母用2B鉛筆涂黑）
1．（3分）的相反數(shù)是　　
A．2023 B． C． D．
【分析】直接利用相反數(shù)的定義分析得出答案．
【解答】解：的相反數(shù)是：．
故選：．
2．（3分）的平方根是　　
A． B．4 C． D．2
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的意義，可得16的算術(shù)平方根，再根據(jù)平方根的意義，可得答案．
【解答】解：，，
故選：．
3．（3分）2018年12月，在國家發(fā)展改革委發(fā)布《關(guān)于全力做好2023年春運工作的意見》中預測，2023年春運全國民航旅客發(fā)送量將達到7300萬人次，比上一年增長，其中7300萬用科學記數(shù)法表示為　　
A． B． C． D．
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，是負數(shù)．
【解答】解：其中7300萬用科學記數(shù)法表示為．
故選：．
4．（3分）下列幾何體是由4個相同的小正方體搭成的，其中左視圖和俯視圖相同的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)圖形、找出幾何體的左視圖與俯視圖，判斷即可．
【解答】解：、左視圖第一層兩個小正方形，俯視圖第一層一個小正方形，故不符合題意；
、左視圖和俯視圖相同，故符合題意；
、左視圖第一層兩個小正方形，俯視圖第一層一個小正方形，故不符合題意；
、左視圖是一列兩個小正方形，俯視圖一層三個小正方形，故不符合題意；
故選：．
5．（3分）如圖，直線經(jīng)過點，則不等式的解集為　　

A． B． C． D．
【分析】結(jié)合函數(shù)的圖象利用數(shù)形結(jié)合的方法確定不等式的解集即可．
【解答】解：觀察圖象知：當時，，
故選：．
6．（3分）一個菱形的邊長是方程的一個根，其中一條對角線長為8，則該菱形的面積為　　
A．48 B．24 C．24或40 D．48或80
【分析】利用因式分解法解方程得到，，利用菱形的對角線互相垂直平分和三角形三邊的關(guān)系得到菱形的邊長為5，利用勾股定理計算出菱形的另一條對角線為6，然后計算
菱形的面積．
【解答】解：，
所以，，
菱形一條對角線長為8，
菱形的邊長為5，
菱形的另一條對角線為，
菱形的面積．
故選：．
7．（3分）如圖，等邊三角形內(nèi)接于，若的半徑為2，則圖中陰影部分的面積等于　　

A． B． C． D．
【分析】連接，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得，，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積進行計算．
【解答】解：連接，如圖，
為等邊三角形，
，，
圖中陰影部分的面積．
故選：．

8．（3分）現(xiàn)有以下命題：
①斜邊中線和一個銳角分別對應相等的兩個直角三角形全等；
②一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，各組對應點所連接的線段平行且相等；
③通常溫度降到以下，純凈的水會結(jié)冰是隨機事件；
④一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；
⑤在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；
其中真命題的個數(shù)有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】分別利用全等三角形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、隨機事件等知識分別判斷后即可確定正確的選項．
【解答】解：①斜邊中線和一個銳角分別對應相等的兩個直角三角形全等，正確，是真命題；
②一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，各組對應點所連接的線段平行且相等或在同一直線上，錯誤，是假命題；
③通常溫度降到以下，純凈的水會結(jié)冰是必然事件，故錯誤，是假命題；
④一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故錯誤，是假命題；
⑤在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，正確，是真命題；
真命題有2個，
故選：．
9．（3分）關(guān)于、的二元一次方程組的解滿足，則直線與雙曲線在同一平面直角坐標系中大致圖象是　　
A． B．
C． D．
【分析】關(guān)于、的二元一次方程組的解滿足確定的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)確定圖象即可．
【解答】解：元一次方程組中第二個方程減去第一個方程得：，
關(guān)于、的二元一次方程組的解滿足，
，
，
即：，
經(jīng)過一三四象限，雙曲線的兩個分支位于一三象限，選項符合，
故選：．
10．（3分）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象如圖所示，現(xiàn)給以下結(jié)論：①；
②；
③；
④為實數(shù)）；
⑤．
其中錯誤結(jié)論的個數(shù)有　　

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】由拋物線的開口方向判斷與0的關(guān)系，由拋物線與軸的交點判斷與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．
【解答】解：①由拋物線可知：，，
對稱軸，
，
，故①正確；

②由對稱軸可知：，
，
時，，
，
，故②正確；

③關(guān)于的對稱點為，
時，，故③正確；
④當時，的最小值為，
時，，
，
即，故④錯誤；

⑤拋物線與軸有兩個交點，
△，
即，
，故⑤正確；
故選：．

二、填空題（本題包括7小題，每小題3分，共21分，將答案直接填在答題卡對應題的橫線上）
11．（3分）如圖，是我市6月份某7天的最高氣溫折線統(tǒng)計圖，則這些最高氣溫的中位數(shù)是　27?。?br />
【分析】先找出這7天的最高氣溫，然后根據(jù)中位數(shù)的概念求解．
【解答】解：根據(jù)7天的最高氣溫折線統(tǒng)計圖，將這7天的最高氣溫按大小排列為：24，25，26，27，28，28，29，故中位數(shù)為，
故答案為27．
12．（3分）某機床生產(chǎn)一種零件，在6月6日至9日這4天中出現(xiàn)次品的數(shù)量如下表：
日期
6月6日
6月7日
6月8日
6月9日
次品數(shù)量（個
1
0
2

若出現(xiàn)次品數(shù)量的唯一眾數(shù)為1，則數(shù)據(jù)1，0，2，的方差等于　?。?br /> 【分析】求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找出頻數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，若幾個數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時眾數(shù)就是這多個數(shù)據(jù)．一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差．
【解答】解：出現(xiàn)次品數(shù)量的唯一眾數(shù)為1，
，
，
，
故答案為．
13．（3分）如圖，在矩形中，，對角線與相交于點，，垂足為點，且平分，則的長為　　．

【分析】由矩形的性質(zhì)可得，可證，可得，由勾股定理可求的長．
【解答】解：四邊形是矩形
，
平分
，且，，

，且
，
，
，
，

故答案為：．
14．（3分）已知三個邊長分別為，，的正方形如圖排列，則圖中陰影部分的面積為　?。?br />
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面積公式計算即可．
【解答】解：對角線所分得的三個三角形相似，
根據(jù)相似的性質(zhì)可知，
解得，
即陰影梯形的上底就是．
再根據(jù)相似的性質(zhì)可知，
解得：，
所以梯形的下底就是，
所以陰影梯形的面積是．
故答案為：．

15．（3分）腰長為5，高為4的等腰三角形的底邊長為　6或或?。?br /> 【分析】根據(jù)不同邊上的高為4分類討論即可得到本題的答案．
【解答】解：①如圖1
當，，
則，
底邊長為6；
②如圖2．
當，時，
則，
，
，
此時底邊長為；
③如圖
當，時，
則，
，
，
此時底邊長為．
故答案為：6或或．



16．（3分）取5張看上去無差別的卡片，分別在正面寫上數(shù)字1，2，3，4，5，現(xiàn)把它們洗勻正面朝下，隨機擺放在桌面上．從中任意抽出1張，記卡片上的數(shù)字為，則數(shù)字使分式方程無解的概率為　　．
【分析】由分式方程，得或時，分式方程無解，時，，時，，所以在1，2，3，4，5取一個數(shù)字使分式方程無解的概率為．
【解答】解：由分式方程，得

或時，分式方程無解，
時，，
時，，
所以在1，2，3，4，5取一個數(shù)字使分式方程無解的概率為．
17．（3分）如圖，在邊長為3的菱形中，，是邊上的一點，且，是邊上的一動點，將沿所在直線翻折得到△，連接．則長度的最小值是　?。?br />
【分析】過點作，由勾股定理可求的長，由題意可得點在以為圓心，為半徑的圓上，則當點在線段上時，長度有最小值．
【解答】解：過點作交延長線于點，連接，

，
，
，

，


將沿所在直線翻折得到△，
，
點在以為圓心，為半徑的圓上，
當點在線段上時，長度有最小值
長度的最小值
故答案為：
三、解答題（本題包括9小題，共69分，每小題分值均在各題號后面標出，請在答題卡上寫出各題解答的文字說明、證明過程或計算步驟）
18．（5分）計算：
【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及負指數(shù)冪的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案．
【解答】解：原式

．
19．（6分）先化簡，再求值．
，請從不等式組的整數(shù)解中選擇一個你喜歡的求值．
【分析】根據(jù)分式的除法和加法可以化簡題目中的式子，然后由不等式組，可以求得的取值范圍，再從中選取一個使得原分式有意義的整數(shù)代入化簡后的式子即可解答本題．
【解答】解：



，
由不等式組，得，
當時，原式．
20．（5分）兩棟居民樓之間的距離，樓和均為10層，每層樓高為．上午某時刻，太陽光線與水平面的夾角為，此刻樓的影子會遮擋到樓的第幾層？（參考數(shù)據(jù)：，

【分析】設太陽光線交于點，過作于，解，求出，那么，由，可得此刻樓的影子會遮擋到樓的第5層．
【解答】解：設太陽光線交于點，過作于，

由題意知，，，，
在中，，
，
，
，所以在四層的上面，即第五層，
答：此刻樓的影子會遮擋到樓的第5層．
21．（6分）有四張反面完全相同的紙牌、、、，其正面分別畫有四個不同的幾何圖形，將四張紙牌洗勻正面朝下隨機放在桌面上．
（1）從四張紙牌中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率是　?。?br /> （2）小明和小亮約定做一個游戲，其規(guī)則為：先由小明隨機摸出一張，不放回．再由小亮從剩下的紙牌中隨機摸出一張，若摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則小亮獲勝，否則小明獲勝．這個游戲公平嗎？請用列表法（或畫樹狀圖）說明理由．（紙牌用、、、表示）若不公平，請你幫忙修改一下游戲規(guī)則，使游戲公平．

【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計算即可．
（2）首先列表列出可能的情況，摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的結(jié)果有2種，由概率公式得出概率；得出游戲不公平；關(guān)鍵概率相等修改即可．
【解答】解：（1）共有4張牌，正面是中心對稱圖形的情況有3種，
從四張紙牌中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率是；
故答案為：；
（2）游戲不公平，理由如下：
列表得：

























共有12種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的結(jié)果有2種，即，，
（兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形），
游戲不公平．
修改規(guī)則：若抽到的兩張牌面圖形都是中心對稱圖形（或若抽到的兩張牌面圖形都是軸對稱圖形），則小明獲勝，否則小亮獲勝．
22．（9分）通遼市某中學為了了解學生“大課間”活動情況，在七、八、九年級的學生中，分別抽取了相同數(shù)量的學生對“你最喜歡的運動項目”進行調(diào)查（每人只能選一項），調(diào)查結(jié)果的部分數(shù)據(jù)如下表（圖所示，其中七年級最喜歡跳繩的人數(shù)比八年級多5人，九年級最喜歡排球的人數(shù)為10人．
七年級學生最喜歡的運動項目人數(shù)統(tǒng)計表
項目
排球
籃球
踢毽
跳繩
其他
人數(shù)（人
7
8
14
　15　
6
請根據(jù)以上統(tǒng)計表（圖解答下列問題：
（1）本次調(diào)查共抽取了多少人？
（2）補全統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖．
（3）該校有學生1800人，學校想對“最喜歡踢毽子”的學生每4人提供一個毽子，學?，F(xiàn)有124個毽子，能否夠用？請說明理由．

【分析】（1）從九年級最喜歡運動的項目統(tǒng)計圖中得知，九年級最喜歡排球的人數(shù)占總數(shù)的百分數(shù)，又知九年級最喜歡排球的人數(shù)為10人，所以求出九年級最喜歡運動的人數(shù)，再由七、八、九年級的學生中，分別抽取相同數(shù)量的學生，得出本次調(diào)查共抽取的學生數(shù)；
（2）先根據(jù)（1）得七年級最喜歡跳繩的人數(shù)，從而能求出八、九年級最喜歡跳繩的人數(shù)，然后求出最喜歡跳繩的學生數(shù)，補全統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖即可；
（3）根據(jù)題意列式計算即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）從九年級最喜歡運動的項目統(tǒng)計圖中得知，九年級最喜歡排球的人數(shù)占總數(shù)的百分比為：，
又知九年級最喜歡排球的人數(shù)為10人，
九年級最喜歡運動的人數(shù)有（人，
本次調(diào)查抽取的學生數(shù)為：（人．

（2）根據(jù)（1）得七年級最喜歡跳繩的人數(shù)有人，
那么八年級最喜歡跳繩的人數(shù)有人，
最喜歡踢毽的學生有人，
九年級最喜歡排球的人數(shù)占全年級的百分比，
補全統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖如圖所示；

七年級學生最喜歡的運動項目人數(shù)統(tǒng)計表
項目
排球
籃球
踢毽
跳繩
其他
人數(shù)（人
7
8
14
15
6

（3）不夠用，理由：，
，
不夠用．
故答案為：15．
23．（8分）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，連接交于點，延長至點，使，連接．
（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若，，求的長．

【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，得到，等量代換得到，求得，于是得到結(jié)論；
（2）過點作，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，設，則，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）直線是的切線，理由是：連接，
為直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又點在上，
直線是的切線；

（2）過點作，
，
，
，
設，則，
在中，根據(jù)勾股定理，，
，
解得，
，
，
．

24．（9分）當今，越來越多的青少年在觀看影片《流浪地球》后，更加喜歡同名科幻小說，該小說銷量也急劇上升．書店為滿足廣大顧客需求，訂購該科幻小說若干本，每本進價為20元．根據(jù)以往經(jīng)驗：當銷售單價是25元時，每天的銷售量是250本；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10本，書店要求每本書的利潤不低于10元且不高于18元．
（1）直接寫出書店銷售該科幻小說時每天的銷售量（本與銷售單價（元之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍．
（2）書店決定每銷售1本該科幻小說，就捐贈元給困難職工，每天扣除捐贈后可獲得最大利潤為1960元，求的值．
【分析】（1）根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）設每天扣除捐贈后可獲得利潤為元．根據(jù)題意得到求得對稱軸為，若，則，則當時，取得最大值，解方程得到，，于是得到．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得，；
（2）設每天扣除捐贈后可獲得利潤為元．

對稱軸為，且，則，
則當時，取得最大值，

，（不合題意舍去），
．
25．（9分）如圖，點是正方形內(nèi)的一點，連接，將線段繞點順時旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖，延長交直線于點．
①如圖2，求證：；
②如圖3，若為等邊三角形，判斷的形狀，并說明理由．

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，得到；
（2）①根據(jù)全等的性質(zhì)和對頂角相等即可得到答案；
②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出，，判斷的形狀．
【解答】（1）證明：，，
，
在和中，
，
；

（2）①如圖，，
，又，
，
；

②為等邊三角形，
，
，又，
，又，，
，
同理：，
為等腰直角三角形．

26．（12分）已知，如圖，拋物線的頂點為，經(jīng)過拋物線上的兩點和的直線交拋物線的對稱軸于點．
（1）求拋物線的解析式和直線的解析式．
（2）在拋物線上、兩點之間的部分（不包含、兩點），是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若點在拋物線上，點在軸上，當以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出滿足條件的點的坐標．

【分析】（1）二次函數(shù)表達式為：，即可求解；
（2），則，即可求解；
（3）分是平行四邊形的一條邊、是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．
【解答】解：（1）二次函數(shù)表達式為：，
將點的坐標代入上式并解得：，
故拋物線的表達式為：①，
則點，
將點、的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：
直線的表達式為：；
（2）存在，理由：
二次函數(shù)對稱軸為：，則點，
過點作軸的平行線交于點，

設點，點，
，
則，
解得：或5（舍去，
故點；
（3）設點、點，，
①當是平行四邊形的一條邊時，
點向左平移4個單位向下平移16個單位得到，
同理，點向左平移4個單位向下平移16個單位為，即為點，
即：，，而，
解得：或，
故點或；
②當是平行四邊形的對角線時，
由中點公式得：，，而，
解得：，
故點，或，；
綜上，點或或，或，．



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