?2021年湖南省永州市中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分，每個小題只有一個正確選項請將正確的選項填涂到答題卡上）
1．﹣|﹣2021|的相反數(shù)為（　　）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
2．如圖，在平面內(nèi)將五角星繞其中心旋轉(zhuǎn)180°后所得到的圖案是（　?。?br />
A． B．
C． D．
3．據(jù)永州市2020年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，永州市全年全體居民人均可支配收入約為24000元，比上年增長6.5%，將“人均可支配收入”用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．24×103 B．2.4×104 C．2.4×105 D．0.24×105
4．已知一列數(shù)據(jù)：27，12，12，5，7，12，5．該列數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（　?。?br /> A．27 B．12 C．7 D．5
5．下列計算正確的是（　?。?br /> A．（π﹣3）0＝1 B．tan30°＝ C．＝±2 D．a(chǎn)2?a3＝a6
6．在一元一次不等式組的解集中，整數(shù)解的個數(shù)是（　?。?br /> A．4 B．5 C．6 D．7
7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN分別交BC、AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E，若∠B＝50°，則∠CAD的度數(shù)是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
8．中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要著作《九章算術(shù)》中記載：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價各幾何？據(jù)此設(shè)計一類似問題：今有人組團(tuán)購一物，如果每人出9元，則多了4元；如果每人出6元，則少了5元，問組團(tuán)人數(shù)和物價各是多少？若設(shè)x人參與組團(tuán)，物價為y元，則以下列出的方程組正確的是（　　）
A． B．
C． D．
9．小明計劃到永州市體驗民俗文化，想從“零陵漁鼓、瑤族長鼓舞、東安武術(shù)、舜帝祭典”四種民俗文化中任意選擇兩項，則小明選擇體驗“瑤族長鼓舞、舜帝祭典”的概率為（　　）
A． B． C． D．
10．定義：若10x＝N，則x＝log10N，x稱為以10為底的N的對數(shù)，簡記為lgN，其滿足運(yùn)算法則：lgM+lgN＝lg（M?N）（M＞0，N＞0）．例如：因為102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根據(jù)上述定義和運(yùn)算法則，計算（lg2）2+lg2?lg5+lg5的結(jié)果為（　?。?br /> A．5 B．2 C．1 D．0
二、填空題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，請將答案填在答題卡的答案欄內(nèi)）
11．在0，，﹣0.101001，π，中無理數(shù)的個數(shù)是 　 　個．
12．已知二次根式有意義，則x的取值范圍是 　 ?。?br /> 13．請寫出一個圖象在第二、四象限的反比例函數(shù)的表達(dá)式：　 　．
14．某初級中學(xué)堅持開展陽光體育活動，七年級至九年級每學(xué)期均進(jìn)行體育技能測試．其中A班甲、乙兩位同學(xué)6個學(xué)期的投籃技能測試成績（投籃命中個數(shù)）折線圖如圖所示．為參加學(xué)校舉行的畢業(yè)籃球友誼賽，A班需從甲、乙兩位同學(xué)中選1人進(jìn)入班球隊，從兩人成績的穩(wěn)定性考慮，請你決策A班應(yīng)該選擇的同學(xué)是 　 ?。?br />
15．某同學(xué)在數(shù)學(xué)實踐活動中，制作了一個側(cè)面積為60π，底面半徑為6的圓錐模型（如圖所示），則此圓錐的母線長為 　 ?。?br />
16．如圖，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，3），B（0，﹣3），在x軸上找一點(diǎn)P，使線段PA+PB的值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 　 　．

17．已知函數(shù)y＝，若y＝2，則x＝　 　．
18．若x，y均為實數(shù)，43x＝2021，47y＝2021，則：
（1）43xy?47xy＝（ 　 　）x+y；
（2）+＝　 　．
三、解答題（共8小題，滿分78分）
19．（8分）先化簡，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．
20．（8分）若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．現(xiàn)已知一元二次方程px2+2x+q＝0的兩根分別為m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．
21．（8分）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校組織全校學(xué)生進(jìn)行了一場黨史知識競賽活動根據(jù)競賽結(jié)果，抽取了200名學(xué)生的成績（得分均為正整數(shù)，滿分為100分，大于80分的為優(yōu)秀）進(jìn)行統(tǒng)計，繪制了如圖所示尚不完整的統(tǒng)計圖表．
200名學(xué)生黨史知識競賽成績的頻數(shù)表
組別
頻數(shù)
頻率
A組（60.5～70.5）
a
0.3
B組（70.5～80.5）
30
0.15
C組（80.5～90.5）
50
b
D組（90.5～100.5）
60
0.3
請結(jié)合圖表解決下列問題：
（1）頻數(shù)表中，a＝　 　，b＝　 　；
（2）請將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；
（3）抽取的200名學(xué)生中競賽成績的中位數(shù)落在的組別是 　 　組；
（4）若該校共有1000名學(xué)生，請估計本次黨史知識競賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)．

22．（10分）如圖，已知點(diǎn)A，D，C，B在同一條直線上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF．
（1）求證：△AEC≌△BFD．
（2）判斷四邊形DECF的形狀，并證明．

23．（10分）永州市某村經(jīng)濟(jì)合作社在鄉(xiāng)村振興工作隊的指導(dǎo)下，根據(jù)市場需求，計劃在2022年將30畝土地全部用于種植A、B兩種經(jīng)濟(jì)作物．預(yù)計B種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值比A種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值多2萬元，為實現(xiàn)2022年A種經(jīng)濟(jì)作物年總產(chǎn)值20萬元，B種經(jīng)濟(jì)作物年總產(chǎn)值30萬元的目標(biāo)，問：2022年A、B兩種經(jīng)濟(jì)作物應(yīng)各種植多少畝？
24．（10分）已知銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，邊角總滿足關(guān)系式：＝＝．

（1）如圖1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個銳角三角形水池ABC中建一座小型景觀橋CD（如圖2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景觀橋CD的長度．
25．（12分）如圖1，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是⊙O上一動點(diǎn)，且不與A，B兩點(diǎn)重合，∠EAB的平分線交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥AE，交AE的延長線于點(diǎn)D．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求證：AC2＝2AD?AO；
（3）如圖2，原有條件不變，連接BE，BC，延長AB至點(diǎn)M，∠EBM的平分線交AC的延長線于點(diǎn)P，∠CAB的平分線交∠CBM的平分線于點(diǎn)Q．求證：無論點(diǎn)E如何運(yùn)動，總有∠P＝∠Q．
26．（12分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1＝x2+bx+c（實數(shù)b，c為常數(shù)）．
（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，4），對稱軸為x＝1，求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若b2﹣c＝0，當(dāng)b﹣3≤x≤b時，二次函數(shù)的最小值為21，求b的值；
（3）記關(guān)于x的二次函數(shù)y2＝2x2+x+m，若在（1）的條件下，當(dāng)0≤x≤1時，總有y2≥y1，求實數(shù)m的最小值．

2021年湖南省永州市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分，每個小題只有一個正確選項請將正確的選項填涂到答題卡上）
1．﹣|﹣2021|的相反數(shù)為（　?。?br /> A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
【分析】根據(jù)絕對值的定義、相反數(shù)的定義解題即可．
【解答】解：∵﹣|﹣2021|＝﹣2021，
∴﹣2021的相反數(shù)為2021．
故選：B．
2．如圖，在平面內(nèi)將五角星繞其中心旋轉(zhuǎn)180°后所得到的圖案是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后，各點(diǎn)的相對位置不變，得到的圖形全等，找到關(guān)鍵點(diǎn)，分析選項可得答案．
【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后，各點(diǎn)的相對位置不變，得到的圖形全等，五角星圖案繞中心旋轉(zhuǎn)180°后，陰影部分的等腰三角形的頂點(diǎn)向下，得到的圖案是C．
故選：C．
3．據(jù)永州市2020年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，永州市全年全體居民人均可支配收入約為24000元，比上年增長6.5%，將“人均可支配收入”用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．24×103 B．2.4×104 C．2.4×105 D．0.24×105
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：24000＝2.4×104．
故選：B．
4．已知一列數(shù)據(jù)：27，12，12，5，7，12，5．該列數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（　?。?br /> A．27 B．12 C．7 D．5
【分析】根據(jù)眾數(shù)的意義求解即可．
【解答】解：這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是12，共出現(xiàn)3次，因此眾數(shù)是12，
故選：B．
5．下列計算正確的是（　　）
A．（π﹣3）0＝1 B．tan30°＝ C．＝±2 D．a(chǎn)2?a3＝a6
【分析】根據(jù)零次冪，特殊銳角三角函數(shù)值，平方根以及同底數(shù)冪乘法逐項進(jìn)行計算即可．
【解答】解：A．因為π﹣3≠0，所以（π﹣3）0＝1，因此選項A符合題意；
B．tan30°＝，因此選項B不符合題意；
C.＝2，因此選項C 不符合題意；
D．a(chǎn)2?a3＝a2+3＝a5，因此選項D 不符合題意；
故選：A．
6．在一元一次不等式組的解集中，整數(shù)解的個數(shù)是（　?。?br /> A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，求出不等式組的整數(shù)解，即可得出答案．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣0.5，
解不等式②得：x≤5，
∴不等式組的解集為﹣0.5＜x≤5，
∴不等式組的整數(shù)解為0，1，2，3，4，5，共6個，
故選：C．
7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN分別交BC、AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E，若∠B＝50°，則∠CAD的度數(shù)是（　?。?br />
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】利用基本作圖可判斷MN垂直平分AB，則DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝50°，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出∠BAC，然后計算∠BAC﹣∠DAB即可．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝80°﹣50°＝30°．
故選：A．
8．中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要著作《九章算術(shù)》中記載：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價各幾何？據(jù)此設(shè)計一類似問題：今有人組團(tuán)購一物，如果每人出9元，則多了4元；如果每人出6元，則少了5元，問組團(tuán)人數(shù)和物價各是多少？若設(shè)x人參與組團(tuán)，物價為y元，則以下列出的方程組正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)如果每人出9元，則多了4元；如果每人出6元，則少了5元，可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題．
【解答】解：由題意可得，
，
故選：A．
9．小明計劃到永州市體驗民俗文化，想從“零陵漁鼓、瑤族長鼓舞、東安武術(shù)、舜帝祭典”四種民俗文化中任意選擇兩項，則小明選擇體驗“瑤族長鼓舞、舜帝祭典”的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，小明選擇體驗“瑤族長鼓舞、舜帝祭典”的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“零陵漁鼓、瑤族長鼓舞、東安武術(shù)、舜帝祭典”四種民俗文化分別記為：A、B、C、D，
畫樹狀圖如圖：

共有12種等可能的結(jié)果，小明選擇體驗“瑤族長鼓舞、舜帝祭典”的結(jié)果有2種，
∴小明選擇體驗“瑤族長鼓舞、舜帝祭典”的概率為＝，
故選：D．
10．定義：若10x＝N，則x＝log10N，x稱為以10為底的N的對數(shù)，簡記為lgN，其滿足運(yùn)算法則：lgM+lgN＝lg（M?N）（M＞0，N＞0）．例如：因為102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根據(jù)上述定義和運(yùn)算法則，計算（lg2）2+lg2?lg5+lg5的結(jié)果為（　?。?br /> A．5 B．2 C．1 D．0
【分析】根據(jù)題意，按照題目的運(yùn)算法則計算即可．
【解答】解：（lg2）2+lg2?lg5+lg5
＝lg2（lg2+lg5）+lg5
＝lg2+lg5
＝1g10
＝1．
故選：C．
二、填空題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，請將答案填在答題卡的答案欄內(nèi)）
11．在0，，﹣0.101001，π，中無理數(shù)的個數(shù)是 　1　個．
【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．
【解答】解：0，，是整數(shù)，屬于有理數(shù)；
是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)；
﹣0.101001是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；
無理數(shù)有π，共1個．
故答案為：1．
12．已知二次根式有意義，則x的取值范圍是 　x≥﹣3?。?br /> 【分析】二次根式有意義，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，列不等式求解．
【解答】解：根據(jù)二次根式的意義，得x+3≥0，
解得x≥﹣3．
故答案為：x≥﹣3．
13．請寫出一個圖象在第二、四象限的反比例函數(shù)的表達(dá)式：　y＝﹣?。?br /> 【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得k＜0，寫一個k＜0的反比例函數(shù)即可．
【解答】解：∵圖象在第二、四象限，
∴y＝﹣，
故答案為：y＝﹣．
14．某初級中學(xué)堅持開展陽光體育活動，七年級至九年級每學(xué)期均進(jìn)行體育技能測試．其中A班甲、乙兩位同學(xué)6個學(xué)期的投籃技能測試成績（投籃命中個數(shù)）折線圖如圖所示．為參加學(xué)校舉行的畢業(yè)籃球友誼賽，A班需從甲、乙兩位同學(xué)中選1人進(jìn)入班球隊，從兩人成績的穩(wěn)定性考慮，請你決策A班應(yīng)該選擇的同學(xué)是 　甲?。?br />
【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖中甲、乙成績的起伏情況判斷即可得解．
【解答】解：根據(jù)折線統(tǒng)計圖可得，
甲的投籃技能測試成績起伏小，比較平穩(wěn)，乙的投籃技能測試成績起伏大，不穩(wěn)定，
因此A班應(yīng)該選擇的同學(xué)是甲．
故答案為：甲．
15．某同學(xué)在數(shù)學(xué)實踐活動中，制作了一個側(cè)面積為60π，底面半徑為6的圓錐模型（如圖所示），則此圓錐的母線長為 　10?。?br />
【分析】設(shè)此圓錐的母線長為l，利用扇形的面積公式得到×2π×6×l＝60π，然后解方程即可．
【解答】解：設(shè)此圓錐的母線長為l，
根據(jù)題意得×2π×6×l＝60π，解得l＝10，
所以此圓錐的母線長為10．
故答案為10．
16．如圖，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，3），B（0，﹣3），在x軸上找一點(diǎn)P，使線段PA+PB的值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ?。?，0）?。?br />
【分析】連接AB交x軸于點(diǎn)P'，求出直線AB的解析式與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【解答】解：如圖，連接AB交x軸于點(diǎn)P'，
根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可知：P'即為所求，
設(shè)直線AB的關(guān)系式為：y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝，
當(dāng)y＝0時，x＝2，
∴P'（2，0），

故答案為：（2，0）．
17．已知函數(shù)y＝，若y＝2，則x＝　2?。?br /> 【分析】根據(jù)題意，進(jìn)行分類解答，即可求值．
【解答】解：∵y＝2．
∴當(dāng)x2＝2時，x＝．
∵0≤x＜1．
∴x＝（舍去）．
當(dāng)2x﹣2＝2時，x＝2．
故答案為：2．
18．若x，y均為實數(shù)，43x＝2021，47y＝2021，則：
（1）43xy?47xy＝（ 　2021　）x+y；
（2）+＝　1?。?br /> 【分析】（1）將43xy?47xy化成（43x）y?（47y）x代入數(shù)值即可計算；
（2）由（1）知43xy?47xy＝2021（x+y），43xy?47xy＝（43×47）xy＝2021xy，得出xy＝x+y即可求．
【解答】解：（1）43xy?47xy＝（43x）y?（47y）x＝2021y×2021x＝2021x+y，
故答案為：2021；
（2）由（1）知，43xy?47xy＝2021（x+y），
∵43xy?47xy＝（43×47）xy＝2021xy，
∴xy＝x+y，
∴+＝＝1，
故答案為：1．
三、解答題（共8小題，滿分78分）
19．（8分）先化簡，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．
【分析】先根據(jù)完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計算，再合并同類項，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（x+1）2+（2+x）（2﹣x）
＝x2+2x+1+4﹣x2
＝2x+5，
當(dāng)x＝1時，原式＝2+5＝7．
20．（8分）若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．現(xiàn)已知一元二次方程px2+2x+q＝0的兩根分別為m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．
【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，然后分別解方程求出p與q的值；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n＝﹣，mn＝﹣，然后利用整體代入的方法計算．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，
所以p＝1，q＝﹣8；
（2）根據(jù)m+n＝﹣＝﹣，mn＝﹣，
所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣﹣＝﹣1．
21．（8分）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校組織全校學(xué)生進(jìn)行了一場黨史知識競賽活動根據(jù)競賽結(jié)果，抽取了200名學(xué)生的成績（得分均為正整數(shù)，滿分為100分，大于80分的為優(yōu)秀）進(jìn)行統(tǒng)計，繪制了如圖所示尚不完整的統(tǒng)計圖表．
200名學(xué)生黨史知識競賽成績的頻數(shù)表
組別
頻數(shù)
頻率
A組（60.5～70.5）
a
0.3
B組（70.5～80.5）
30
0.15
C組（80.5～90.5）
50
b
D組（90.5～100.5）
60
0.3
請結(jié)合圖表解決下列問題：
（1）頻數(shù)表中，a＝　60　，b＝　0.25??；
（2）請將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；
（3）抽取的200名學(xué)生中競賽成績的中位數(shù)落在的組別是 　C　組；
（4）若該校共有1000名學(xué)生，請估計本次黨史知識競賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)，可以計算出a、b、c的值；
（2）根據(jù)（1）中a、b的值，可以將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；
（3）根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)，可以計算出本次黨史知識競賽成績超過80分的學(xué)生人數(shù)．
【解答】解：（1）∵30÷0.15＝200，
∴a＝200×0.3＝60，
b＝50÷200＝0.25，
故答案為：60，0.25；
（2）由（1）知，a＝60，

如圖，即為補(bǔ)全的頻數(shù)分布直方圖；
（3）抽取的200名學(xué)生中競賽成績的中位數(shù)落在的組別是C組；
故答案為：C；
（4）1000×（0.25+0.3）＝1000×0.55＝550（人），
即本次黨史知識競賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)有550人．
22．（10分）如圖，已知點(diǎn)A，D，C，B在同一條直線上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF．
（1）求證：△AEC≌△BFD．
（2）判斷四邊形DECF的形狀，并證明．

【分析】（1）根據(jù)已知條件得到AC＝BD，根據(jù)平行線的判定定理得到∠A＝∠B，由全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，．由平行線的判定定理得到CE∥DF，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵AD＝BC，
∴AD+DC＝BC+DC，
∴AC＝BD，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠B，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（SAS）．
（2）四邊形DECF是平行四邊形，
證明：∵△AEC≌△BFD，
∴∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，
∴CE∥DF，
∴四邊形DECF是平行四邊形．
23．（10分）永州市某村經(jīng)濟(jì)合作社在鄉(xiāng)村振興工作隊的指導(dǎo)下，根據(jù)市場需求，計劃在2022年將30畝土地全部用于種植A、B兩種經(jīng)濟(jì)作物．預(yù)計B種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值比A種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值多2萬元，為實現(xiàn)2022年A種經(jīng)濟(jì)作物年總產(chǎn)值20萬元，B種經(jīng)濟(jì)作物年總產(chǎn)值30萬元的目標(biāo)，問：2022年A、B兩種經(jīng)濟(jì)作物應(yīng)各種植多少畝？
【分析】設(shè)2022年A種經(jīng)濟(jì)作物應(yīng)種植x畝，則B種經(jīng)濟(jì)作物應(yīng)種植（30﹣x）畝，根據(jù)“預(yù)計B種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值比A種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值多2萬元”列出方程并解答．
【解答】解：設(shè)2022年A種經(jīng)濟(jì)作物應(yīng)種植x畝，則B種經(jīng)濟(jì)作物應(yīng)種植（30﹣x）畝，
根據(jù)題意，得+2＝．
解得x＝20或x＝﹣15（舍去）．
經(jīng)檢驗x＝20是原方程的解，且符合題意．
所以30﹣x＝10．
答：2022年A種經(jīng)濟(jì)作物應(yīng)種植20畝，則B種經(jīng)濟(jì)作物應(yīng)種植10畝．
24．（10分）已知銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，邊角總滿足關(guān)系式：＝＝．

（1）如圖1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個銳角三角形水池ABC中建一座小型景觀橋CD（如圖2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景觀橋CD的長度．
【分析】（1）由邊角關(guān)系式可求解；
（2）由邊角關(guān)系式可求∠B＝60°，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求CD的長．
【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠A＝60°，
∵＝＝，
∴＝，
∴b＝2；
（2）∵＝，
∴＝，
∴sinB＝，
∴∠B＝60°，
∴tanB＝＝，
∴BD＝CD，
∵AC2＝CD2+AD2，
∴196＝CD2+（10﹣CD）2，
∴CD＝8，CD＝﹣3（舍去），
∴CD的長度為8米．
25．（12分）如圖1，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是⊙O上一動點(diǎn)，且不與A，B兩點(diǎn)重合，∠EAB的平分線交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥AE，交AE的延長線于點(diǎn)D．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求證：AC2＝2AD?AO；
（3）如圖2，原有條件不變，連接BE，BC，延長AB至點(diǎn)M，∠EBM的平分線交AC的延長線于點(diǎn)P，∠CAB的平分線交∠CBM的平分線于點(diǎn)Q．求證：無論點(diǎn)E如何運(yùn)動，總有∠P＝∠Q．
【分析】（1）連接OC，由角平分線的定義、等腰三角形性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)和切線的定義證明；
（2）由△CDA∽△BCA，得證AC2＝2AD?AO；
（3）由外角性質(zhì)、直徑所對的圓周角是直角和角平分線定義證明．
【解答】證明：（1）連接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BOC＝2∠OAC，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAE＝2∠OAC，
∴∠BAE＝∠BOC，
∴CO∥AD，
∵∠D＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線．
（2）∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠D＝∠BCA，
∴△BAC∽△CAD，
∴，
∴AC2＝AB?AD，
∵AB＝2AO，
∴AC2＝2AD?AO．
（3）∵∠CAB、∠CBM的角平分線交于點(diǎn)Q，
∴∠QAM＝∠CAB，∠QBM＝∠CBM，
∵∠Q是△QAB的一個外角，∠CBM是△ABC的一個外角，
∴∠Q＝∠QBM﹣∠QAM＝（∠CBM﹣∠CAM），∠ACB＝∠CBM﹣∠CAM，
∴∠Q＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠Q＝45°，
同理可證：∠P＝45°，
∴∠P＝∠Q．

26．（12分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1＝x2+bx+c（實數(shù)b，c為常數(shù)）．
（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，4），對稱軸為x＝1，求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若b2﹣c＝0，當(dāng)b﹣3≤x≤b時，二次函數(shù)的最小值為21，求b的值；
（3）記關(guān)于x的二次函數(shù)y2＝2x2+x+m，若在（1）的條件下，當(dāng)0≤x≤1時，總有y2≥y1，求實數(shù)m的最小值．
【分析】（1）由待定系數(shù)法，及對稱軸為直線x＝﹣，可求出二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）需要分三種情況：①b＜﹣；②b﹣3＞﹣；③b﹣3≤﹣≤b分別進(jìn)行討論；
（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象的增減性可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，4），
∴c＝4；
∵對稱軸為直線：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2，
∴此二次函數(shù)的表達(dá)式為：y1＝x2﹣2x+4．
（2）當(dāng)b2﹣c＝0時，b2＝c，此時函數(shù)的表達(dá)式為：y1＝x2+bx+b2，
根據(jù)題意可知，需要分三種情況：
①當(dāng)b＜﹣，即b＜0時，二次函數(shù)的最小值在x＝b處取到；
∴b2+b2+b2＝21，解得b＝，b＝﹣舍去；
②b﹣3＞﹣，即b＞2時，二次函數(shù)的最小值在x＝b﹣3處取到；
∴（b﹣3）2+b（b﹣3）+b2＝21，解得b＝4，b＝﹣1（舍去）；
③b﹣3≤﹣≤b，即0≤b≤2時，二次函數(shù)的最小值在x＝﹣處取到；
∴（﹣）2+b?（﹣）+b2＝21，解得b＝±2（舍去）．
綜上，b的取值為或4．
（3）由（1）知，二次函數(shù)的表達(dá)式為：y1＝x2﹣2x+4，
對稱軸為直線：x＝1，
∵1＞0，
∴當(dāng)0≤x≤1時，y隨x的增大而減小，且最大值為4；
∵二次函數(shù)y2＝2x2+x+m的對稱軸為直線：x＝﹣，且2＞0，
∴當(dāng)0≤x≤1時，y隨x的增大而增大，且最小值為m，
∵當(dāng)0≤x≤1時，總有y2≥y1，
∴m≥4，即m的最小值為4．

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