?湖南省張家界市2021年普通初中學業(yè)水平考試試卷
數(shù)學
考生注意：本學科試卷共三道大題，23道小題，滿分100分，考試時間120分鐘．
一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，滿分24分，在每個小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. -2021的絕對值等于（ ）
A. 2021 B. -2021 C. D.
【答案】A
【詳解】
【分析】根據(jù)絕對值的意義，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)即可求出答案．
【詳解】解：﹣2021的絕對值即為：|﹣2021|＝2021．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了絕對值的意義，熟記絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．
2. 我國是世界上免費為國民接種新冠疫苗最多的國家，截至2021年6月5日，免費接種數(shù)量已超過700000000劑次，將700000000用科學計數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【詳解】
【分析】將700000000寫成a×10n（1＜|a|＜10，n為正整數(shù)）的形式即可．
【詳解】解：700000000=．
故選C．
【點睛】本題主要考查了運用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，將原數(shù)寫成a×10n（1＜|a|＜10，n為正整數(shù)）的形式，確定a、n的值成為解答本題的關(guān)鍵．
3. 如圖所示的幾何體，其俯視圖是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【詳解】
【分析】根據(jù)俯視圖是從物體上面看所得到的圖形判斷即可．
【詳解】從上面看是一個圓，中間有一個點，
故選：D．
【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖．看得見部分的輪廓線要畫成實線，看不見部分的輪廓線要畫成虛線．
4. 下列運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【詳解】
【分析】直接利用合并同類項，完全平方差公式、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法來計算即可．
【詳解】解：A，不能合并同類項，故選項錯誤，不符合題意；
B，，故選項錯誤，不符合題意；
C，，故選項正確，符合題意；
D，，故選項錯誤，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了合并同類項，完全平方差公式、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握合并同類項，完全平方差公式、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法的基本運算法則．
5. 某校有4000名學生，隨機抽取了400名學生進行體重調(diào)查，下列說法錯誤的是（ ）
A. 總體是該校4000名學生的體重 B. 個體是每一個學生
C. 樣本是抽取的400名學生的體重 D. 樣本容量是400
【答案】B
【詳解】
【分析】根據(jù)總體、個體、樣本、樣本容量的知識解答．總體是指所要考察對象的全體；個體是指每一個考查對象；樣本是指從總體中抽取的部分考察對象稱為樣本；樣本容量是指樣本所含個體的個數(shù)(不含單位)．
【詳解】解：A、總體是該校4000名學生的體重，此選項正確，不符合題意；
B、個體是每一個學生的體重，此選項錯誤，符合題意；
C、樣本是抽取的400名學生的體重，此選項正確，不符合題意；
D、樣本容量是400，此選項正確，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題主要考查了總體、個體、樣本、樣本容量的定義，解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關(guān)鍵是明確考查的對象．總體、個體和樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大?。畼颖救萘渴菢颖局邪膫€體的數(shù)量，不能帶單位．
6. 如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，設(shè)正方形的面積為，黑色部分面積為，則的比值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【詳解】
【分析】根據(jù)題意，設(shè)正方形的邊長為2a，則圓的半徑為a，分別表示出黑色部分面積和正方形的面積，進而即可求得的比值．
【詳解】設(shè)正方形的邊長為2a，則圓的半徑為a
∴，圓的面積為
∵正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱
∴黑色部分面積為圓面積的一半
∴
∴，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了陰影部分面積的求解，準確運用字母表示正方形面積和圓形面積并結(jié)合多邊形內(nèi)切圓性質(zhì)、中心對稱圖形性質(zhì)等相關(guān)知識點是解決本題的關(guān)鍵．
7. 對于實數(shù)定義運算“☆”如下：，例如，則方程根的情況為（ ）
A. 沒有實數(shù)根 B. 只有一個實數(shù)根 C. 有兩個相等的實數(shù)根 D. 有兩個不相等的實數(shù)根
【答案】D
【詳解】
【分析】本題根據(jù)題目所給新定義將方程變形為一元二次方程的一般形式，即的形式，再根據(jù)根的判別式的值來判斷根的情況即可．
【詳解】解：根據(jù)題意由方程得：

整理得：
根據(jù)根的判別式可知該方程有兩個不相等實數(shù)根．
故選D．
【點睛】本題主要考查了根的判別式，根據(jù)題目所給的定義對方程進行變形后依據(jù)的值來判斷根的情況，注意時有兩個不相等的實數(shù)根；時有一個實數(shù)根或兩個相等的實數(shù)根；時沒有實數(shù)根．
8. 若二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一個坐標系內(nèi)的大致圖象為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【詳解】
【分析】先根據(jù)拋物線的開口方向確定a＜0，對稱軸可確定b的正負，與y軸的交點可知c＞0，然后逐項排查即可．
【詳解】解：∵拋物線開口方向向下
∴a＜0，
∵拋物線對稱軸
∴b＞0
∵拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸
∴c＞0
∴的圖像過二、一、四象限，的圖象在二、四象限
∴D選項滿足題意．
故選D．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的特征、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，牢記各種函數(shù)圖象的特點成為解答本題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）
9. 已知方程，則______．
【答案】
【詳解】
【分析】直接移項求解一元一次方程的解．
【詳解】解：，
，
解得：，
故答案是：．
【點睛】本題考查了解一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是：掌握解一元一次方程的一般步驟．
10. 如圖是張家界市某周每天最高氣溫的折線統(tǒng)計圖，則這7天的最高氣溫的中位數(shù)是______．

【答案】26
【詳解】
【分析】將7天的最高氣溫按從小到大排列以后根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可．
【詳解】解：根據(jù)7天的最高氣溫折線統(tǒng)計圖，
將這7天的最高氣溫按從小到大排列為：
20，22，24，26，28，28，30，
故中位數(shù)為26．
故答案為：26．
【點睛】本題主要考查中位數(shù)的定義，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大(或從大到小)的順序排列，如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
11. 如圖，已知，是的平分線，若，則________．

【答案】58°
【詳解】
【分析】先根據(jù)對頂角的性質(zhì)可得∠BDC=,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠ABC,最后根據(jù)角平分線的定義求解即可．
【詳解】解：∵∠BDC和∠2是對頂角
∴∠BDC=
∵
∴∠BDC+∠ABD=180°，即∠ABD=116°
∵是的平分線
∴∠3=∠1=∠ABD=58°．
故填：58°．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、對頂角相等以及角平分線的相關(guān)知識，掌握平行線的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．
12. 不等式的正整數(shù)解為______．
【答案】3
【詳解】
【分析】直接解出各個不等式的解集，再取公共部分，再找正整數(shù)解即可．
【詳解】解：由，
解得：，
由，
原不等式的解集是：．
故不等式的正整數(shù)解為：，
故答案是：．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式組的解集和求不等式組的正整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是：掌握解不等式組的基本運算法則，求出解集后，找出滿足條件的正整數(shù)解即可．
13. 如圖，內(nèi)接于，，點是的中點，連接，，，則_________．

【答案】
【詳解】
【分析】圓上弧長對應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得出答案．
【詳解】解:根據(jù)圓上弦長對應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半，
，
，
，
為等腰三角形，
又點是的中點，根據(jù)等腰三角形三線合一，
為的角平分線，
，
故答案是：．
【點睛】本題考查了弦長所對應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半和等腰三角形三線合一的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)性質(zhì)求出，再利用角平分線或三角形全等都能求出解．
14. 如圖，在正方形外取一點，連接，，，過點作的垂線交于點，若，．下列結(jié)論：①；②；③點到直線的距離為；④，其中正確結(jié)論的序號為______．

【答案】①②④
【詳解】
【分析】利用同角的余角相等可得∠EDC=∠PDA，利用SAS可證明，可得①正確；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠APD=∠CED，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DPE=∠DEP=45°，即可得出∠PEC=90°，可得②正確；過C作CF⊥DE，交DE的延長線于F，利用勾股定理可求出CE的長，根據(jù)△DEP是等腰直角三角形，可證△CEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出CF的長，可得③錯誤；④由③可知EF的長，即可得出DF的長，利用勾股定理可求出CD的長，即可求出正方形ABCD的面積，可得④正確，綜上即可得答案．
【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，PD⊥DE，
∴∠PDA+∠PDC=90°，∠EDC+∠PDC=90°，AD=CD，
∴∠EDC=∠PDA，
在△APD和△CED中，
∴△APD≌△CED，故①正確，
∴∠APD=∠DEC，
∵DP=DE，∠PDE=90°，
∴∠DPE=∠DEP=45°，
∴∠APD=∠DEC=135°，
∴∠PEC=∠DEC-∠DEP=90°，
∴AE⊥CE，故②正確，
如圖，過C作CF⊥DE，交DE的延長線于F，
∵，∠PDE=90°，
∴PE=，
∵，∠PEC=90°，
∴CE==2，
∵∠DEP=45°，∠PEC=90°，
∴∠FEC=45°，
∵∠EFC=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF=EF==，
∴點到直線的距離為，故③錯誤，
∴DF=EF+DE=+1，
∴CD2===，
∴，故④正確，

綜上所述：正確的結(jié)論有①②④，
故答案為：①②④
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、正方形面積公式、勾股定理的運用等知識，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
三、解答題（本大題共9個小題，滿分58分．請考生用黑色碳素筆在答題卡相應(yīng)的題號后的答題區(qū)域內(nèi)作答，必須寫出運算步驟、推理過程或文字說明，超出答題區(qū)域的作答無效．）
15. 計算：
【答案】
【詳解】
【分析】先運用乘方、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值以及平方根的性質(zhì)化簡，然后計算即可．
詳解】解：

．
【點睛】本題主要考查了乘方、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、平方根的性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．
16. 先化簡，然后從0，1，2，3中選一個合適的值代入求解．
【答案】，6
【詳解】
【分析】將分子、分母因式分解除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分、合并同類項，選擇合適的值時，a的取值不能使原算式的分母及除數(shù)為0．
【詳解】解：原式

因為a=0，1，2時分式無意義，所以
當時，原式
【點睛】本題考查了分式的化簡求值，關(guān)鍵是先化簡，后代值，注意a的取值不能使原算式的分母及除數(shù)為0．
17. 2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”主題教育學習活動，我市“紅二方面軍長征出發(fā)地紀念館”成為重要的活動基地．據(jù)了解，今年3月份該基地接待參觀人數(shù)10萬人，5月份接待參觀人數(shù)增加到12.1萬人．
（1）求這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率；
（2）按照這個增長率，預計6月份的參觀人數(shù)是多少？
【答案】（1）10%；（2）13.31萬
【詳解】
【分析】（1）設(shè)這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率為，根據(jù)題意列出等式解出即可；
（2）直接利用（1）中求出的月平均增長率計算即可．
【詳解】（1）解：設(shè)這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率為，
由題意得：，
解得：，（不合題意，舍去），
答：這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率為．
（2）（萬人），
答：六月份的參觀人數(shù)為13.31萬人．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)和增長率問題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題目條件列出等式，求出增長率，再利用增長率來預測．
18. 如圖，在矩形中，對角線與相交于點，，對角線所在的直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)角，所得的直線分別交，于點．

（1）求證：；
（2）當旋轉(zhuǎn)角為多少度時，四邊形為菱形？試說明理由．
【答案】（1）見詳解；（2）90°，理由見詳解
【詳解】
【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，兩直線相交，對頂角相等，且，可以證明兩三角形全等；
（2）根據(jù)平行四邊形對角線垂直即可說明．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）當時四邊形為菱形，
理由：∵，
∴，
又∵，
∴四邊形為平行四邊形，
又∵，
∴四邊形為菱形．
【點睛】本題考查了三角形全等的判斷定理，菱形的判定定理，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)得出角之間的關(guān)系，利用來證明；證明四邊形是菱形，只要求證明平行四邊形對角線垂直即可．
19. 為了積極響應(yīng)中共中央文明辦關(guān)于“文明用餐”的倡議，某校開展了“你的家庭使用公筷了嗎？”的調(diào)查活動，并隨機抽取了部分學生，對他們家庭用餐使用公筷情況進行統(tǒng)計，統(tǒng)計分類為以下四種：A（完全使用）、B（多數(shù)時間使用）、C（偶爾使用）、D（完全不使用），將數(shù)據(jù)進行整理后，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）本次抽取的學生總?cè)藬?shù)共有_________．
（2）補全條形統(tǒng)計圖；
（3）扇形統(tǒng)計圖中A對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是__________．
（4）為了了解少數(shù)學生完全不使用公筷的原因，學校決定從D組的學生中隨機抽取兩位進行回訪，若D組中有3名男生，其余均為女生，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求抽取的兩位學生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）50人；（2）作圖見詳解；（3）72°；（4）
【詳解】
【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的性質(zhì)計算，即可得到答案；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得D類學生數(shù)量，再根據(jù)條形統(tǒng)計圖性質(zhì)作圖，即可得到答案；
（3）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的性質(zhì)計算，即可得到答案；
（4）根據(jù)列表法求概率，即可得到答案．
【詳解】（1）本次抽取的學生總?cè)藬?shù)共有：人
故答案為：50人；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得D類學生數(shù)量為：人
條形統(tǒng)計圖補全如下：
；
（3）扇形統(tǒng)計圖中A對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是：
故答案為：；
（4）列表如下：

男1
男2
男3
女
男1

男1，男2
男1，男3
男1，女
男2
男2，男1

男2，男3
男2，女
男3
男3，男1
男3，男2

男3，女
女
女，男1
女，男2
女，男3

∴總共有12種情況，其中抽取兩位學生恰好是一男一女的情況總共有6種
∴抽取的兩位學生恰好是一男一女的概率．
【點睛】本題考查了統(tǒng)計調(diào)查和簡單概率的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、列表法或者樹狀圖法求概率的性質(zhì)，從而完成求解．
20. 如圖，在中，，，以點為圓心，為半徑的圓交的延長線于點，過點作的平行線，交于點，連接．

（1）求證：為的切線；
（2）若，求弧的長．
【答案】（1）見詳解；（2）
【詳解】
【分析】（1）連接OB，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠AOB=60°，再運用平行線的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得，再證明可得即可；
（2）先求出∠COD，然后再運用弧長公式計算即可．
【詳解】（1）證明：連接
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵點在上
∴是的切線；

（2）∵
∴
∴．
【點睛】本題主要考查了圓的切線的證明、弧長公式等知識點，掌握圓的切線的證明方法成為解答本題的關(guān)鍵．
21. 張家界大峽谷玻璃橋是我市又一聞名中外的五星景點．某校初三年級在一次研學活動中，數(shù)學研學小組設(shè)計以下方案測量橋的高度．如圖，在橋面正下方的谷底選一觀測點，觀測到橋面，的仰角分別為，測得長為320米，求觀測點到橋面的距離．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）

【答案】277米
【詳解】
【分析】過點作交的延長線于點，根據(jù)已知條件可得，在中，求出AD即可
【詳解】解：過點作交的延長線于點

由圖可知：，AM∥CD
∴∠B=∠BAM=30°，∠DCA=∠CAM=60°
∴
∴
∴
在中，
∴，即
∴（米）
答．觀測點到橋面的距離是277米．
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、根據(jù)三角函數(shù)正確列方程是解題的關(guān)鍵．
22. 閱讀下面的材料：
如果函數(shù)滿足：對于自變量取值范圍內(nèi)任意，，
（1）若，都有，則稱是增函數(shù)；
（2）若，都有，則稱是減函數(shù)．
例題：證明函數(shù)是增函數(shù)．
證明：任取，且，
則
∵且，
∴，
∴，即，
∴函數(shù)是增函數(shù)．
根據(jù)以上材料解答下列問題：
（1）函數(shù)，，，_______，_______；
（2）猜想是函數(shù)_________（填“增”或“減”），并證明你的猜想．
【答案】（1），；（2）減，證明見詳解
【詳解】
【分析】（1）根據(jù)題目中函數(shù)詳解式可以解答本題；
（2）根據(jù)題目中例子的證明方法可以證明(1) 中的猜想成立．
【詳解】解：（1），
（2）猜想：是減函數(shù)；
證明：任取，，，則

∵且，
∴，
∴，即
∴函數(shù)是減函數(shù)．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的坐標特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．
23. 如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點且與軸交于原點及點．


（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）求頂點的坐標及直線的表達式；
（3）判斷的形狀，試說明理由；
（4）若點為上的動點，且的半徑為，一動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段勻速運動到點，再以每秒1個單位長度的速度沿線段勻速運動到點后停止運動，求點的運動時間的最小值．
【答案】（1）；（2），；（3）等腰直角三角形，理由見詳解；（4）
【詳解】
【分析】（1）根據(jù)已知條件，運用待定系數(shù)法直接列方程組求解即可；
（2）根據(jù)（1）中二次函數(shù)詳解式，直接利用頂點坐標公式計算即可，再根據(jù)點A、B坐標求出AB詳解式即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)對稱性可知為等腰三角形，再根據(jù)O、A、B三點坐標，求出三條線段的長，利用勾股定理驗證即可；
（4）根據(jù)題意可知動點的運動時間為，在上取點，使，可證明，根據(jù)相似三角形比例關(guān)系得，即，當、、三點共線時，取得最小值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理進一步計算即可．
【詳解】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，且與軸交于原點及點
∴，二次函數(shù)表達式可設(shè)為：
將，代入得：
解這個方程組得
∵二次函數(shù)的函數(shù)表達式為
（2）∵點為二次函數(shù)圖像的頂點，
∴，
∴頂點坐標為：，
設(shè)直線的函數(shù)表達式為，則有：
解之得：
∴直線的函數(shù)表達式為
（3）是等腰直角三角形，
過點作于點，易知其坐標為
∵的三個頂點分別是，，，
∴，

且滿足
∴是等腰直角三角形
（4）如圖，以為圓心，為半徑作圓，則點在圓周上，依題意知：

動點的運動時間為
在上取點，使，
連接，則和中，
滿足：，，
∴，
∴，
從而得：
∴
顯然當、、三點共線時，取得最小值，
過點作于點，由于，
且為等腰直角三角形，
則有，，
∴動點的運動時間的最小值為：
．
【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)詳解式，拋物線頂點坐標，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，將運動時間的最小值轉(zhuǎn)換為線段長度的最小值是解題的關(guān)鍵．

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