?2022-2023學(xué)年浙江省金華市東陽市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：（本題共30分，每小題3分）
1．（3分）若，則的值為　　
A． B． C． D．
2．（3分）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是　　
A．水落石出 B．水漲船高 C．水滴石穿 D．水中撈月
3．（3分）拋物線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是　　
A． B． C． D．
4．（3分）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，，則的度數(shù)是　　

A． B． C． D．
5．（3分）若把拋物線向右平移2個(gè)單位，則所得拋物線的表達(dá)式為　　
A． B． C． D．
6．（3分）如圖，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，與交于點(diǎn)，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)、，作直線，分別交、于點(diǎn)、，則的長度為　　

A． B．3 C． D．
7．（3分）如圖，半徑為5的圓中，弦、所對的圓心角分別是、，已知，，則弦的弦心距等于　　

A．3 B． C．4 D．
8．（3分）如圖，在等腰三角形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若以為直徑作圓，則下列判斷正確的是　　

A．點(diǎn)一定在外 B．點(diǎn)一定在上
C．點(diǎn)一定在外 D．點(diǎn)一定在上
9．（3分）點(diǎn)，都在二次函數(shù)的圖象上．若，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
10．（3分）如圖①，在中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)一周．若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的長度為，與的函數(shù)圖象如圖②所示．當(dāng)恰好是的一條三等分線時(shí)，的值為　　

A．或5 B．或6 C．或5 D．或6
二、用心填一填（本題24分，每小題4分）
11．（4分）已知線段，，則、的比例中項(xiàng)為 　　．
12．（4分）二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為　?。?br /> 13．（4分）已知扇形所在的圓半徑為，面積為，則扇形圓心角的度數(shù)為　?。?br /> 14．（4分）如圖，、分別與相切于點(diǎn)，，連結(jié)并延長與交于點(diǎn)、，若，，則的值為 　?。?br />
15．（4分）已知函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為 　?。?br /> 16．（4分）綜合實(shí)踐課上，小聰把一張長方形紙片沿著虛線剪開，如圖①所示，把得到的兩張紙片如圖②擺放，紙片△較小銳角的頂點(diǎn)在上，較長直角邊與斜邊分別交邊于點(diǎn)，．以點(diǎn)與重合，且為初始位置，把△沿著方向平移，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立刻繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖③，直到點(diǎn)與點(diǎn)重合停止．為了探求與之間的變化關(guān)系，設(shè)，請用含的代數(shù)式表示．
（1）在平移過程中，　　，
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，　　．


三、細(xì)心答一答（本題共66分）
17．（6分）計(jì)算：
18．（6分）“石頭、剪子、布“是一個(gè)廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人都做出“石頭““剪刀““布“3種手勢中的1種，其中“石頭“贏“剪子“，“剪子“贏“布“，“布“贏“石頭“，手勢相同不分輸贏．假設(shè)甲、乙兩人每次都隨意并且同時(shí)做出3種手勢中的1種．
（1）甲每次出“石頭“的概率為 　?。?br /> （2）用畫樹狀圖或列表的方法，求乙贏的概率．
19．（6分）在學(xué)過平面鏡成像知識后，小慧在房頂安裝一平面鏡如圖所示，與墻面所成的角正，房高，房頂與水平地面平行，小慧坐在點(diǎn)的正下方處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處．
（1）求的度數(shù)．
（2）能看到的最遠(yuǎn)處到她的距離是多少？（結(jié)果精確到0．，參考數(shù)據(jù)：，，

20．（8分）如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，且與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)
（1）求二次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）判斷原點(diǎn)是否在二次函數(shù)的圖象上，并說明理由；
（3）根據(jù)圖象直接寫出二次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值時(shí)自變量的取值范圍．

21．（8分）如圖，是的外接圓，點(diǎn)在邊上，的平分線交于點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)作的平行線，與的延長線相交于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求線段的長．

22．（10分）某超市以每件13元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，銷售時(shí)該商品的銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且不高于18元．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量（件與銷售單價(jià)（元之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．
（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該超市每天銷售這種商品所獲的利潤最大？最大利潤是多少？

23．（10分）在矩形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，，將矩形沿直線折疊，使點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，如圖1．
（1）求證：；
（2）點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作、，以、為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，如圖2．
①求平行四邊形的周長．
②當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，求出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長．


24．（12分）如圖1，已知拋物線交軸于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物經(jīng)過點(diǎn)、，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線和直線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）如圖2，過點(diǎn)作上交拋物線第一象限部分于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）拋物線與在第一象限內(nèi)的圖象記為“圖象”，過點(diǎn)作軸交圖象于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使與相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)．




2022-2023學(xué)年浙江省金華市東陽市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本題共30分，每小題3分）
1．（3分）若，則的值為　　
A． B． C． D．
【分析】內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積，依據(jù)比例的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：，
，
．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積是關(guān)鍵．
2．（3分）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是　　
A．水落石出 B．水漲船高 C．水滴石穿 D．水中撈月
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷．
【解答】解：、水落石出，是必然事件，不符合題意；
、水漲船高，是必然事件，不符合題意；
、水滴石穿，是必然事件，不符合題意；
、水中撈月，是不可能事件，符合題意；
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
3．（3分）拋物線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是　　
A． B． C． D．
【分析】此題令，可確定拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：令，得，故拋物線與軸交于．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．令，可確定拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
4．（3分）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，，則的度數(shù)是　　

A． B． C． D．
【分析】方法一：根據(jù)圓周角定理可以得到的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和可以求得的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，即可得到的度數(shù)．
方法二：根據(jù)是的直徑，可以得到，再根據(jù)和三角形內(nèi)角和，可以得到的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，即可得到的度數(shù)．
【解答】解：方法一：連接，如圖所示，
，
，
，
，
，
，
四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
，
，
故選：．
方法二：是的直徑，
，
，
，
四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
，
，
故選：．

【點(diǎn)評】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
5．（3分）若把拋物線向右平移2個(gè)單位，則所得拋物線的表達(dá)式為　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的規(guī)律直接求得．
【解答】解：因?yàn)閽佄锞€向右平移2個(gè)單位，得：，
故所得拋物線的表達(dá)式為．
故選：．
【點(diǎn)評】主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．
6．（3分）如圖，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，與交于點(diǎn)，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)、，作直線，分別交、于點(diǎn)、，則的長度為　　

A． B．3 C． D．
【分析】由題意得，，直線為線段的垂直平分線，由勾股定理得，進(jìn)而可得，證明，可得，即，求出，即可得出答案．
【解答】解：由題意得，，直線為線段的垂直平分線，
，，，
，
，
，
，，
，
，即，
解得：．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查作圖基本作圖、勾股定理、線段垂直平分線、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，半徑為5的圓中，弦、所對的圓心角分別是、，已知，，則弦的弦心距等于　　

A．3 B． C．4 D．
【分析】作于，作直徑，連接，先利用等角的補(bǔ)角相等得到，再利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到，由，根據(jù)垂徑定理得，易得為的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到．
【解答】解：作于，作直徑，連接，如圖，

，
而，
，
，
，
，
，
而，
為的中位線，
．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理和三角形中位線性質(zhì)．
8．（3分）如圖，在等腰三角形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若以為直徑作圓，則下列判斷正確的是　　

A．點(diǎn)一定在外 B．點(diǎn)一定在上
C．點(diǎn)一定在外 D．點(diǎn)一定在上
【分析】如圖，作于，于．則以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)，．顯然點(diǎn)在外．由此即可判斷；
【解答】解：如圖，作于，于．則以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)，．顯然點(diǎn)在外．

點(diǎn)的位置無法確定，可能在上，可能在內(nèi)，可能在外．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
9．（3分）點(diǎn)，都在二次函數(shù)的圖象上．若，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)列出關(guān)于的不等式即可解得答案．
【解答】解：點(diǎn)，都在二次函數(shù)的圖象上，
，
，
，
，
，
即，
，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知列出關(guān)于的不等式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大．
10．（3分）如圖①，在中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)一周．若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的長度為，與的函數(shù)圖象如圖②所示．當(dāng)恰好是的一條三等分線時(shí)，的值為　　

A．或5 B．或6 C．或5 D．或6
【分析】根據(jù)圖②可知，，再根據(jù)，是的三等分線，可以證明，求出的長，即可求出答案．
【解答】解：如圖①，，是的三等分線，

根據(jù)圖②可知，，
，，
，
，
，
同理，
，，
，
，
，
或（負(fù)值舍去），
，，
當(dāng)恰好是的一條三等分線時(shí)，的值為或6．
故選：．
【點(diǎn)評】本題是動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
二、用心填一填（本題24分，每小題4分）
11．（4分）已知線段，，則、的比例中項(xiàng)為 　2?。?br /> 【分析】設(shè)線段是線段，的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列出等式，利用兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積即可得出答案．
【解答】解：設(shè)線段是線段，的比例中項(xiàng)，
，，
，
，
或（舍去）．
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題主要考查比例線段，關(guān)鍵是根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列出等式．
12．（4分）二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為　?。?br /> 【分析】由二次函數(shù)的解析式可求得答案．
【解答】解：
，
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在中，對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
13．（4分）已知扇形所在的圓半徑為，面積為，則扇形圓心角的度數(shù)為　?。?br /> 【分析】設(shè)扇形的圓心角是，根據(jù)扇形的面積公式即可得到一個(gè)關(guān)于的方程， 解方程即可求解 ．
【解答】解： 設(shè)扇形的圓心角是，根據(jù)扇形的面積公式得：，
解得．
故答案為：
【點(diǎn)評】本題考查了扇形的面積公式， 正確理解公式是關(guān)鍵 ．
14．（4分）如圖，、分別與相切于點(diǎn)，，連結(jié)并延長與交于點(diǎn)、，若，，則的值為 　?。?br />
【分析】連接、，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)正弦的定義計(jì)算即可．
【解答】解：連接、，
與相切于點(diǎn)，
，
，
由圓周角定理得：，
、分別與相切于點(diǎn)、，
，，
，
，
，
故答案為：．

【點(diǎn)評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．
15．（4分）已知函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為 　1或　．
【分析】函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，分情況討論，①過坐標(biāo)原點(diǎn)，，，②與、軸各一個(gè)交點(diǎn)，得出△，．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，，與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，
①過坐標(biāo)原點(diǎn)，，，
②與、軸各一個(gè)交點(diǎn)，
△，，
，
解得（舍去）或，
綜上所述：的值為1或．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)的情況，看清題意，分情況討論是解題關(guān)鍵．
16．（4分）綜合實(shí)踐課上，小聰把一張長方形紙片沿著虛線剪開，如圖①所示，把得到的兩張紙片如圖②擺放，紙片△較小銳角的頂點(diǎn)在上，較長直角邊與斜邊分別交邊于點(diǎn)，．以點(diǎn)與重合，且為初始位置，把△沿著方向平移，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立刻繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖③，直到點(diǎn)與點(diǎn)重合停止．為了探求與之間的變化關(guān)系，設(shè)，請用含的代數(shù)式表示．
（1）在平移過程中，　　，
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，　?。?br />

【分析】（1）解△，求得，進(jìn)而得出結(jié)果；
（2）先拜表示出的長，進(jìn)而根據(jù)得出的長，進(jìn)一步得出結(jié)果．
【解答】解：（1）在△中，，，
，
，
故答案為：；
（2）如圖1，

當(dāng)時(shí)，
作于，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
如圖2，

當(dāng)時(shí)，
方法同上得出，
，
故答案：．
【點(diǎn)評】本題考查了矩形性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識．
三、細(xì)心答一答（本題共66分）
17．（6分）計(jì)算：
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案．
【解答】解：原式

．
【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
18．（6分）“石頭、剪子、布“是一個(gè)廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人都做出“石頭““剪刀““布“3種手勢中的1種，其中“石頭“贏“剪子“，“剪子“贏“布“，“布“贏“石頭“，手勢相同不分輸贏．假設(shè)甲、乙兩人每次都隨意并且同時(shí)做出3種手勢中的1種．
（1）甲每次出“石頭“的概率為 　?。?br /> （2）用畫樹狀圖或列表的方法，求乙贏的概率．
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）甲每次做出“石頭”手勢的概率為；
故答案為：；
（2）畫樹狀圖得：

共有9種等可能的情況數(shù)，其中乙贏的有3種，
則乙贏的概率是．
【點(diǎn)評】本題考查的是用列舉法求概率，解答此題的關(guān)鍵是列出可能出現(xiàn)的所有情況，用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
19．（6分）在學(xué)過平面鏡成像知識后，小慧在房頂安裝一平面鏡如圖所示，與墻面所成的角正，房高，房頂與水平地面平行，小慧坐在點(diǎn)的正下方處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處．
（1）求的度數(shù)．
（2）能看到的最遠(yuǎn)處到她的距離是多少？（結(jié)果精確到0．，參考數(shù)據(jù)：，，

【分析】（1）連接，過點(diǎn)作，根據(jù)題意可得，，，，從而利用平行線的性質(zhì)求出，進(jìn)而求出，即可得出答案；
（2）在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）連接，過點(diǎn)作，
由題意得：
，，，，
，
，
；

（2）在中，（米，
答：能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處到他的距離約為11.8米．

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，且與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)
（1）求二次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）判斷原點(diǎn)是否在二次函數(shù)的圖象上，并說明理由；
（3）根據(jù)圖象直接寫出二次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值時(shí)自變量的取值范圍．

【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)為，設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，關(guān)鍵待定系數(shù)法即可求得；
（2）把代入二次函數(shù)的解析式即可判斷；
（3）由兩函數(shù)的圖象直接寫出的取值范圍即可．
【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)為，
經(jīng)過點(diǎn)
，
，
二次函數(shù)的解析式為，
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，
二次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)
，
反比例函數(shù)的解析式為；
（2）把代入，得，
原點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上；
（3）由圖象可知，二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)為，
當(dāng)或時(shí)二次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值．
【點(diǎn)評】本題是一道函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和求二次函數(shù)的解析式，由圖象特征確定自變量的取值范圍．
21．（8分）如圖，是的外接圓，點(diǎn)在邊上，的平分線交于點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)作的平行線，與的延長線相交于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求線段的長．

【分析】（1）由直徑所對的圓周角為直角得到為直角，再由為角平分線，得到一對角相等，根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍及等量代換確定出為直角，與平行線中的一條垂直，與另一條也垂直得到與垂直，即可得證；
（2）由與平行，得到一對同位角相等，再由同弧所對的圓周角相等及等量代換得到，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得到一對角相等，利用兩對角相等的三角形相似；由三角形為直角三角形，利用勾股定理求出的長，再由垂直平分，得到，相似三角形的性質(zhì)，得比例，求出所求即可．
【解答】（1）證明：圓心在上，
是圓的直徑，
，
連接，

平分，
，
，
，即，
，
，
為圓的半徑，
是圓的切線；
（2），
，
，
，
，，
，
；
為直角三角形，
，
，
垂直平分，
，
為圓的直徑，
，
在中，，即，
，
，
，
則．
法二，作，

在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，熟練掌握各自的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
22．（10分）某超市以每件13元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，銷售時(shí)該商品的銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且不高于18元．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量（件與銷售單價(jià)（元之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．
（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該超市每天銷售這種商品所獲的利潤最大？最大利潤是多少？

【分析】（1）設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)利潤單件利潤銷售量列出函數(shù)解析式，然后由函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍求出函數(shù)最值．
【解答】解：（1）設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
由所給函數(shù)圖象可知：，
解得：，
故與的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）設(shè)每天銷售這種商品所獲的利潤為，
，


，
，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為700，
售價(jià)定為18元件時(shí)，每天最大利潤為700元．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)利潤單件利潤銷售量列出函數(shù)解析式．
23．（10分）在矩形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，，將矩形沿直線折疊，使點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，如圖1．
（1）求證：；
（2）點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作、，以、為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，如圖2．
①求平行四邊形的周長．
②當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，求出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長．


【分析】（1）證明即可解決問題；
（2）①如圖2中，連接，作于，則四邊形是矩形．利用面積法證明，利用勾股定理求出即可解決問題；
②過點(diǎn)作交于，延長交于，延長交于，連接，如圖3，可證得：，，，推出，如圖4，同理可得：，進(jìn)而得出：點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為平行于點(diǎn)的線段，，運(yùn)用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）證明：如圖1中，

四邊形是矩形，
，
，
由翻折可知：，
，
．
（2）解：①如圖2中，連接，作于，則四邊形是矩形，．

，，
，，
在中，，，，
，
，，，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
四邊形的周長．
②過點(diǎn)作交于，延長交于，延長交于，連接，如圖3，

，，四邊形是平行四邊形，
，，，
由（1）知：，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，即，
，
，
如圖4，同理可得：，

即：點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為平行于點(diǎn)的線段，為中邊上的高的垂足，為中邊上的高的垂足，
，
，
，
由①知：，，，
，
在中，，
則：，即：，
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為．
【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)和判定，翻折變換的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的周長，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形，學(xué)會(huì)利用面積法證明線段之間的關(guān)系，屬于中考壓軸題．
24．（12分）如圖1，已知拋物線交軸于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物經(jīng)過點(diǎn)、，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線和直線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）如圖2，過點(diǎn)作上交拋物線第一象限部分于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）拋物線與在第一象限內(nèi)的圖象記為“圖象”，過點(diǎn)作軸交圖象于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使與相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)．



【分析】（1）由求出，，，再用待定系數(shù)法可得拋物線的函數(shù)表達(dá)式，直線解析式為；
（2）過作軸交于，由是等腰直角三角形，知面積最大時(shí)最大，此時(shí)最大，設(shè)，即得，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；
（3）由（2）知是等腰直角三角形，當(dāng)與相似時(shí)，為等腰直角三角形，由，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，此時(shí)與縱坐標(biāo)相等，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，解方程即可解得答案．
【解答】解：（1）在中，令得或，令得，
，，，
把，代入得：
，
解得，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式，
設(shè)直線解析式為，把代入得：
，
解得，
直線解析式為；
（2）過作軸交于，如圖：

，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
面積最大時(shí)最大，
軸，
，
是等腰直角三角形，
最大時(shí)，最大，即最大時(shí)，面積最大，
設(shè)，則，
，
當(dāng)時(shí)，最大為，
，，此時(shí)，
面積的最大值為；
（3）存在點(diǎn)，使與相似，理由如下：
由（2）知是等腰直角三角形，當(dāng)與相似時(shí)，為等腰直角三角形，
軸，
，
當(dāng)時(shí)，如圖：

此時(shí)與縱坐標(biāo)相等，
在中，令得或，
，此時(shí)的橫坐標(biāo)為2，
在中，令得或（此時(shí)不在第一象限，舍去），
的橫坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，如圖：

設(shè)，則，
，
，，
△是等腰直角三角形，
，
解得（舍去）或或（此時(shí)不在第一象限，舍去），
的橫坐標(biāo)為1，
同理可得的橫坐標(biāo)為，
綜上所述，的橫坐標(biāo)為2或或1或．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，相似三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．

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