浙江省杭州市濱江區(qū)2022—2023學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．“明天下雨”這個事件是（    ）A．確定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不確定事件【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的相關(guān)概念可進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：“明天下雨”，這個事件是不確定事件．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了隨機(jī)事件，熟記必然事件、隨機(jī)事件、不可能事件的概念是解題的關(guān)鍵．2．已知，則下列式子中正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、若，則，故本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、若，則，故本選項(xiàng)正確，符合題意；C、若，不成立，故本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D、若，不成立，故本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．將拋物線向右平移2個單位，再向上平移2個單位，則所得的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”即可獲得答案．【詳解】解：將拋物線向右平移2個單位，再向上平移2個單位，則所得的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的平移，理解并掌握二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．4．已知一個扇形的面積是，弧長是，則這個扇形的半徑為（    ）A．24 B．22 C．12 D．6【答案】A【分析】扇形面積公式為，直接代值計(jì)算即可．【詳解】，即，解得．故選：A【點(diǎn)睛】此題考查扇形的面積公式，，解題關(guān)鍵是在不同已知條件下挑選合適的公式進(jìn)行求解．5．已知二次函數(shù)（為實(shí)數(shù)，且），當(dāng)時，隨增大而減小，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)當(dāng)時，y隨x的增大而減小，可得拋物線開口方向，進(jìn)而求解．【詳解】解：當(dāng)時，y隨x的增大而減小，拋物線開口向上，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系．6．如圖，在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】在優(yōu)弧上找一點(diǎn)，連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)求得，然后根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：如圖，優(yōu)弧上找一點(diǎn)，連接∵∴，∵，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在中，，邊，上的中線，相交于點(diǎn)，若，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，由題意可知為的中位線，即可得到，，，利用勾股定理可得，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，即可獲得答案．【詳解】解：連接，如下圖，∵，分別為邊，上的中線，，，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，且，，∵，∴，∵，∴，即，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中線、中位線、勾股定理以及平行線分線段成比例定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．8．如圖，在中，點(diǎn)，分別在，上，，，且，，則的長為（    ）A． B．4 C．5 D．【答案】C【分析】根據(jù)，可得，從而得到，可證明，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，解得：，∴．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，內(nèi)接于，且，的延長線交于點(diǎn)，若與相似，則（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先設(shè)出未知數(shù)，再用已知條件表示出的各個角，最后，依據(jù)三角形內(nèi)角和公式列方程解決．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)．∵與相似∴∵∴又∵∴∴∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，用一個角表示出其他角后正確列出方程，是解題的關(guān)鍵．10．二次函數(shù)（為實(shí)數(shù)，且），對于滿足的任意一個的值，都有，則的最大值為（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由該二次函數(shù)解析式可知，該函數(shù)圖像的開口方向向下，對稱軸為，該函數(shù)的最大值為，由題意可解得，根據(jù)函數(shù)圖像可知的值越小，其對稱軸越靠左，滿足的的值越小，故令即可求得的最大值．【詳解】解：∵函數(shù)，且，∴該函數(shù)圖像的開口方向向下，對稱軸為，該函數(shù)有最大值，其最大值為，若要滿足的任意一個的值，都有，則有，解得，對于該函數(shù)圖像的對稱軸，的值越小，其對稱軸越靠左，如下圖，結(jié)合圖像可知，的值越小，滿足的的值越小，∴當(dāng)取的最大值，即時，令，解得，，∴滿足的的最大值為，即的最大值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解題意，借助函數(shù)圖像的變化分析求解． 二、填空題11．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠A＝70°，則∠C的度數(shù)是_____．【答案】110°【分析】直接根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣70°＝110°．故答案為：110°．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角．12．做任意拋擲一只紙杯的重復(fù)試驗(yàn)，獲得如下表數(shù)據(jù)：拋擲總次數(shù)100200300400杯口朝上頻數(shù)20426688杯口朝上頻率0.20.210.220.22 則估計(jì)任意拋擲一只紙杯杯口朝上的概率約為____________（結(jié)果精確到0．01）．【答案】0.22【分析】觀察表格的數(shù)據(jù)可以得到杯口朝上的頻率，然后用頻率估計(jì)概率即可求解．【詳解】解∶依題意得杯口朝上頻率逐漸穩(wěn)定在0.22左右，估計(jì)任意拋擲一只紙杯， 杯口朝上的概率約為0.22．故答案為∶ 0.22．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，能用頻率估計(jì)概率是解決問題的關(guān)鍵．13．如圖，正內(nèi)接于，的半徑為10，則的孤長為_____________．【答案】##【分析】同圓或等圓中，兩弦相等，所對的優(yōu)弧或劣弧也對應(yīng)相等，據(jù)此求解即可．【詳解】∵是等邊三角形，∴，∴，∴的長等于周長的三分之一，∵的半徑為，∴的周長，∴的長等于，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓中弧與弦之間的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．14．已知一個二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線相同，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則該二次函數(shù)的表達(dá)式為____________．【答案】或【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，可得可設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為，再根據(jù)圖象的形狀和與拋物線相同，可得，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴可設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為，∵二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線相同，，∴，∴，∴這個二次函數(shù)的解析式為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，牢記形狀相同的二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)的絕對值相等是解題的關(guān)鍵．15．如圖，矩形的對角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若，，則的長為___________．【答案】2【分析】利用矩形的性質(zhì)先求得，，再證明，即可得解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴即，解得或（舍去），故答案為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，正五邊形的對角線和分別交對角線于點(diǎn)，，若的面積為，則正五邊形的面積為____________（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得，，從而得到，再由，可得，，從而得到，進(jìn)而得到，繼而得到 ，再由，可得，然后根據(jù)正五邊形的面積，即可求解．【詳解】解：如圖，∵多邊形是正五邊形，∴，，，∴，∴，，，∴，，∴，∵，∴， ∴，∵，∴，設(shè)，∴，解得：或（舍去），∴，，∴，∴，∴，∴，同理，∵多邊形是正五邊形，∴，∴，∴，∴，∴正五邊形的面積．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正五邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 三、解答題17．一個布袋里裝有只有顏色不同的3個球，其中2個紅球，1個白球．(1)從中任意摸出一個球，求摸出的是紅球的概率．(2)從中任意摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出一個球，請畫出樹狀圖或列表，并求摸出的2個球中，1個是白球，1個是紅球的概率．【答案】(1)(2)畫出樹狀圖見詳解， 【分析】（1）根據(jù)簡單概率計(jì)算公式即可獲得答案；（2）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的樹狀圖，找出所有等可能結(jié)果，進(jìn)而確定摸出的2個球中，1個是白球，1個是紅球的結(jié)果個數(shù)，然后由概率公式求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知，布袋里裝有只有顏色不同的3個球，其中2個紅球，1個白球，所以從中任意摸出一個球，求摸出的是紅球的概率為；（2）解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)樹狀圖如下，由樹狀圖可知，共有9中等可能結(jié)果，其中摸出的2個球中，1個是白球，1個是紅球的有4種結(jié)果，∴摸出的2個球中，1個是白球，1個是紅球的概率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)概率公式計(jì)算概率以及列舉法求概率，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的樹狀圖是解題關(guān)鍵．18．如圖是一個管道的橫截面，圓心到水面的距離是3，水面寬．(1)求這個管道橫截面的半徑．(2)求的度數(shù)．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，可知是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理即可解；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，連接，是等腰直角三角形，在中，這個管道橫截面的半徑為．（2）解：在等腰直角中，，在等腰直角中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理和勾股定理．19．如圖，把一個矩形劃分成三個全等的小矩形．(1)若原矩形的長，寬．問：每個小矩形與原矩形相似嗎？請說明理由．(2)若原矩形的長，寬，且每個小矩形與原矩形相似，求矩形長與寬應(yīng)滿足的關(guān)系式．【答案】(1)不相似；證明過程見詳解(2) 【分析】（1）根據(jù)劃分后小矩形的長為，寬為，可得，進(jìn)而可判斷結(jié)論；（2）根據(jù)劃分后小矩形的長為，寬為，再根據(jù)每個小矩形與原矩形相似，可得，從而可得與的關(guān)系式．【詳解】（1）解：不相似．理由如下：∵原矩形的長，寬，∴劃分后小矩形的長為，寬為，又∵，即原矩形與每個小矩形的邊不成比例，∴每個小矩形與原矩形不相似．（2）∵原矩形的長，寬，∴劃分后小矩形的長為，寬為，又∵每個小矩形與原矩形相似，∴∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)兩矩形相似得到比例式．20．有一個拋物線形的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為6，橋洞的跨度為12，如圖建立直角坐標(biāo)系．(1)求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)求離對稱軸2處，橋洞離水面的高是多少？【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)拋物線過點(diǎn)，代入即可求解；（2）根據(jù)對稱軸為，得出對稱軸右邊2處為，代入即可求解．【詳解】（1）解：由題意可得，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，∵拋物線過點(diǎn)，∴，解得，∴這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：由題意可知該拋物線的對稱軸為，則對稱軸右邊2處為，將代入，可得，解得，答：離對稱軸2處，橋洞離水面的高是．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是明確題意并求出拋物線的解析式．21．如圖，在等腰中，，，的平分線交邊上的中線于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2) 【分析】根據(jù)平分，可得，再由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，即可求證；（2）根據(jù)勾股定理可得，再由相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）證明∶∵平分，∴，∵，，∴，∵是邊上的中線，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，證明是解題的關(guān)鍵．22．二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點(diǎn)．(1)當(dāng)時，判斷與的大?。?/span>(2)當(dāng)時，求的取值范圍．(3)若此函數(shù)圖像還經(jīng)過點(diǎn)，且，求證：．【答案】(1)(2)(3)答案見解析 【分析】（1）當(dāng)時，分別把代入解析式，計(jì)算出，比較即可；（2）先求出，再根據(jù)，解不等式即可；（3）先求出二次函數(shù)的對稱軸為直線，得，由，計(jì)算可得答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，，；（2），又，，；（3）二次函數(shù)的對稱軸為直線，二次函數(shù)經(jīng)過兩點(diǎn)，，即，，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的對稱軸的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．23．如圖1，在中，為弦，為直徑，且于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．連接，．(1)求證：．(2)若，求的值．(3)如圖2，若的延長線與的交點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，若的半徑為．求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見詳解(2)(3) 【分析】（1）由圓周角定理可得，再根據(jù)，易得，即可證明；（2）連接，設(shè)，則，，由勾股定理可得，，再證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，代入數(shù)值可求得，即可獲得答案；（3）連接，首先證明，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)進(jìn)一步證明為等邊三角形，即有；利用勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)依次求得、、、、等的值，然后由即可獲得答案．【詳解】（1）解：∵為直徑，∴，即，又∵，∴，∴；（2）如下圖，連接，∵，，∴，設(shè)，則，，∴在中，，∴在中，，∵為直徑，且，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴；（3）如下圖，連接，∵的延長線與的交點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，∴，即，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵為直徑，，∴，∴，∴，即為等邊三角形，，∵的半徑為，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、求扇形面積等知識，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵． 

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