1．（3分）的相反數(shù)是
A．B．C．D．3
2．（3分）2022年，溫州市委、市政府決定發(fā)放新一輪消費(fèi)券1200000000元，數(shù)據(jù)1200000000用科學(xué)記數(shù)法表示為
A．B．C．D．
3．（3分）估計的取值范圍是
A．0到1之間B．1到2之間C．2到3之間D．3到4之間
4．（3分）如圖是由一個長方體和一個圓錐組成的幾何體，它的左視圖是
A．B．
C．D．
5．（3分）若，則下列不等式正確的是
A．B．C．D．
6．（3分）如圖，是一副三角板的擺放圖，將一個三角板的角的頂點(diǎn)與另一個三角板的直角頂點(diǎn)重合，，則的大小是
A．B．C．D．
7．（3分）如圖，直線，被直線所截，，，若，則等于
A．B．C．D．
8．（3分）如圖，點(diǎn)，，分別是，，上的點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)，它們將分成6個面積相等的三角形，則，，一定是的
A．高B．中線
C．角平分線D．三邊的垂直平分線
9．（3分）已知一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的和為，這個多邊形的邊數(shù)為
A．9B．10C．11D．12
10．（3分）如圖，在一個由6個圓圈組成的三角形里，把15到20這6個連續(xù)整數(shù)分別填入圖的圓圈中，要求三角形的每條邊上的三個數(shù)的和都相等，那么的最大值是
A．52B．53C．54D．55
二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
11．（3分）因式分解： ．
12．（3分）如圖，為的直徑，點(diǎn)，在圓上，若，則的度數(shù)為 ．
13．（3分）如果，那么一元二次方程必有一個根是 ．
14．（3分）如圖，中，，為中點(diǎn)，在上，且，若，，則邊的長度為 ．
15．（3分）圖1是某種路燈的實物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，為立柱的一部分，燈臂，支架與立柱分別交于，兩點(diǎn)，燈臂與支架交于點(diǎn)，已知，，，則支架的長為 ．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，
16．（3分）學(xué)校招募運(yùn)動會廣播員，從2名男生和1名女生共3名候選人中隨機(jī)選取兩人，則兩人恰好是一男一女的概率是 ．
三、解答題（本大題共有9小題，其72分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答；解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（6分）計算：．
18．（6分）先化簡，再求值：，其中．
19．（6分）下面是小東設(shè)計的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：直線及直線外一點(diǎn)．
求作：直線，使得．
作法：如圖，
①在直線上取一點(diǎn)，作射線，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)；
②在直線上取一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），作射線，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)；
③作直線．所以直線就是所求作的直線．
根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明．
證明： ， ，
（填推理的依據(jù)）．
20．（8分）2021年7月，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》（稱為“雙減”政策），該政策于2021年9月1日正式實施．為落實“雙減”政策，學(xué)校開展了一系列校本課程興趣活動．為了解學(xué)生參加“繪畫”“思維訓(xùn)練”“樂器”“英語演講”四類校本課程的情況，在全校進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，并根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅統(tǒng)計圖（圖1、圖2，信息尚不完整），請根據(jù)圖中提供的信息，解答下面的問題．
（1）此次共調(diào)查了多少名學(xué)生？
（2）將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整，并計算扇形統(tǒng)計圖中“英語演講”部分所占的圓心角的度數(shù)．
（3）如果該校共有1800名學(xué)生，請估計參加思維訓(xùn)練課程的人數(shù)．
（4）李明、王麗兩名同學(xué)都想從“繪畫”“樂器”“思維訓(xùn)練”三類校本課程中選一類，請用列表或畫樹狀圖的方法求出兩名同學(xué)恰好選擇同一類校本課程的概率．
21．（8分）如圖，在中，，是邊上的一點(diǎn)，連接，使，是上的一點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若，的半徑為2，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號和
22．（9分）“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，某糧食生產(chǎn)基地計劃投入一筆資金購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具．已知購進(jìn)2件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具共需3.5萬元，購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和3件乙種農(nóng)機(jī)具共需3萬元．
（1）求購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具各需多少萬元？
（2）若該糧食生產(chǎn)基地計劃購進(jìn)甲、乙兩農(nóng)機(jī)具共10件，且投入資金不少于9.8萬元又不超過12萬元，設(shè)購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具件，則有哪幾種購買方案？哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于國家對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)扶持力度加大，每件甲種農(nóng)機(jī)具降價0.7萬元，每件乙種農(nóng)機(jī)具降價0.2萬元，該糧食生產(chǎn)基地計劃將節(jié)省的資金全部用于再次購買甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具（可以只購買一種）請直接寫出再次購買農(nóng)機(jī)具的方案有哪幾種？
23．（9分）在菱形中，對角線、相交于點(diǎn)，過點(diǎn)直線分別交、的延長線于點(diǎn)、，連接、．
（1）求證：；
（2）若，判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（3）若，垂足為，，求的值．
24．（10分）定義：將點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)稱為的反轉(zhuǎn)點(diǎn)，連接形成的直線稱為反轉(zhuǎn)線，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)時的反轉(zhuǎn)線稱為完美直線，它們的交點(diǎn)叫完美點(diǎn)．
（1）已知函數(shù)的解析式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，試求出點(diǎn)變換后得到的反轉(zhuǎn)線；
（2）已知函數(shù)的解析式為，點(diǎn)為軸上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，經(jīng)過變換后可以得到完美直線，且完美點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離為，求這條完美直線的解析式；
（3）已知為直線上一動點(diǎn)，函數(shù)的解析式為，點(diǎn)經(jīng)過變換后得到的反轉(zhuǎn)線是完美直線，且有兩個完美點(diǎn)，，當(dāng)時，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．
25．（10分）已知拋物線交軸負(fù)、正半軸于、兩點(diǎn)，交軸與點(diǎn)，且，的外接圓的圓心為．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）在段的拋物線上是否存在一點(diǎn)，使，若存在請求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由；
（3）圓上是否存在點(diǎn)，使與相似？若存在，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
2022年湖南省長沙市長郡教育集團(tuán)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（四）
參考答案與試題解析
一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的，請在答題卡中填涂符合題意的選項，本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）的相反數(shù)是
A．B．C．D．3
【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可．
【解答】解：的相反數(shù)是．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“”號；一個正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．
2．（3分）2022年，溫州市委、市政府決定發(fā)放新一輪消費(fèi)券1200000000元，數(shù)據(jù)1200000000用科學(xué)記數(shù)法表示為
A．B．C．D．
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負(fù)整數(shù)．
【解答】解：．
故選：．
【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
3．（3分）估計的取值范圍是
A．0到1之間B．1到2之間C．2到3之間D．3到4之間
【分析】根據(jù)平方運(yùn)算先估算的值，然后在進(jìn)行計算即可解答．
【解答】解：，
，
，
估計的取值范圍是1到2之間，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握平方運(yùn)算估算無理數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）如圖是由一個長方體和一個圓錐組成的幾何體，它的左視圖是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．
【解答】解：從左邊看，底層是一個矩形，上層是一個等腰梯形，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖．
5．（3分）若，則下列不等式正確的是
A．B．C．D．
【分析】利用不等式的性質(zhì)對各選項進(jìn)行判斷．
【解答】解：，
；；，．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)．應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)時，一定要改變不等號的方向；當(dāng)不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時，一定要對字母是否大于0進(jìn)行分類討論．
6．（3分）如圖，是一副三角板的擺放圖，將一個三角板的角的頂點(diǎn)與另一個三角板的直角頂點(diǎn)重合，，則的大小是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意可求得，再由可求得的度數(shù)．
【解答】解：由題意得：，，
，
，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查余角，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．
7．（3分）如圖，直線，被直線所截，，，若，則等于
A．B．C．D．
【分析】先根據(jù)補(bǔ)角的定義求出的度數(shù)，再由求出的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：，
．
，
．
，
．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點(diǎn)為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
8．（3分）如圖，點(diǎn)，，分別是，，上的點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)，它們將分成6個面積相等的三角形，則，，一定是的
A．高B．中線
C．角平分線D．三邊的垂直平分線
【分析】根據(jù)，得到，同理得到答案．
【解答】解：，
，
是的中線，
同理，、也是的中線，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的中線的性質(zhì)，掌握三角形的一條中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）已知一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的和為，這個多邊形的邊數(shù)為
A．9B．10C．11D．12
【分析】依題意，多邊形的內(nèi)角與外角和為，多邊形的外角和為，根據(jù)內(nèi)角和公式求出多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意列方程得，
，
，
．
故選：．
【點(diǎn)評】考查了多邊形的外角和定理和內(nèi)角和定理，熟練記憶多邊形的內(nèi)角和公式是解答本題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，在一個由6個圓圈組成的三角形里，把15到20這6個連續(xù)整數(shù)分別填入圖的圓圈中，要求三角形的每條邊上的三個數(shù)的和都相等，那么的最大值是
A．52B．53C．54D．55
【分析】根據(jù)三角形的每條邊上的三個數(shù)的和都相等，把15到20這6個數(shù)較大的三個數(shù)放在三個頂點(diǎn)處即可求解．
【解答】解：將18、19、20填入三角形的三個頂點(diǎn)處，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的加法，解決本題的關(guān)鍵是把較大的三個數(shù)放到三個頂點(diǎn)處．
二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
11．（3分）因式分解： ．
【分析】根據(jù)因式分解的定義，用提公因式法得．
【解答】解：．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查提公因式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握公因式的找法是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，為的直徑，點(diǎn)，在圓上，若，則的度數(shù)為 26 ．
【分析】連接，先利用同弧所對的圓周角相等求出，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出，最后利用直角三角形兩銳角互余進(jìn)行計算即可解答．
【解答】解：連接，
，
，
為的直徑，
，
，
故答案為：26．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）如果，那么一元二次方程必有一個根是 1 ．
【分析】由滿足，可得：當(dāng)時，有．故問題可求．
【解答】解：由題意，一元二次方程滿足，
當(dāng)時，代入方程，有；
綜上可知，方程必有一根為1．
故答案為：1．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解．此類題目的解法是常常將1或或0代入方程，來推理判斷方程系數(shù)的關(guān)系．
14．（3分）如圖，中，，為中點(diǎn)，在上，且，若，，則邊的長度為 ．
【分析】首先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知，再利用勾股定理求出，再次利用勾股定理得出答案．
【解答】解：為中點(diǎn)，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）圖1是某種路燈的實物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，為立柱的一部分，燈臂，支架與立柱分別交于，兩點(diǎn)，燈臂與支架交于點(diǎn)，已知，，，則支架的長為 49 ．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，
【分析】如圖2，過作于，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
【解答】解：如圖2，過作于，
則，
，，
，
，
，
，
故答案為49．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于中等題型．
16．（3分）學(xué)校招募運(yùn)動會廣播員，從2名男生和1名女生共3名候選人中隨機(jī)選取兩人，則兩人恰好是一男一女的概率是 ．
【分析】列表展示所有等可能的結(jié)果數(shù)，再找出恰好為一男一女的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解答】解：列表如下：
由表知，共有6種等可能結(jié)果，其中兩人恰好是一男一女的有4種結(jié)果，
所以兩人恰好是一男一女的概率為，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式計算事件或事件的概率．
三、解答題（本大題共有9小題，其72分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答；解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（6分）計算：．
【分析】先計算、，再算乘法和，最后算加減．
【解答】解：原式
．
【點(diǎn)評】本題考查了實數(shù)的運(yùn)算，掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、立方根的意義及特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．
18．（6分）先化簡，再求值：，其中．
【分析】先算除法，再算乘法．將分式因式分解后約分，然后進(jìn)行通分，最后代入數(shù)值計算．
【解答】解：原式
．
當(dāng)時，原式．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的化簡求值，熟悉因式分解及分式的除法是解題的關(guān)鍵．
19．（6分）下面是小東設(shè)計的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：直線及直線外一點(diǎn)．
求作：直線，使得．
作法：如圖，
①在直線上取一點(diǎn)，作射線，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)；
②在直線上取一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），作射線，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)；
③作直線．所以直線就是所求作的直線．
根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明．
證明： ， ，
（填推理的依據(jù)）．
【分析】（1）根據(jù)題目要求作出圖形即可；
（2）利用三角形中位線定理證明即可；
【解答】（1）解：直線如圖所示；
（2）證明：，，
（三角形中位線定理）．
故答案為：，，三角形中位線定理；
【點(diǎn)評】本題考查作圖復(fù)雜作圖，平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
20．（8分）2021年7月，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》（稱為“雙減”政策），該政策于2021年9月1日正式實施．為落實“雙減”政策，學(xué)校開展了一系列校本課程興趣活動．為了解學(xué)生參加“繪畫”“思維訓(xùn)練”“樂器”“英語演講”四類校本課程的情況，在全校進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，并根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅統(tǒng)計圖（圖1、圖2，信息尚不完整），請根據(jù)圖中提供的信息，解答下面的問題．
（1）此次共調(diào)查了多少名學(xué)生？
（2）將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整，并計算扇形統(tǒng)計圖中“英語演講”部分所占的圓心角的度數(shù)．
（3）如果該校共有1800名學(xué)生，請估計參加思維訓(xùn)練課程的人數(shù)．
（4）李明、王麗兩名同學(xué)都想從“繪畫”“樂器”“思維訓(xùn)練”三類校本課程中選一類，請用列表或畫樹狀圖的方法求出兩名同學(xué)恰好選擇同一類校本課程的概率．
【分析】（1）根據(jù)繪畫的人數(shù)和所占的百分比即可得出答案；
（2）先求出英語演講的人數(shù)，再補(bǔ)全統(tǒng)計圖，然后用乘以“英語演講”部分所占的百分比，即可得出扇形統(tǒng)計圖中“英語演講”部分所占的圓心角的度數(shù)；
（3）用該校的總?cè)藬?shù)乘以思維訓(xùn)練課程的人數(shù)所占的百分比即可；
（4）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出兩名同學(xué)恰好選擇同一類校本課程的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）此次共調(diào)查的學(xué)生數(shù)是：（名；
（2）英語演講的人數(shù)有：（人，
補(bǔ)全統(tǒng)計圖如下：
扇形統(tǒng)計圖中“英語演講”部分所占的圓心角的度數(shù)是：；
（3）根據(jù)題意得：
（人，
答：估計參加思維訓(xùn)練課程的人數(shù)有360人；
（4）“繪畫”“樂器”“思維訓(xùn)練”三類校本課程分別用1、2、3表示，
根據(jù)題意畫圖如下：
共有9種等可能的情況數(shù)，其中兩名同學(xué)恰好選擇同一類校本課程的有3種，
則兩名同學(xué)恰好選擇同一類校本課程的概率是．
【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了統(tǒng)計圖和用樣本估計總體．
21．（8分）如圖，在中，，是邊上的一點(diǎn)，連接，使，是上的一點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若，的半徑為2，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號和
【分析】（1）由得，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，而，所以，由于，所以，則可根據(jù)切線的判定定理得到是的切線；
（2）由得到，，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得，然后利用陰影部分的面積
和扇形的面積公式求解．
【解答】（1）證明：連接，
，
，
，
而，
，
，
，
，
是的切線；
（2）解：，
，，
在中，，
，
陰影部分的面積
．
【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了扇形面積的計算．
22．（9分）“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，某糧食生產(chǎn)基地計劃投入一筆資金購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具．已知購進(jìn)2件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具共需3.5萬元，購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和3件乙種農(nóng)機(jī)具共需3萬元．
（1）求購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具各需多少萬元？
（2）若該糧食生產(chǎn)基地計劃購進(jìn)甲、乙兩農(nóng)機(jī)具共10件，且投入資金不少于9.8萬元又不超過12萬元，設(shè)購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具件，則有哪幾種購買方案？哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于國家對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)扶持力度加大，每件甲種農(nóng)機(jī)具降價0.7萬元，每件乙種農(nóng)機(jī)具降價0.2萬元，該糧食生產(chǎn)基地計劃將節(jié)省的資金全部用于再次購買甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具（可以只購買一種）請直接寫出再次購買農(nóng)機(jī)具的方案有哪幾種？
【分析】（1）設(shè)購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具萬元，乙種農(nóng)機(jī)具萬元．由題意：1件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具共需3.5萬元，1件甲種農(nóng)機(jī)具和3件乙種農(nóng)機(jī)具共需3萬元，列出方程組求解即可．
（2）根據(jù)甲、乙兩農(nóng)機(jī)具共10件，且投入資金不少于9.8萬元又不超過12萬元，列出不等式組求解．總資金甲農(nóng)機(jī)具的總費(fèi)用乙農(nóng)機(jī)具的總費(fèi)用；
（3）設(shè)節(jié)省的資金用于再次購買甲種農(nóng)機(jī)具件，乙種農(nóng)機(jī)具件，由題意得，求出其整數(shù)解即可得出結(jié)果．
【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具萬元，1件乙種農(nóng)機(jī)具萬元．
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具1.5萬元，1件乙種農(nóng)機(jī)具0.5萬元．
（2）設(shè)購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具件，購進(jìn)乙種農(nóng)機(jī)具件，
根據(jù)題意得：，
解得：．
為整數(shù)．
可取5、6、7．
有三種方案：
方案一：購買甲種農(nóng)機(jī)具5件，乙種農(nóng)機(jī)具5件．
方案二：購買甲種農(nóng)機(jī)具6件，乙種農(nóng)機(jī)具4件．
方案三：購買甲種農(nóng)機(jī)具7件，乙種農(nóng)機(jī)具3件．
設(shè)總資金為萬元．
．
，
隨著的減少而減少，
時，（萬元）．
方案一需要資金最少，最少資金是10萬元．
（3）設(shè)節(jié)省的資金用于再次購買甲種農(nóng)機(jī)具件，乙種農(nóng)機(jī)具件，
由題意得：，
其整數(shù)解：或，
節(jié)省的資金全部用于再次購買農(nóng)機(jī)具的方案有兩種：
方案一：購買甲種農(nóng)機(jī)具0件，乙種農(nóng)機(jī)具15件．
方案二：購買甲種農(nóng)機(jī)具3件，乙種農(nóng)機(jī)具7件．
【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題列出等式關(guān)系式即可求解．考察一元一次不等式組的應(yīng)用，利用題目的已知條件列出不等式關(guān)系式．利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．
23．（9分）在菱形中，對角線、相交于點(diǎn)，過點(diǎn)直線分別交、的延長線于點(diǎn)、，連接、．
（1）求證：；
（2）若，判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（3）若，垂足為，，求的值．
【分析】（1）由證即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得，再證四邊形是平行四邊形，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)，，，則，由三角形面積得，再由勾股定理得，，進(jìn)而得，即可解決問題．
【解答】（1）證明：四邊形是菱形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：四邊形是矩形，理由如下：
由（1）可知，，
，
四邊形是菱形，
四邊形是平行四邊形，
，
平行四邊形是矩形；
（3）解：，
，
四邊形是菱形，
，，
設(shè)，，，則，
，
，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理得：，
即，
整理得：，
，
在中，根據(jù)勾股定理得：，
，
，
整理得：，
解得：或（不符合題意舍去），
（負(fù)值已舍去），
（負(fù)值已舍去），
，
，
，
即的值為．
【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題目，考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．
24．（10分）定義：將點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)稱為的反轉(zhuǎn)點(diǎn)，連接形成的直線稱為反轉(zhuǎn)線，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)時的反轉(zhuǎn)線稱為完美直線，它們的交點(diǎn)叫完美點(diǎn)．
（1）已知函數(shù)的解析式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，試求出點(diǎn)變換后得到的反轉(zhuǎn)線；
（2）已知函數(shù)的解析式為，點(diǎn)為軸上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，經(jīng)過變換后可以得到完美直線，且完美點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離為，求這條完美直線的解析式；
（3）已知為直線上一動點(diǎn)，函數(shù)的解析式為，點(diǎn)經(jīng)過變換后得到的反轉(zhuǎn)線是完美直線，且有兩個完美點(diǎn)，，當(dāng)時，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．
【分析】（1）由反轉(zhuǎn)線的定義，應(yīng)用待定系數(shù)法，即可求解；
（2）設(shè)，則它的反轉(zhuǎn)點(diǎn)，得直線的解析式是，解方程組得的坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)的距離公式求出的值，即可解決問題；
（3）設(shè)，，得的坐標(biāo)是，設(shè)完美直線的解析式是，得的解析式是，由得，應(yīng)用兩點(diǎn)的距離公式，可解決問題．
【解答】解：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是，
點(diǎn)的反轉(zhuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是，
設(shè)反轉(zhuǎn)線的解析式是，
把，代入，得，
，
點(diǎn)變換后得到的反轉(zhuǎn)線的解析式是．
（2）設(shè)，則它的反轉(zhuǎn)點(diǎn)，
直線的解析式是，
解方程組得，
點(diǎn)的坐標(biāo)是，，
，
或，
完美直線的解析式是或．
（3）是直線上的一點(diǎn)，
設(shè)，，
的坐標(biāo)是，
設(shè)完美直線的解析式是，
把，代入得，
，
的解析式是，
由得，
經(jīng)過變換后得到的反轉(zhuǎn)線是完美直線，且有兩個完美點(diǎn)，，
△，
，
設(shè)，，，，
，，，
，
，
，
，
，
點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合題，關(guān)鍵是掌握題目中的定義“反轉(zhuǎn)線”，“完美直線”．
25．（10分）已知拋物線交軸負(fù)、正半軸于、兩點(diǎn)，交軸與點(diǎn)，且，的外接圓的圓心為．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）在段的拋物線上是否存在一點(diǎn)，使，若存在請求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由；
（3）圓上是否存在點(diǎn)，使與相似？若存在，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法直接求出拋物線解析式；
（2）利用三角形的面積建立方程，解方程即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）先判斷出三角形是直角三角形，進(jìn)而得出是的直徑的一個端點(diǎn)，再分兩種情況即可求解．
【解答】解：（1）拋物線交軸與點(diǎn)，
，
，
，
，
，
代入解析式得，解得，
該二次函數(shù)的解析式為；
（2）存在．
二次函數(shù)的解析式為，，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，解得，
直線的解析式為，
設(shè)．
點(diǎn)在段的拋物線上，如圖，
過作軸于，
則：，
（舍去）或，
點(diǎn)坐標(biāo)為，；
（3）存在；如圖，
拋物線，
，
，
，
的垂直平分線是拋物線的對稱軸，
是直角三角形，與相似，
是直角三角形，
不是直徑，
點(diǎn)是的直徑的一個端點(diǎn)，
①當(dāng)是直角，則是直徑，
，
，
，
，，
，
設(shè)點(diǎn)，
，或（舍去），
，
，
直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)，
，或（舍去），
；
②當(dāng)時，同①的方法即可得出
即：滿足條件的，．
【點(diǎn)評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是求出直線解析式，是一道中等難度的中考常考題．
男
男
女
男
（男，男）
（女，男）
男
（男，男）
（女，男）
女
（男，女）
（男，女）

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