?2022-2023學(xué)年湖北省武漢一中八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：（10小題，每題3分，共30分）
1．（3分）在①角、②等邊三角形、③平行四邊形、④梯形中是軸對稱圖形的是　　
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
2．（3分）已知三角形的三邊長分別為2，4，，則的值不可能的是　　
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（3分）下面計算正確的是　　
A． B．
C． D．
4．（3分）點關(guān)于軸的對稱點的坐標是　　
A． B． C． D．
5．（3分）下列分式從左到右變形錯誤的是　　
A． B．
C． D．
6．（3分）如圖，下列各組條件中，不能得到的是　　

A．， B．，
C．， D．，
7．（3分）已知：，，則用、可以表示為　　
A． B． C． D．
8．（3分）下列說法錯誤的是　　
A．當(dāng)時，分式無意義
B．當(dāng)時，分式的值為正數(shù)
C．當(dāng)分式時，
D．分式與的最簡公分母是
9．（3分）已知，，滿足，，，則的值為　　
A． B．5 C．6 D．
10．（3分）如圖，等邊和等邊中，、、共線，且，連接和相交于點，以下結(jié)論中正確的有　　個．
①；
②連接，則平分；
③；
④．

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空題：（6小題，每題3分，共18分）
11．（3分）用科學(xué)記數(shù)法表示　 ?。?br /> 12．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少，則這個多邊形的邊數(shù)是　　．
13．（3分）若是常數(shù)）是完全平方式，則的值等于 　?。?br /> 14．（3分）如圖，在中，，為的角平分線，，，則　?。?br />
15．（3分）若關(guān)于的分式方程無解，則　 ?。?br /> 16．（3分）有一張三角形紙片，，點是邊上一點，沿方向剪開三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩張紙片均為等腰三角形，則的度數(shù)為 　?。?br /> 三、解答題：（共8小題，72分）
17．計算：
（1）；
（2）．
18．因式分解：
（1）；
（2）．
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．化簡求值：，其中．
21．如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，的頂點在格點上．已知，，．請選擇適當(dāng)?shù)母顸c，用無刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖，保留作圖的痕跡，不要求說明理由．

（1）若關(guān)于軸的對稱圖形為△，請寫出的對稱點的坐標 　　；
（2）在圖（1）中作邊上的高，并直接寫出的面積 　　；
（3）在圖（1）中的上作點，使；
（4）在圖（2）中的軸上作點使的和最小，請畫出點并寫出點坐標 　?。?br /> 22．兩個小組同時從甲地出發(fā)，勻速步行到乙地，甲乙兩地相距7.5千米，第一組步行的速度是第二組的1.2倍，并且比第二組早小時到達乙地．
（1）求第二組的步行速度；
（2）返回時，第二小組為了加快速度，準備進行提速，現(xiàn)有兩種方案：
方案1：前半程速度為，后半程速度為；
方案2：全程速度均為；（方案中速度單位均為千米小時）
其中和是不相等的正數(shù)，請比較哪種方案平均速度更快，并說明你的理由．
23．已知：在中，，
（1）如圖1，當(dāng)時，，過點作交于，若，則的長為 　?。?br /> （2）如圖2，當(dāng)時，，過點作平分交于，過作交的延長線于，求證：；
（3）當(dāng)時，，，為的角平分線，于，連，若，請直接寫出的面積．（用含的式子表示）

24．已知，，且，滿足，，點關(guān)于軸的對稱點為．
（1）求點的坐標；
（2）如圖1，點在的延長線上，點為的垂直平分線與的交點，連接，若點為的中點，求證：；
（3）如圖2，若點在線段上，點在線段上，滿足，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．


2022-2023學(xué)年湖北省武漢一中八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（10小題，每題3分，共30分）
1．（3分）在①角、②等邊三角形、③平行四邊形、④梯形中是軸對稱圖形的是　　
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸可得到軸對稱圖形，再根據(jù)對稱軸的條數(shù)進行進一步篩選可得答案．
【解答】解：①角、②等邊三角形、③平行四邊形、④梯形中是軸對稱圖形的是①②，
故選：．
【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是找到圖形的對稱軸．
2．（3分）已知三角形的三邊長分別為2，4，，則的值不可能的是　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，先求出的取值范圍，再根據(jù)取值范圍選擇．
【解答】解：，，
，
故選：．
【點評】本題主要考查三角形的三邊性質(zhì)，需要熟練掌握．
3．（3分）下面計算正確的是　　
A． B．
C． D．
【分析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，單項式乘單項式和負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則求解．
【解答】解：，
，
，
，
故選：．
【點評】本題考查了整式的運算及負整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握基本運算是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）點關(guān)于軸的對稱點的坐標是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)“關(guān)于軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)”解答．
【解答】解：點關(guān)于軸的對稱點的坐標是．
故選：．
【點評】本題考查了關(guān)于軸、軸對稱的點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：
（1）關(guān)于軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；
（2）關(guān)于軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；
（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．
5．（3分）下列分式從左到右變形錯誤的是　　
A． B．
C． D．
【分析】直接利用分式的基本性質(zhì)分別化簡，進而判斷得出答案．
【解答】解：、，原變形正確，故此選項不符合題意；
、必須規(guī)定，原變形錯誤，故此選項符合題意；
、原變形正確，故此選項不符合題意；
、原變形正確，故此選項不符合題意；
故選：．
【點評】此題主要考查了分式的基本性質(zhì)，能夠正確化簡分式是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，下列各組條件中，不能得到的是　　

A．， B．，
C．， D．，
【分析】根據(jù)圖形可得公共邊，再加上選項所給條件，利用判定定理、、、分別進行分析即可．
【解答】解：根據(jù)圖形可得公共邊：，
、，可利用證明，故此選項不合題意；
、，可利用證明，故此選項不合題意；
、，可利用證明，故此選項不合題意；
、，不能證明，故此選項符合題意；
故選：．
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．
7．（3分）已知：，，則用、可以表示為　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用冪的乘方運算法則以及同底數(shù)冪的乘法運算法則計算得出答案．
【解答】解：，，

，
故選：．
【點評】此題主要考查了冪的乘方運算以及同底數(shù)冪的乘法運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．
8．（3分）下列說法錯誤的是　　
A．當(dāng)時，分式無意義
B．當(dāng)時，分式的值為正數(shù)
C．當(dāng)分式時，
D．分式與的最簡公分母是
【分析】根據(jù)分式無意義的條件判斷；根據(jù)分式值為正數(shù)的條件判斷；根據(jù)分式的值為0的條件判斷；根據(jù)確定最簡公分母的方法判斷．
【解答】解：、當(dāng)時，分式無意義，故本選項說法正確，不符合題意；
、當(dāng)時，分式的值為正數(shù)，故本選項說法正確，不符合題意；
、當(dāng)分式時，，故本選項說法錯誤，符合題意；
、分式與的最簡公分母是，故本選項說法正確，不符合題意；
故選：．
【點評】本題考查了分式無意義的條件，分式值為正數(shù)的條件，分式的值為0的條件，確定最簡公分母的方法，都是基礎(chǔ)知識，需熟練掌握．
9．（3分）已知，，滿足，，，則的值為　　
A． B．5 C．6 D．
【分析】題目中的式子相加，然后利用配方法變形為完全平方的形式，再利用非負數(shù)的性質(zhì)即可求得所求式子的值．
【解答】解：，，，
，
，
，
，
，，，
解得，，，，
．
故選：．
【點評】本題考查了配方法的應(yīng)用、非負數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)完全平方和公式將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為偶次方的和的形式，求出，，的值．
10．（3分）如圖，等邊和等邊中，、、共線，且，連接和相交于點，以下結(jié)論中正確的有　　個．
①；
②連接，則平分；
③；
④．

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】首先利用證明，得，再利用三角形外角的性質(zhì)即可判斷①正確；過點作于，于，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等可知，即可判斷②正確；由，得，結(jié)合②可知③正確；在線段上截取，連接，利用證明，得，可判斷④正確．
【解答】解：等邊和等邊，
，，，，
、、共線，
，
，
，
，
是的外角，
，
在與中，
，
，
，
是的外角，
，
故①正確；
過點作于，于，

，
，
平分，
故②正確；
過點作于，于，

，同高不同底，
，的面積之比就是，
，，
，
，
故③正確；
由①知，，
，
由②知平分，
，
在線段上截取，連接，
，，
是等邊三角形，
，
由①知，
在與中，
，
，
，
，
，
故④錯誤，
正確的有3個，
故選：．
【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，三角形的面積等知識，綜合性較強，要求學(xué)生有較強的識圖能力．
二、填空題：（6小題，每題3分，共18分）
11．（3分）用科學(xué)記數(shù)法表示　?。?br /> 【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【解答】解：．
故答案為：．
【點評】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
12．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少，則這個多邊形的邊數(shù)是　7?。?br /> 【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理列出方程，求解即可．
【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，
根據(jù)題意，得，
解得．
故答案為：7．
【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和定理，任意多邊形的外角和都是，與邊數(shù)無關(guān)．
13．（3分）若是常數(shù)）是完全平方式，則的值等于 　或11?。?br /> 【分析】根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)特點，得到，從而得到的值．
【解答】解：根據(jù)題意得：，
或11．
故答案為：或11．
【點評】本題考查了完全平方式，掌握是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，在中，，為的角平分線，，，則　2?。?br />
【分析】在上截取，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，問題得解．
【解答】解：如圖，在上截取，則，
為的平分線，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
故答案為：2．

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造成全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．
15．（3分）若關(guān)于的分式方程無解，則　1或?。?br /> 【分析】分式方程無解，即化成整式方程時無解，或者求得的能令最簡公分母為0，據(jù)此進行解答．
【解答】解：方程兩邊都乘得，，
整理得，，
當(dāng)整式方程無解時，即，
當(dāng)分式方程無解時：①時，無解，
②時，，
所以或時，原方程無解．
故答案為：1或．
【點評】分式方程無解分兩種情況：整式方程本身無解；分式方程產(chǎn)生增根．
16．（3分）有一張三角形紙片，，點是邊上一點，沿方向剪開三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩張紙片均為等腰三角形，則的度數(shù)為 　或或　．
【分析】分或或三種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，再求出，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解．
【解答】解：由題意知與均為等腰三角形，
對于可能有①，此時，
，
，
②，此時，
，
，
③，此時，，
，
，
綜上所述，度數(shù)可以為或或．
故答案為：或或．

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想解決問題．
三、解答題：（共8小題，72分）
17．計算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）原式第一項利用完全平方公式展開，第二項利用平方差公式化簡，去括號合并即可得到結(jié)果；
（2）原式中括號中利用單項式乘以多項式法則計算，再利用多項式除以單項式法則計算即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
【點評】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
18．因式分解：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．
【解答】解：（1）

；
（2）

．
【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．
19．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】兩分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：，

解得：
經(jīng)檢驗分式方程的解；
（2）去分母得：，
解得：，
經(jīng)檢驗是增根，分式方程無解．
【點評】本題考查了解分式方程，掌握轉(zhuǎn)化思想，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解是關(guān)鍵．
20．化簡求值：，其中．
【分析】先計算括號里的，再除法轉(zhuǎn)化成乘法，計算括號外，最后把的值代入計算．
【解答】解：原式


，
當(dāng)時，
原式

．
【點評】本題考查了分式的化簡求值，掌握分式化簡的方法是關(guān)鍵．
21．如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，的頂點在格點上．已知，，．請選擇適當(dāng)?shù)母顸c，用無刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖，保留作圖的痕跡，不要求說明理由．

（1）若關(guān)于軸的對稱圖形為△，請寫出的對稱點的坐標 　?。?br /> （2）在圖（1）中作邊上的高，并直接寫出的面積 　??；
（3）在圖（1）中的上作點，使；
（4）在圖（2）中的軸上作點使的和最小，請畫出點并寫出點坐標 　?。?br /> 【分析】（1）利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出，，的對應(yīng)點，，即可；
（2）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個三角形面積即可；
（3）取格點，根據(jù)等腰直角三角形，交于點，點即為所求；
（4）作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，連接，求出直線的解析式，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1中，△即為所求，點的坐標．
故答案為：；
（2）如圖圖1中，線段即為所求，的面積．
故答案為：15；
（3）如圖圖1中，點即為所求；

（4）如圖2中，點即為所求，
設(shè)直線的解析式為，
，，
，
，
直線的解析式為，
，．
解法二：設(shè)，由，
可得，
解得．
故答案為：，．
【點評】本題考查作圖軸對稱變換，三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)解決交點坐標問題．
22．兩個小組同時從甲地出發(fā)，勻速步行到乙地，甲乙兩地相距7.5千米，第一組步行的速度是第二組的1.2倍，并且比第二組早小時到達乙地．
（1）求第二組的步行速度；
（2）返回時，第二小組為了加快速度，準備進行提速，現(xiàn)有兩種方案：
方案1：前半程速度為，后半程速度為；
方案2：全程速度均為；（方案中速度單位均為千米小時）
其中和是不相等的正數(shù)，請比較哪種方案平均速度更快，并說明你的理由．
【分析】（1）設(shè)第二組的步行速度為千米小時，則第一組的步行速度為千米小時，由題意：甲乙兩地相距7.5千米，第一組步行的速度是第二組的1.2倍，并且比第二組早小時到達乙地．列出分式方程，解方程即可；
（2）求出方案1的平均速度為，再由，即可解決問題．
【解答】解：（1）設(shè)第二組的步行速度為千米小時，則第一組的步行速度為千米小時，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
答：第二組的步行速度為5千米小時；
（2）方案2平均速度更快，理由如下：
方案1的平均速度為，
則，
，
，
．
【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
23．已知：在中，，
（1）如圖1，當(dāng)時，，過點作交于，若，則的長為 　12??；
（2）如圖2，當(dāng)時，，過點作平分交于，過作交的延長線于，求證：；
（3）當(dāng)時，，，為的角平分線，于，連，若，請直接寫出的面積．（用含的式子表示）

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出，則，可求出答案；
（2）延長與延長線交于點，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；
（3）延長與的延長線交于點，作于，由（2）知，得出，，求出，根據(jù)三角形面積公式可得出答案．
【解答】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：12；
（2）證明：延長與延長線交于點，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：延長與的延長線交于點，作于，

由（2）知，
，，
，
又，
，
，即，
，
，
．

【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．已知，，且，滿足，，點關(guān)于軸的對稱點為．
（1）求點的坐標；
（2）如圖1，點在的延長線上，點為的垂直平分線與的交點，連接，若點為的中點，求證：；
（3）如圖2，若點在線段上，點在線段上，滿足，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【分析】（1）由非負數(shù)的性質(zhì)得出，，求出點坐標，則可得出答案；
（2）過點作交于，延長至，使，連接，證出是等邊三角形，得出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；
（3）在上截取，連接，在的延長線上截取，連接，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，證出，則可得出結(jié)論．
【解答】（1）解：，
，
，，
，
點關(guān)于軸的對稱點為，
；
（2）證明：過點作交于，延長至，使，連接，

，，，
，，
，，
，
是等邊三角形，
，
，
，
為等邊三角形，
，，
，，
又為的垂直平分線與的交點，
，
，
在和中，
，
，
，
又為的中點，
，
，
，
，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
；

（3）解：．
證明：在上截取，連接，在的延長線上截取，連接，

由（2）可知是等邊三角形，
，，
又，
為等邊三角形，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點評】本題是三角形綜合題目，考查了非負數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、等腰三角形的判定、軸對稱的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．

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