習(xí)題課　古典概型的應(yīng)用 類型1　古典概型的實(shí)際應(yīng)用【例1】　 甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．(1)設(shè)(i，j)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫出試驗(yàn)的樣本空間；(2)甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝．你認(rèn)為此游戲是否公平？說(shuō)明你的理由．[解]　(1) 方片4用4′表示，試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，則樣本點(diǎn)的總數(shù)為12.(2)不公平．甲抽到牌的牌面數(shù)字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5種，甲勝的概率為P1＝，乙勝的概率為P2＝，因?yàn)?/span>＜，所以此游戲不公平．游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法(1)游戲規(guī)則是否公平，要看對(duì)游戲的雙方來(lái)說(shuō)獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平．(2)具體判斷時(shí)，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進(jìn)行比較．1．某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表： 滿意不滿意男顧客4010女顧客3020分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率．[解]　由題中數(shù)據(jù)可知，男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率P＝＝，女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率P＝＝. 類型2　古典概型的綜合應(yīng)用【例2】　 現(xiàn)有8名奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通曉日語(yǔ)，B1，B2，B3通曉俄語(yǔ)，C1，C2通曉韓語(yǔ)，從中選出通曉日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)的志愿者各1名，組成一個(gè)小組．(1)求A1被選中的概率；(2)求B1和C1不全被選中的概率．[解]　(1)從8人中選出日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的樣本空間Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，由18個(gè)樣本點(diǎn)組成．由于每一個(gè)樣本點(diǎn)被抽取的機(jī)會(huì)均等，因此這些樣本點(diǎn)的發(fā)生是等可能的．用M表示“A1恰被選中”這一事件，則M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，事件M由6個(gè)樣本點(diǎn)組成，因而P(M)＝＝.(2)用N表示“B1和C1不全被選中”這一事件，則其對(duì)立事件表示“B1，C1全被選中”這一事件，由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件由3個(gè)樣本點(diǎn)組成，所以P()＝＝，由對(duì)立事件的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝.使用古典概型的概率計(jì)算公式的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)審讀題干：對(duì)于實(shí)際問(wèn)題要認(rèn)真讀題，深入理解題意，計(jì)算樣本點(diǎn)總數(shù)要做到不重不漏，這是解決古典概型問(wèn)題的關(guān)鍵．(關(guān)鍵詞：不重不漏)(2)編號(hào)：分析實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往對(duì)要研究的對(duì)象進(jìn)行編號(hào)或用字母代替，使復(fù)雜的實(shí)際意義變?yōu)楹?jiǎn)單的數(shù)字和字母，方便尋找對(duì)象間的關(guān)系，可以使問(wèn)題得以簡(jiǎn)單地表示，這是解決古典概型問(wèn)題時(shí)主要的解題技巧．(關(guān)鍵詞：簡(jiǎn)單的數(shù)字和字母)(3)“正難則反”原則：在解決古典概型的概率問(wèn)題時(shí)，如果從正面分解一個(gè)事件的情況比較多時(shí)，可以考慮利用它的對(duì)立事件的概率求解．2．現(xiàn)有7名數(shù)理化成績(jī)優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，B1，B2的物理成績(jī)優(yōu)秀，C1，C2的化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀．從中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名，組成一個(gè)小組代表學(xué)校參加競(jìng)賽，則A1和B1不全被選中的概率為________．　[從這7人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名，所有可能的結(jié)果組成的12個(gè)樣本點(diǎn)為：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．設(shè)“A1和B1不全被選中”為事件N，則其對(duì)立事件表示“A1和B1全被選中”，由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P()＝＝，由對(duì)立事件的概率計(jì)算公式得P(N)＝1－P()＝1－＝.] 類型3　概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用問(wèn)題【例3】　2019年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況．(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F.享受情況如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪．員工項(xiàng)目　　　ABCDEF子女教育〇〇×〇×〇繼續(xù)教育××〇×〇〇大病醫(yī)療×××〇××住房貸款利息〇〇××〇〇住房租金××〇×××贍養(yǎng)老人〇〇×××〇①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率．[解]　(1)由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采用分層抽樣從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人．(2)①從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15種．②由表格知，符合題意的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11種，所以，事件M發(fā)生的概率P(M)＝.1．在本例中，設(shè)N為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除都不相同”，求事件N發(fā)生的概率．[解]　法一：由例3的解答可知，事件N包含的結(jié)果為{A，C}，{B，C}，{C，D}，{D，E}，共4種，所以P(N)＝.法二：由例3的解答可知事件M和事件N為對(duì)立事件，所以P(N)＝1－P(M)＝1－＝.2．在本例中，施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除后抽取的25人中平均少繳納的稅款和方差如下表： 老員工中年員工青年員工少繳納稅款的平均數(shù)(單位：元)400500300方差345利用方差隨機(jī)抽樣所得的樣本估計(jì)該公司所有員工少繳納稅款的平均數(shù)和方差．[解]　由例3的解答可知25位員工中，老、中、青員工的人數(shù)分別為6人，9人，10人，所以該公司所有員工少繳納稅款的平均數(shù)為＝×400＋×500＋×300＝396(元)．方差為s2＝[3＋(400－396)2]＋[4＋(500－396)2]＋[5＋(300－396)2]＝7 588.16，所以估計(jì)該公司所有員工少繳納稅款的平均數(shù)和方差分別為396, 7 588.16.解決古典概型交匯命題的方法解決與古典概型交匯命題的問(wèn)題時(shí)，把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，列舉樣本點(diǎn)，求出樣本點(diǎn)和隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算. 3．某校高三學(xué)生體檢后，為了解高三學(xué)生的視力情況，該校從高三六個(gè)班的300名學(xué)生中以班為單位(每班學(xué)生50人)，每班按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取了8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)．其中高三(1)班抽取的8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)與人數(shù)見下表：   視力數(shù)據(jù)4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.95.05.15.25.3人數(shù)    2 2 21 1  (1)用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)高三(1)班學(xué)生視力的平均值；(2)已知其余五個(gè)班學(xué)生視力的平均值分別為4.3,4.4,4.5,4.6,4.8.若從這六個(gè)班中任意抽取兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值作比較，求抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不小于0.2的概率．[解]　(1)高三(1)班8名學(xué)生視力的平均值為＝4.7，故用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)高三(1)班學(xué)生視力的平均值為4.7.(2)從這六個(gè)班中任意抽取兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值作比較，所有的取法共有15種，而滿足抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4，4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6，4.8)，共有10種，故抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不小于0.2的概率為P＝＝.1．某家庭電話，打進(jìn)的電話響第一聲時(shí)被接的概率為，響第二聲時(shí)被接的概率為，響第三聲時(shí)被接的概率為，響第四聲時(shí)被接的概率為，則電話在響前四聲內(nèi)被接的概率為(　　)A． B．C． D．B　[設(shè)“電話響第一聲被接”為事件A，“電話響第二聲被接”為事件B，“電話響第三聲被接”為事件C，“電話響第四聲被接”為事件D，則A，B，C，D兩兩互斥，從而P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＋＝.]2．小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是(　　)A． B．C． D．C　[小敏輸入密碼的可能結(jié)果有M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5，共15種，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率P＝.故選C.]3．甲、乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A，B，C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組，則兩人參加同一個(gè)小組的概率為(　　)A． B．C． D．A　[因?yàn)榧?、乙兩人參加學(xué)習(xí)小組的所有事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9個(gè)，其中兩人參加同一個(gè)小組的事件有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3個(gè)，所以兩人參加同一個(gè)小組的概率為＝.故選A.]4．(一題兩空)甲、乙兩人玩錘子、剪刀、布的猜拳游戲，假設(shè)兩人都隨機(jī)出拳，則平局的概率為________，甲不輸?shù)母怕蕿?/span>________．　　[甲、乙都是隨機(jī)出拳，所以可以看成古典概型，而且樣本空間中共包含9個(gè)樣本點(diǎn)，樣本空間可以用下圖直觀表示．因?yàn)殄N子贏剪刀，剪刀贏布，布贏錘子，因此若記事件A為“平局”，事件A包含3個(gè)樣本點(diǎn)(圖中的△)，因此P(A)＝＝；記B表示“甲不輸”，則B包含6個(gè)樣本點(diǎn)(圖中的△和※)，故P(B)＝＝.]5．在正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為________．　[如圖，在正六邊形ABCDEF的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，共有15種選法，其中構(gòu)成的四邊形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6種情況，故構(gòu)成的四邊形是梯形的概率P＝＝.]   

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

2.2 古典概型的應(yīng)用

版本： 北師大版 (2019)

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