例1 畫(huà)出二次函數(shù) y = x2 的圖象.
1. 列表：在 y = x2 中自變量 x 可以是任意實(shí)數(shù)，列表表示幾組對(duì)應(yīng)值：
3. 連線：如圖，再用光滑曲線順次連結(jié)各點(diǎn)，就得到 y = x2 的圖象．
2. 描點(diǎn)：根據(jù)表中 x，y 的數(shù)值在坐標(biāo)平面內(nèi)描點(diǎn) (x，y)；
當(dāng)取更多個(gè)點(diǎn)時(shí)，函數(shù) y = x2 的圖象如下：
這樣的曲線通常把它叫做拋物線.
這條拋物線關(guān)于 y 軸對(duì)稱，y 軸就是它的對(duì)稱軸.
拋物線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)
練一練：畫(huà)出函數(shù) y = -x2 的圖象.
根據(jù)你以往學(xué)習(xí)函數(shù)圖象的經(jīng)驗(yàn)，說(shuō)說(shuō)二次函數(shù) y = x2 的圖象有哪些特征，并與同伴交流.
1. y＝x2 是一條拋物線；2. 圖象開(kāi)口向上；3. 圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱；4. 頂點(diǎn) (0，0)；5. 圖象有最低點(diǎn).
說(shuō)說(shuō)二次函數(shù) y = -x2 的圖象有哪些特征，與同伴交流.
1. y＝-x2 是一條拋物線；2. 圖象開(kāi)口向下；3. 圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱；4. 頂點(diǎn) (0，0)；5. 圖象有最高點(diǎn)．
1. 頂點(diǎn)都在原點(diǎn)；
3. 當(dāng) a＞0 時(shí)，開(kāi)口向上； 當(dāng) a＜0 時(shí)，開(kāi)口向下.
二次函數(shù) y = ax2 的圖象特征：
2. 圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱；
觀察圖象，說(shuō)說(shuō)拋物線 y = ax2 與 y = -ax2 (a＞0) 有什么關(guān)系.
二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，開(kāi)口相反，大小相同，它們關(guān)于 x 軸對(duì)稱.
問(wèn)題1：觀察圖象，y 隨 x 的變化如何變化？
二次函數(shù) y = ax2 的性質(zhì)
對(duì)于拋物線 y = ax2 (a＞0)： 當(dāng) x＞0 時(shí)，函數(shù)值 y 隨 x 取值的增大而增大； 當(dāng) x＜0 時(shí)，函數(shù)值 y 隨 x 取值的增大而減小.
問(wèn)題2：觀察圖象，y 隨 x 的變化如何變化？
對(duì)于拋物線 y = ax2 (a＜0)： 當(dāng) x＞0 時(shí)，y 隨 x 取值的增大而減??； 當(dāng) x＜0 時(shí)，y 隨 x 取值的增大而增大.
解：分別填表，再畫(huà)出它們的圖象，如圖所示.
當(dāng) a＞0 時(shí)，a 越大，開(kāi)口越小.
當(dāng) a＜0 時(shí)，a 越?。?a 的絕對(duì)值越大），開(kāi)口越小.
對(duì)于拋物線 y = ax2 ，| a | 越大，拋物線的開(kāi)口越?。?br/>開(kāi)口向上，在 x 軸上方
開(kāi)口向下，在 x 軸下方
a 的絕對(duì)值越大，開(kāi)口越小
關(guān)于 y 軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是直線 x＝0
頂點(diǎn)坐標(biāo)是原點(diǎn)（0，0）
當(dāng) x = 0 時(shí)，y最小值 = 0
當(dāng) x = 0 時(shí)，y最大值 = 0
在對(duì)稱軸左側(cè)遞減在對(duì)稱軸右側(cè)遞增
在對(duì)稱軸左側(cè)遞增在對(duì)稱軸右側(cè)遞減
例3 已知二次函數(shù) y = x2．（1）判斷點(diǎn) A（2，4）在二次函數(shù)圖象上嗎？（2）請(qǐng)分別寫(xiě)出點(diǎn) A 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) B 的坐標(biāo)，關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn) C 的坐標(biāo)，關(guān)于原點(diǎn) O 的對(duì)稱點(diǎn)D 的坐標(biāo)；（3）點(diǎn) B、C、D 在二次函數(shù) y = x2 的圖象上嗎？在二次函數(shù) y = －x2 的圖象上嗎？
(1) 判斷點(diǎn) A（2，4）在二次函數(shù)圖象上嗎？
解：(1) 當(dāng) x = 2 時(shí)，y = 22 = 4，所以 A（2，4）在二次函數(shù)圖象上.
(2) 請(qǐng)分別寫(xiě)出點(diǎn) A 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) B 的坐標(biāo)，關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn) C 的坐標(biāo)，關(guān)于原點(diǎn) O 的對(duì)稱點(diǎn) D 的坐標(biāo)；
(2) 點(diǎn) A 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（2，-4），點(diǎn) A 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（-2，4）， 點(diǎn)A 關(guān)于原點(diǎn) O 的對(duì)稱點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（-2，-4）.
（3）點(diǎn) B、C、D 在二次函數(shù) y = x2 的圖象上嗎？在二次函數(shù) y = －x2 的圖象上嗎？
當(dāng) x = －2 時(shí)，y = x2 = 4，所以 C 點(diǎn)在二次函數(shù) y = x2 的圖象上；當(dāng) x = 2 時(shí)，y = －x2 = －4，所以 B 點(diǎn)在二次函數(shù) y = －x2 的圖象上；當(dāng)x = －2 時(shí)，y = －x2 = －4，所以 D 點(diǎn)在二次函數(shù) y = －x2 的圖象上．
例3 已知二次函數(shù) y = 2x2.(1) 若點(diǎn) (－2，y1) 與 (3，y2) 在此二次函數(shù)的圖象上， 則 y1_____ y2 (填“＞”“＝”或“＜”)；
(2) 如圖，此二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (0，0)，長(zhǎng)方形 ABCD 的頂點(diǎn) A、B 在 x 軸上，C、D 恰好在二次函數(shù)的圖象上，B 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2，求圖中陰影部分的面積之和．
(2) 解：∵ 二次函數(shù) y＝2x2 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) B(2，0)，∴ 當(dāng) x＝2 時(shí)，y＝2×22＝8.∵ 拋物線和長(zhǎng)方形都是軸對(duì)稱圖形，且 y 軸為它們的對(duì)稱軸，∴ OA＝OB.∴ 在長(zhǎng)方形 ABCD 內(nèi)，左邊陰影部分面積等于右邊空白部分面積. ∴ S陰影部分面積之和＝2×8＝16.
二次函數(shù) y＝ax2 的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，因此左右兩部分折疊可以重合，在二次函數(shù)比較大小中，我們根據(jù)圖象上的點(diǎn)具有對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到同一變化區(qū)域中 (全部為升或全部為降)，根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的高低去比較函數(shù)值的大??；對(duì)于求不規(guī)則的圖形面積，采用等面積割補(bǔ)法，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形以方便求解．
1. 函數(shù) y = 2x2 的圖象的開(kāi)口 ，對(duì)稱軸 ，頂點(diǎn)是 ；在對(duì)稱軸的左側(cè)，y 隨 x 的增大而 ；在對(duì)稱軸的右側(cè)，y 隨 x 的增大而 .
2. 函數(shù) y = -3x2 的圖象的開(kāi)口 ，對(duì)稱軸是 ，頂點(diǎn)是 .在對(duì)稱軸左側(cè)，y 隨 x 的增大而 ；在對(duì)稱軸右側(cè)，y 隨 x 的增大而 .
3. 如右圖，觀察函數(shù) y = (k - 1)x2 的圖象，則 k 的取值范圍是 .
5. 若拋物線 y = ax2 (a ≠ 0)，過(guò)點(diǎn) (-1，2)，則（1）a 的值是 ；（2）對(duì)稱軸是 ，開(kāi)口 ；（3）頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，頂點(diǎn)是拋物線上的最 點(diǎn)， 拋物線在 x 軸的 方（除頂點(diǎn)外）；（4）若 A (x1，y1)，B (x2，y2) 在這條拋物線上，且 x1 ＜x2＜0，則 y1 y2.
6. 已知二次函數(shù) y = x2，若 x≥m 時(shí)，y 最小值為 0，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍．
解：二次函數(shù) y = x2 中， 當(dāng) x = 0 時(shí)，y 有最小值，且 y最小值 = 0. ∵ 當(dāng) x≥m 時(shí)，y最小值 = 0， ∴ m≤0．
7. 已知：如圖，直線 y＝3x＋4 與拋物線 y＝x2 交于 A、B 兩點(diǎn)，求出 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出三角形 AOB 的面積．
解：由題意得 解得∴ 兩交點(diǎn)坐標(biāo)為 A (4，16) 和 B (-1，1)．∵ 直線 y＝3x＋4 與 y 軸相交于點(diǎn) C (0，4)，即 CO＝4，∴ S△ACO＝ ×4×4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2.∴ S△AOB＝S△ACO＋S△BOC＝10.

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