?注意事項(xiàng)：
1.本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。
2.答卷前先將密封線左側(cè)的項(xiàng)目填寫清楚。
3.答案須用黑色字跡的鋼筆、簽字筆或圓珠筆書寫，密封線內(nèi)不得答題。

2023年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)試卷（A卷）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題4分，共48分.
1．（4分）（2023?蘭州）的相反數(shù)是　　
A． B．2023 C． D．
2．（4分）（2023?蘭州）如圖，直線，被直線所截，，，則　　

A． B． C． D．
3．（4分）（2023?蘭州）計(jì)算：　　
A． B． C．3 D．
4．（4分）（2023?蘭州）剪紙是中國(guó)特有的民間藝術(shù)，在如圖所示的四個(gè)剪紙圖案中，既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
5．（4分）（2023?蘭州）是關(guān)于的一元二次方程的解，則　　
A． B． C． D．
6．（4分）（2023?蘭州）如圖，四邊形內(nèi)接于，若，則　　

A． B． C． D．
7．（4分）（2023?蘭州）化簡(jiǎn)：　　
A． B． C． D．
8．（4分）（2023?蘭州）已知△，，，則　　
A．2 B． C．3 D．
9．（4分）（2023?蘭州）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作之一，書中有這樣的一個(gè)問(wèn)題：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕輕，互換一只，恰好一樣重．問(wèn)：每只雀、燕的重量各為多少？設(shè)一只雀的重量為斤，一只燕的重量為斤，則可列方程組為　　
A． B．
C． D．
10．（4分）（2023?蘭州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將四邊形先向下平移，再向右平移得到四邊形，已知，，，則的坐標(biāo)為　　

A． B． C． D．
11．（4分）（2023?蘭州）已知點(diǎn)，在拋物線上，則下列結(jié)論正確的是　　
A． B． C． D．
12．（4分）（2023?蘭州）如圖，邊長(zhǎng)為的正方形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，將正方形沿直線折疊，點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)，則　　

A． B． C． D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.
13．（4分）（2023?蘭州）因式分解：　 ?。?br /> 14．（4分）（2023?蘭州）在中，，，則　?。?br /> 15．（4分）（2023?蘭州）如圖，矩形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，則　?。?br />
16．（4分）（2023?蘭州）如圖，矩形，，以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧分別交，于點(diǎn)，兩點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)作半徑作弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，若，則矩形的面積等于　?。?br />
三、解答題：本大題共12小題，共86分.
17．（5分）（2023?蘭州）計(jì)算：．
18．（5分）（2023?蘭州）化簡(jiǎn)：．
19．（5分）（2023?蘭州）解不等式組：．
20．（6分）（2023?蘭州）如圖，，，，求證：．

21．（6分）（2023?蘭州）2023年5月，以“尋根國(guó)學(xué)，傳承文明”為主題的蘭州市第三屆“國(guó)學(xué)少年強(qiáng)國(guó)學(xué)知識(shí)挑戰(zhàn)賽”總決賽拉開序幕．小明晉級(jí)了總決賽，比賽過(guò)程分兩個(gè)環(huán)節(jié)，參賽選手須在每個(gè)環(huán)節(jié)中各選一道題目．
第一環(huán)節(jié)：寫字注音、成語(yǔ)故事、國(guó)學(xué)常識(shí)、成語(yǔ)接龍（分別用，，，表示）；
第二環(huán)節(jié)：成語(yǔ)聽寫、詩(shī)詞對(duì)句、經(jīng)典誦讀（分別用，，表示）．
（1）請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法表示小明參加總決賽抽取題目的所有可能結(jié)果；
（2）求小明參加總決賽抽取題目是成語(yǔ)題目（成語(yǔ)故事、成語(yǔ)接龍、成語(yǔ)聽寫）的概率．
22．（7分）（2023?蘭州）如圖，，分別以、為圓心，以長(zhǎng)度5為半徑作弧，兩條弧分別相交于點(diǎn)和．依次連接、、、，連接交于點(diǎn)．
（1）判斷四邊形的形狀并說(shuō)明理由；
（2）求的長(zhǎng)．

23．（7分）（2023?蘭州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)等邊三角形的頂點(diǎn)，，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，連接，．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若四邊形的面積是，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

24．（7分）（2023?蘭州）為了解某校八年級(jí)學(xué)生一門課程的學(xué)習(xí)情況，小佳和小麗分別對(duì)八年級(jí)1班和2班本門課程的期末成績(jī)進(jìn)行了調(diào)查分析．
小佳對(duì)八年級(jí)1班全班學(xué)生名）的成績(jī)進(jìn)行分析，過(guò)程如下：
收集、整理數(shù)據(jù)：
表一
分?jǐn)?shù)段
班級(jí)




八年級(jí)1班
7
5
10
3
分析數(shù)據(jù)：
表二
統(tǒng)計(jì)量
班級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
極差
方差
八年級(jí)1班
78
　　
85
36
105.28
小麗用同樣的方法對(duì)八年級(jí)2班全班學(xué)生名）的成績(jī)進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)如下：
表三
統(tǒng)計(jì)量
班級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
極差
方差
八年級(jí)2班
75
76
73
44
146.80
根據(jù)以上信息，解決下列問(wèn)題：
（1）已知八年級(jí)1班學(xué)生的成績(jī)?cè)谶@一組的數(shù)據(jù)如下：
85，87，88，80，82，85，83，85，87，85
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，將表二補(bǔ)充完整；
（2）你認(rèn)為哪個(gè)班級(jí)的成績(jī)更為優(yōu)異？請(qǐng)說(shuō)明理由．
25．（7分）（2023?蘭州）某數(shù)學(xué)課題研究小組針對(duì)蘭州市住房窗戶“如何設(shè)計(jì)遮陽(yáng)蓬”這一課題進(jìn)行了探究，過(guò)程如下：
問(wèn)題提出：
如圖1是某住戶窗戶上方安裝的遮陽(yáng)蓬，要求設(shè)計(jì)的遮陽(yáng)蓬能最大限度地遮住夏天炎熱的陽(yáng)光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽(yáng)光射入室內(nèi)．

方案設(shè)計(jì)：
如圖2，該數(shù)學(xué)課題研究小組通過(guò)調(diào)查研究設(shè)計(jì)了垂直于墻面的遮陽(yáng)蓬．
數(shù)據(jù)收集：
通過(guò)查閱相關(guān)資料和實(shí)際測(cè)量：蘭州市一年中，夏至日這一天的正午時(shí)刻太陽(yáng)光線與遮陽(yáng)蓬的夾角最大；冬至日這一天的正午時(shí)刻，太陽(yáng)光線與遮陽(yáng)蓬的夾角最小．窗戶的高度．
問(wèn)題解決：
根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，求遮陽(yáng)蓬的長(zhǎng)．
（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，
26．（9分）（2023?蘭州）如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，角的兩邊分別交直線于、兩點(diǎn)，設(shè)、兩點(diǎn)間的距離為，，兩點(diǎn)間的距離為．
小濤根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)隨自變量的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．
下面是小濤的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
（1）列表：下表的已知數(shù)據(jù)是，兩點(diǎn)間的距離進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，分別得到了與的幾組對(duì)應(yīng)值：

0
0.30
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50

3.00
3.50
3.68
3.81
3.90
3.93
4.10

　　
2.88
2.81
2.69
2.67
2.80
3.15
　　
3.85
5.24
6.01
6.71
7.27
7.44
8.87
請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，補(bǔ)全表格；
（2）描點(diǎn)、連線，在平面直角坐標(biāo)系中，描出表格中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并畫出函數(shù)關(guān)于的圖象．

（3）探究性質(zhì)：隨著自變量的不斷增大，函數(shù)的變化趨勢(shì)：　　．
（4）解決問(wèn)題：當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度大約是　　．（保留兩位小數(shù)）．

27．（10分）（2023?蘭州）通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決問(wèn)題．
【模型呈現(xiàn)】
如圖，在，，將斜邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可以推理得到，進(jìn)而得到，．
我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型成為“型”．
推理過(guò)程如下：

【模型應(yīng)用】
如圖，在內(nèi)接于，，，將斜邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，連接交于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線；
（2）連接交于點(diǎn)，連接．求證：．
28．（12分）（2023?蘭州）通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決問(wèn)題．
【模型呈現(xiàn)】
如圖，在，，將斜邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可以推理得到，進(jìn)而得到，．
我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型成為“型”．
推理過(guò)程如下：

【模型遷移】
二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接，當(dāng)時(shí)，求的面積；
（3）在直線上存在一點(diǎn)，當(dāng)是以為直角的等腰直角三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）當(dāng)時(shí)，在直線上存在一點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

2023年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)試卷（A卷）
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共12小題，每小題4分，共48分.
1．（4分）的相反數(shù)是　　
A． B．2023 C． D．
【考點(diǎn)】14：相反數(shù)
【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念求解可得．
【解答】解：的相反數(shù)為2023，
故選：．
2．（4分）如圖，直線，被直線所截，，，則　　

A． B． C． D．
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)
【分析】先利用對(duì)頂角相等得到，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用可計(jì)算出的度數(shù)．
【解答】解：如圖，，
，
，
，
．
故選：．

3．（4分）計(jì)算：　　
A． B． C．3 D．
【考點(diǎn)】二次根式的加減法
【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式即可得．
【解答】解：，
故選：．
4．（4分）剪紙是中國(guó)特有的民間藝術(shù)，在如圖所示的四個(gè)剪紙圖案中，既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義沿一條直線對(duì)折后，直線兩旁部分完全重合的圖形是軸對(duì)稱圖形，以及中心對(duì)稱圖形的定義分別判斷即可得出答案．
【解答】解：、此圖形沿一條直線對(duì)折后不能夠完全重合，此圖形不是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、此圖形沿一條直線對(duì)折后能夠完全重合，此圖形不是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
、此圖形沿一條直線對(duì)折后能夠完全重合，此圖形是軸對(duì)稱圖形，旋轉(zhuǎn)能與原圖形重合，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；
、此圖形沿一條直線對(duì)折后能夠完全重合，旋轉(zhuǎn)不能與原圖形重合，此圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
5．（4分）是關(guān)于的一元二次方程的解，則　　
A． B． C． D．
【考點(diǎn)】一元二次方程的解
【分析】先把代入方程得，然后利用整體代入的方法計(jì)算的值．
【解答】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故選：．
6．（4分）如圖，四邊形內(nèi)接于，若，則　　

A． B． C． D．
【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
【分析】直接利用圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)計(jì)算的度數(shù)．
【解答】解：四邊形內(nèi)接于，
，
．
故選：．
7．（4分）化簡(jiǎn)：　　
A． B． C． D．
【考點(diǎn)】分式的加減法
【分析】先根據(jù)法則計(jì)算，再因式分解、約分即可得．
【解答】解：原式

，
故選：．
8．（4分）已知△，，，則　　
A．2 B． C．3 D．
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)
【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)求解．
【解答】解：△，
．
故選：．
9．（4分）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作之一，書中有這樣的一個(gè)問(wèn)題：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕輕，互換一只，恰好一樣重．問(wèn)：每只雀、燕的重量各為多少？設(shè)一只雀的重量為斤，一只燕的重量為斤，則可列方程組為　　
A． B．
C． D．
【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組
【分析】根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題．
【解答】解：由題意可得，
，
故選：．
10．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將四邊形先向下平移，再向右平移得到四邊形，已知，，，則的坐標(biāo)為　　

A． B． C． D．
【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化平移
【分析】根據(jù)和的坐標(biāo)得出四邊形先向下平移2個(gè)單位，再向右平移6個(gè)單位得到四邊形，則的平移方法與點(diǎn)相同，即可得到答案．
【解答】解：由，可知四邊形先向下平移2個(gè)單位，再向右平移6個(gè)單位得到四邊形，
，
的坐標(biāo)為，
故選：．
11．（4分）已知點(diǎn)，在拋物線上，則下列結(jié)論正確的是　　
A． B． C． D．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【分析】分別計(jì)算自變量為1和2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以．
故選：．
12．（4分）如圖，邊長(zhǎng)為的正方形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，將正方形沿直線折疊，點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)，則　　

A． B． C． D．
【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，，求得，得到，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：四邊形是正方形，
，，，
，
，
將正方形沿直線折疊，點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，
，，
，，
，
在與中，，
，
，
故選：．
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.
13．（4分）因式分解：　?。?br /> 【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用
【分析】先提取公因式，再對(duì)余下的項(xiàng)利用完全平方公式繼續(xù)分解因式．完全平方公式：．
【解答】解：，
，（提取公因式）
．（完全平方公式）
故答案為：．
14．（4分）在中，，，則　70?。?br /> 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算的度數(shù)．
【解答】解：，
，
，
．
故答案為70．
15．（4分）如圖，矩形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，則　6?。?br />
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；反比例函數(shù)的性質(zhì)
【分析】因?yàn)檫^(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引軸、軸垂線，所得矩形面積是個(gè)定值，即．
【解答】解：根據(jù)題意，知，，
又因?yàn)榉幢壤瘮?shù)位于第一象限，，
所以，
故答案為6．
16．（4分）如圖，矩形，，以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧分別交，于點(diǎn)，兩點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)作半徑作弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，若，則矩形的面積等于　　．

【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，求得，由作圖知，是的平分線，得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，過(guò)作于，求得，求得，解直角三角形得到，，于是得到結(jié)論．
【解答】解：四邊形是矩形，
，
，
，
由作圖知，是的平分線，
，
，
，
過(guò)作于，
，
，
，，
矩形的面積，
故答案為：．
三、解答題：本大題共12小題，共86分.
17．（5分）計(jì)算：．
【考點(diǎn)】零指數(shù)冪；實(shí)數(shù)的運(yùn)算；特殊角的三角函數(shù)值
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得．
【解答】解：原式．
18．（5分）化簡(jiǎn)：．
【考點(diǎn)】單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；平方差公式
【分析】先去括號(hào)，再注意到可以利用平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后合并同類項(xiàng)即可
【解答】解：
原式


19．（5分）解不等式組：．
【考點(diǎn)】解一元一次不等式組
【分析】先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集即可．
【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以，不等式組的解集為．
20．（6分）如圖，，，，求證：．

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)
【分析】要證明，只要證明即可，要證明，只要證明即可，根據(jù)題目中的條件可以證明，本題得以解決．
【解答】證明：，
，
，
在和中，
，
，
，
．
21．（6分）2023年5月，以“尋根國(guó)學(xué)，傳承文明”為主題的蘭州市第三屆“國(guó)學(xué)少年強(qiáng)國(guó)學(xué)知識(shí)挑戰(zhàn)賽”總決賽拉開序幕．小明晉級(jí)了總決賽，比賽過(guò)程分兩個(gè)環(huán)節(jié)，參賽選手須在每個(gè)環(huán)節(jié)中各選一道題目．
第一環(huán)節(jié)：寫字注音、成語(yǔ)故事、國(guó)學(xué)常識(shí)、成語(yǔ)接龍（分別用，，，表示）；
第二環(huán)節(jié)：成語(yǔ)聽寫、詩(shī)詞對(duì)句、經(jīng)典誦讀（分別用，，表示）．
（1）請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法表示小明參加總決賽抽取題目的所有可能結(jié)果；
（2）求小明參加總決賽抽取題目是成語(yǔ)題目（成語(yǔ)故事、成語(yǔ)接龍、成語(yǔ)聽寫）的概率．
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法
【分析】（1）利用畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)；
（2）找出小明參加總決賽抽取題目是成語(yǔ)題目的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)；
（2）小明參加總決賽抽取題目是成語(yǔ)題目的結(jié)果數(shù)為2，
所以小明參加總決賽抽取題目是成語(yǔ)題目（成語(yǔ)故事、成語(yǔ)接龍、成語(yǔ)聽寫）的概率．
22．（7分）如圖，，分別以、為圓心，以長(zhǎng)度5為半徑作弧，兩條弧分別相交于點(diǎn)和．依次連接、、、，連接交于點(diǎn)．
（1）判斷四邊形的形狀并說(shuō)明理由；
（2）求的長(zhǎng)．

【考點(diǎn)】菱形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)
【分析】（1）利用作法得到四邊相等，從而可判斷四邊形為菱形；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得，，，然后利用勾股定理計(jì)算出，從而得到的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）四邊形為菱形；
由作法得，
所以四邊形為菱形；
（2）四邊形為菱形，
，，，
在中，，
．
23．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)等邊三角形的頂點(diǎn)，，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，連接，．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若四邊形的面積是，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義；反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【分析】（1）作于，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求得，，進(jìn)而求得三角形的面積，根據(jù)系數(shù)的幾何意義即可求得，從而求得反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求得三角形的面積，即可求得的縱坐標(biāo)，代入解析式求得橫坐標(biāo)，得出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）作于，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
反比例函數(shù)的圖象在一三象限，
，
反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
（2），
，
，
，
把代入，求得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

24．（7分）為了解某校八年級(jí)學(xué)生一門課程的學(xué)習(xí)情況，小佳和小麗分別對(duì)八年級(jí)1班和2班本門課程的期末成績(jī)進(jìn)行了調(diào)查分析．
小佳對(duì)八年級(jí)1班全班學(xué)生名）的成績(jī)進(jìn)行分析，過(guò)程如下：
收集、整理數(shù)據(jù)：
表一
分?jǐn)?shù)段
班級(jí)




八年級(jí)1班
7
5
10
3
分析數(shù)據(jù)：
表二
統(tǒng)計(jì)量
班級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
極差
方差
八年級(jí)1班
78
　80　
85
36
105.28
小麗用同樣的方法對(duì)八年級(jí)2班全班學(xué)生名）的成績(jī)進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)如下：
表三
統(tǒng)計(jì)量
班級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
極差
方差
八年級(jí)2班
75
76
73
44
146.80
根據(jù)以上信息，解決下列問(wèn)題：
（1）已知八年級(jí)1班學(xué)生的成績(jī)?cè)谶@一組的數(shù)據(jù)如下：
85，87，88，80，82，85，83，85，87，85
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，將表二補(bǔ)充完整；
（2）你認(rèn)為哪個(gè)班級(jí)的成績(jī)更為優(yōu)異？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】中位數(shù)；算術(shù)平均數(shù)；方差；極差；頻數(shù)（率分布表；眾數(shù)
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義找出第13個(gè)數(shù)，然后確定這一組中最小的數(shù)即可；
（2）從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差的意義可判斷八年級(jí)1班學(xué)生的成績(jī)更為優(yōu)異．
【解答】解：（1）共有25個(gè)數(shù)據(jù)，第13個(gè)數(shù)落在這一組中，此組最小的數(shù)為第13個(gè)數(shù)，
所以八年級(jí)1班學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)為80；
故答案為80；
（2）八年級(jí)1班學(xué)生的成績(jī)更為優(yōu)異．
理由如下：八年級(jí)1班學(xué)生的成績(jī)的平均數(shù)比2班高，1班的中位數(shù)比2班的中位數(shù)大，并且1班的眾數(shù)為85，比2班的眾數(shù)大，1班的方差比2班小，比較穩(wěn)定．
25．（7分）某數(shù)學(xué)課題研究小組針對(duì)蘭州市住房窗戶“如何設(shè)計(jì)遮陽(yáng)蓬”這一課題進(jìn)行了探究，過(guò)程如下：
問(wèn)題提出：
如圖1是某住戶窗戶上方安裝的遮陽(yáng)蓬，要求設(shè)計(jì)的遮陽(yáng)蓬能最大限度地遮住夏天炎熱的陽(yáng)光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽(yáng)光射入室內(nèi)．

方案設(shè)計(jì)：
如圖2，該數(shù)學(xué)課題研究小組通過(guò)調(diào)查研究設(shè)計(jì)了垂直于墻面的遮陽(yáng)蓬．
數(shù)據(jù)收集：
通過(guò)查閱相關(guān)資料和實(shí)際測(cè)量：蘭州市一年中，夏至日這一天的正午時(shí)刻太陽(yáng)光線與遮陽(yáng)蓬的夾角最大；冬至日這一天的正午時(shí)刻，太陽(yáng)光線與遮陽(yáng)蓬的夾角最?。皯舻母叨龋?br /> 問(wèn)題解決：
根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，求遮陽(yáng)蓬的長(zhǎng)．
（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用
【分析】根據(jù)正切的定義分別用表示出、，根據(jù)題意列式計(jì)算即可．
【解答】解：在中，，
則，
在中，，
則，
由題意得，，即，
解得，，
答：遮陽(yáng)蓬的長(zhǎng)約為．
26．（9分）如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，角的兩邊分別交直線于、兩點(diǎn)，設(shè)、兩點(diǎn)間的距離為，，兩點(diǎn)間的距離為．
小濤根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)隨自變量的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．
下面是小濤的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
（1）列表：下表的已知數(shù)據(jù)是，兩點(diǎn)間的距離進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，分別得到了與的幾組對(duì)應(yīng)值：

0
0.30
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50

3.00
3.50
3.68
3.81
3.90
3.93
4.10

　3　
2.88
2.81
2.69
2.67
2.80
3.15
　　
3.85
5.24
6.01
6.71
7.27
7.44
8.87
請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，補(bǔ)全表格；
（2）描點(diǎn)、連線，在平面直角坐標(biāo)系中，描出表格中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并畫出函數(shù)關(guān)于的圖象．

（3）探究性質(zhì)：隨著自變量的不斷增大，函數(shù)的變化趨勢(shì)：　?。?br /> （4）解決問(wèn)題：當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度大約是　　．（保留兩位小數(shù)）．

【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象
【分析】（1）①當(dāng)時(shí)，則；②，則，即可求解；
（2）描點(diǎn)出如下圖象，從圖象可以看出：隨著自變量的不斷增大，函數(shù)的變化趨勢(shì)；
（3），即，在上圖中作直線，即可求解．
【解答】解：（1）①當(dāng)時(shí)，
連接，則，，

，則，
則；
②，
在中，，，
，，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

則，則，
，
則，
故，
則；
故：答案為3，；
（2）描點(diǎn)出如下圖象，

從圖象可以看出：時(shí)，隨最大而減小，
當(dāng)時(shí)，隨最大而增大；
（3），即，
在上圖中作直線，
直線與曲線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：2.68和7.45，
故答案為：2.68或7.45．
27．（10分）通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決問(wèn)題．
【模型呈現(xiàn)】
如圖，在，，將斜邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可以推理得到，進(jìn)而得到，．
我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型成為“型”．
推理過(guò)程如下：

【模型應(yīng)用】
如圖，在內(nèi)接于，，，將斜邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，連接交于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線；
（2）連接交于點(diǎn)，連接．求證：．
【考點(diǎn)】：圓的綜合題
【分析】（1）因?yàn)橹苯侨切蔚耐庑臑樾边呏悬c(diǎn)，所以點(diǎn)在上，為直徑，故只需證即可．由和可證得，而、、在同一直線上，用減去即為，得證．
（2）依題意畫出圖形，由要證的結(jié)論聯(lián)想到對(duì)應(yīng)邊成比例，所以需證．其中為公共角，即需證．為圓周角，所對(duì)的弧為弧，故連接后有，問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為證．把延長(zhǎng)交于點(diǎn)后，有，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證．只要，由等腰三角形三線合一即有，故問(wèn)題繼續(xù)轉(zhuǎn)化為證．聯(lián)系【模型呈現(xiàn)】發(fā)現(xiàn)能證，得到，，即能求．又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，可得到，再加上第（1）題證得，可得，所以，，得證．
【解答】證明：（1）為的外接圓
為斜邊中點(diǎn)，為直徑






是的切線

（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接
于點(diǎn)

繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到

在與中


，

為中點(diǎn)






，即

平分，即
，






28．（12分）通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決問(wèn)題．
【模型呈現(xiàn)】
如圖，在，，將斜邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可以推理得到，進(jìn)而得到，．
我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型成為“型”．
推理過(guò)程如下：

【模型遷移】
二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接，當(dāng)時(shí)，求的面積；
（3）在直線上存在一點(diǎn)，當(dāng)是以為直角的等腰直角三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）當(dāng)時(shí)，在直線上存在一點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題
【分析】（1）將點(diǎn)，代入即可；
（2）由已知分別求出，，，根據(jù)的面積的面積的面積即可求解；
（3）由已知可得，設(shè)，根據(jù)勾股定理可得，，再由，得到與的關(guān)系式：，因?yàn)椋瑒t有求出或，即可求點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）當(dāng)時(shí)，，，可知點(diǎn)在拋物線對(duì)稱性上；過(guò)點(diǎn)作的垂線，以為圓心為直徑構(gòu)造圓，圓與的交點(diǎn)分別為與，由，可得圓半徑，即可求點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．
【解答】解：（1）將點(diǎn)，代入，
，，
；
（2），
的直線解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，，，
的面積的面積的面積；
（3），
，
設(shè)，
，，
，
，
，
，
，

或，
或，
或；
（4）當(dāng)時(shí)，，，
點(diǎn)在拋物線對(duì)稱性上，
如圖：過(guò)點(diǎn)作的垂線，以為圓心為直徑構(gòu)造圓，圓與的交點(diǎn)分別為與，
，
，
，，
，
又，
，，
與關(guān)于軸對(duì)稱，
，，
點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，；




參考答案到此結(jié)束

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