2022-2023學年廣東省珠海市實驗中學高二上學期第一次段考數(shù)學試題 一、單選題1．若直線l方向向量為，平面的法向量為，且，則m為（    ）A．1 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】由可知l的方向向量為與平面的法向量平行，再利用向量共線定理即可得出．【詳解】，的方向向量為與平面的法向量平行，．，解得．故選：C．2．在天氣預報中，有“降水概率預報”.例如，預報“明天降水概率為85%”，這是指（    ）A．明天該地區(qū)有的地區(qū)降水，其他地區(qū)不降水B．明天該地區(qū)約有的時間降水，其他時間不降水C．氣象臺的專家中，有的人認為會降水，另外的專家認為不降水D．明天該地區(qū)降水的可能性為【答案】D【分析】根據(jù)概率的定義，逐項分析，即可求解.【詳解】由題意，在天氣預報中預報“明天降水概率為”，對于A中，由概率的定義得明天該地區(qū)降水的可能性為，并不是說其他地區(qū)不降水，故A錯誤；對于B中，明天該地的每個地區(qū)都有的降水的可能性，并不是說其他時間不降水，故B錯誤；對于C中，由概率的定義得明天該地區(qū)降水的可能性為，并不是說有的人認為會降水，另外的專家認為不降水，故C錯誤；對于D中，由概率的定義得明天該地區(qū)降水的可能性為，故D正確.故選：D.3．已知，，且，則（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】求出和的坐標，根據(jù)空間向量共線的充要條件即可得，的值.【詳解】因為，，所以，，因為，所以，解得：，，故選：B.4．若“A＋B”發(fā)生(A，B中至少有一個發(fā)生)的概率為0.6，則同時發(fā)生的概率為(　　)A．0.6 B．0.36 C．0.24 D．0.4【答案】D【分析】利用對立事件概率計算公式求解．【詳解】∵發(fā)生的概率為∴，同時發(fā)生的概率：故選：D5．若甲組樣本數(shù)據(jù)，，…，（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為2，方差為4，乙組樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為4，則下列說法錯誤的是（    ）A．的值為 B．乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為36C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)一定相同 D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同【答案】C【分析】結(jié)合平均數(shù)公式、方差公式、中位數(shù)和極差的定義，逐個選項判斷即可.【詳解】甲組樣本數(shù)據(jù)，，，（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為2，方差為4，又乙組樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為4，，解得，故A正確，乙組樣本數(shù)據(jù)方差為，故B正確，設甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)不一定相同，故C錯誤，甲組數(shù)據(jù)的極差為，則乙組數(shù)據(jù)的極差為，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同，故D正確．故選：C．6．要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達標，現(xiàn)從500袋牛奶中抽取50袋進行檢驗，將它們編號為000，001，002，…499，利用隨機數(shù)表抽取樣本，從第8行第5列的數(shù)開始，按3位數(shù)依次向右讀取，到行末后接著從下一行第一個數(shù)繼續(xù).則第四袋牛奶的標號是（    ）（下面摘取了某隨機數(shù)表的第7行至第9行）A．358 B．301 C．071 D．206【答案】C【分析】根據(jù)題意，按照所提供的隨機數(shù)表和讀數(shù)規(guī)則依次讀取有效數(shù)據(jù)，注意刪除重復數(shù)據(jù)即可得出第四袋牛奶的標號.【詳解】由題意可知，讀取的第一個數(shù)據(jù)是583，不符合條件，第二個數(shù)據(jù)是921，不符合條件，第三個數(shù)據(jù)是206，符合條件；即隨機選取的第一袋牛奶標號是206；以下數(shù)據(jù)依次是766，301，647，859，169，555，671，998，301，其中符合題意的數(shù)據(jù)只有301，169，301三個數(shù)據(jù)，但是301屬于重復數(shù)據(jù)，繼續(xù)往后計數(shù)；下一個數(shù)是071，符合條件，即前四袋牛奶的標號依次為206，301，169，071；所以，第四袋牛奶的標號為071.故選：C.7．已知，，與的夾角為120°，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出空間向量的坐標，利用向量數(shù)量積和向量的夾角求出結(jié)果．【詳解】因為，0，，，，，，所以，，，所以，所以，且，解得：．故選：A．8．從甲袋中摸出1個紅球的概率是，從乙袋中摸出1個紅球的概率是，從兩袋中各摸出1個球，則可能是（    ）A．2個球不都是紅球的概率 B．2個球都是紅球的概率C．至少有1個紅球的概率 D．2個球中恰有1個紅球的概率【答案】C【分析】運用概率計算公式分別計算四個選項中事件的概率即可.【詳解】記4個選項中的事件依次分別為A，B，C，D，則，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；．故D錯誤.故選：C． 二、多選題9．（多選題）已知直線l過點，平行于向量，平面過直線l與點，則平面的法向量可能是（   ）A．(1，－4，2) B． C． D．(0，－1，1)【答案】ABC【分析】由題可知所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，所以利用向量垂直的判定驗證即可【詳解】解：由題意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而，選項A，滿足垂直，故正確；選項B，滿足垂直，故正確；選項C，滿足垂直，故正確；選項D，，但，故錯誤．故選：ABC【點睛】此題考查平面的法向量，向量的數(shù)量積運算，屬于基礎題.10．某市教育局對全市高三年級的學生身高進行抽樣調(diào)查，隨機抽取了200名學生，他們的身高都處在A，B，C，D，E五個層次內(nèi)，根據(jù)抽樣結(jié)果得到統(tǒng)計圖表，則樣本中（    ）A．女生人數(shù)多于男生人數(shù)B．D層次男生人數(shù)多于女生人數(shù)C．B層次男生人數(shù)為24人D．A層次人數(shù)最少【答案】AC【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)依次討論各選項即可求解.【詳解】解：對于A選項，由題可知，女生層次的有18人，層次的有48人，層次的有30人，層次的有18人，層次的有6人，故女生共有人，男生有人，所以女生人數(shù)多于男生人數(shù)，故A選項正確；對于B選項，由扇形圖知，男生層次的有人，而女生有18人，故女生多于男生，錯誤；對于C選項，層次的有人人，故正確；對于D選項，層次的有人，層次的有人，故層次的人數(shù)不是最少的.故選：AC11．下列說法正確的是（    ）A．若向量，共線，則向量，所在的直線平行；B．已知空間任意兩向量，，則向量，共面；C．已知空間的三個向量，，，則對于空間的任意一個向量，總存在實數(shù)，，，使得；D．若A，B，C，D是空間任意四點，則有.【答案】BD【分析】由共線向量的定義可知，向量，所在的直線可以重合，可判斷A；空間中任意兩個向量都是共面的，可判斷B；若空間中的三個向量，，共面，并不存在實數(shù)，，，使得，所以C并不成立；根據(jù)向量運算法則可判斷D.【詳解】對于A，若向量，共線，則向量，所在的直線可以重合，并不一定平行，所以A錯誤；對于B，根據(jù)共面向量的定義可知，空間中的任意兩個向量都是共面的，所以B正確；對于C，只有當空間的三個向量，，不共面時，對于空間的任意一個向量，總存在實數(shù)，，，使得成立；若空間中的三個向量共面，此說法并不成立，所以C錯誤；對于D，根據(jù)向量的加法法則即可判斷D正確.12．把一顆質(zhì)地均勻的骰子任意地擲一次，下列各組事件不是獨立事件的組數(shù)為（    ）A．擲出偶數(shù)點， 擲出奇數(shù)點B．擲出偶數(shù)點，擲出3點C．擲出偶數(shù)點，擲出3的倍數(shù)點D．擲出偶數(shù)點，擲出的點數(shù)小于4【答案】ABD【分析】根據(jù)獨立事件的概念可知，若事件與事件相互獨立，則必須滿足，根據(jù)此公式對選項逐一判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對于A，因為，而，此時，所以事件與事件不是相互獨立的；對于B，因為，而，此時，所以事件與事件不是相互獨立的；對于C，因為，而，此時滿足，所以事件與事件是相互獨立的；對于D，因為，而，此時，所以事件與事件不是相互獨立的；綜上可知，不是獨立事件的組數(shù)為ABD.故選：ABD. 三、填空題13．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分別是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，則E，F兩點間的距離為________．【答案】【分析】建立空間直角坐標系，按照空間中兩點的距離公式求解即可.【詳解】解析：以D為原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系，可得所以，所以＝所以|EF|＝故答案為：14．一枚硬幣連擲三次，事件A為“三次反面向上”，事件B為“恰有一次正面向上”，事件C為“至少兩次正面向上”，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝__________________.【答案】1【分析】由題事件A，B，C之間是互斥的，且又是一枚硬幣連擲三次的所有結(jié)果，可得結(jié)論【詳解】事件A，B，C之間是互斥的，且又是一枚硬幣連擲三次的所有結(jié)果，所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.【點睛】本題考查互斥事件的概率，屬基礎題.15．已知ABCD-A1B1C1D1為正方體，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量與向量的夾角是60°；④正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|··|.其中正確命題的序號是________．【答案】①②【分析】①利用空間向量線性運算求解判斷；②易證平面，得到判斷；③易知向量與向量的夾角為判斷；④由判斷.【詳解】由題意得正方體ABCD-A1B1C1D1 如下圖所示：①∵，故正確.②平面，所以，又，,所以平面，所以，所以，故正確.③向量與向量的夾角為，故錯誤.④∵，而··.故錯誤.故答案為：①②  四、雙空題16．在對某中學高一年級學生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，若只知道抽取了男生24人，其平均數(shù)和方差分別為170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均數(shù)和方差分別為160.5和36.96，則據(jù)此可得高一年級全體學生的身高平均數(shù)為___________，方差的估計值為___________.（參考數(shù)據(jù)：，，）.【答案】     165.3     50.4【分析】樣本中男生的身高平均數(shù)，方差，女生身高平均數(shù)，方差，由平均數(shù)和方差的計算公式計算樣本平均數(shù)和樣本方差．【詳解】把樣本中男生的身高記為，，，，其平均數(shù)記為，方差記為，把樣本中女生身高記為，，，，其平均數(shù)記為，方差記為，樣本平均數(shù)記為，方差記為，則，．故答案為：165.3；50.4． 五、解答題17．一家水果店店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去20天蘋果的日銷售量（單位：kg），結(jié)果如下：83，91，75，94，80，80，80，75，89，74，94，84，85，87，93，85，75，86，85，85..(1)請計算該水果店過去20天蘋果日銷售量的平均數(shù).(2)一次進貨太多，水果會變的不新鮮；進貨太少，不能滿足顧客的需求.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，第80百分位數(shù)是比較理想的進貨需求，請問，每天應該進多少千克蘋果？【答案】(1)84(2)90  【分析】（1）根據(jù)題意，利用平均數(shù)計算公式將20天蘋果的日銷售量求和再除以20即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)百分位數(shù)的概念可知，將這20個數(shù)按照從小到大的順序排列，第80百分位數(shù)是第16個數(shù)和第17個數(shù)的平均值，計算可得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意，設過去20天蘋果日銷售量的平均數(shù)為，則經(jīng)計算得所以，該水果店過去20天蘋果日銷售量的平均數(shù)為84.（2）將過去20天蘋果的日銷售量數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：74，75，75，75，80，80，80，83，84，85，85，85，85，86，87，89，91，93，94，97;因為，所以第80百分位數(shù)是第16位和第17位數(shù)的平均值；即；所以，每天應該進90千克蘋果.18．從甲、乙、丙、丁四個人中選兩名代表，求：（１）甲被選中的概率；（２）丁沒被選中的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先確定從甲、乙、丙、丁四個人中選兩名代表總事件數(shù)，再確定甲被選中的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率（2）先確定從甲、乙、丙、丁四個人中選兩名代表總事件數(shù)，再確定丁沒被選中的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.【詳解】（1）從甲、乙、丙、丁四個人中選兩名代表共有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁、丙丁共6種基本事件，其中甲被選中包括甲乙，甲丙，甲丁三種基本事件，所以甲被選中的概率為 .（2）丁沒被選中包括甲乙，甲丙，乙丙三種基本事件，所以丁沒被選中的概率為.點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.19．如圖，在平行六面體中，設，，，分別是，，的中點.(1)試用，，表示以下列向量：.(2)，，求證：平面【答案】(1)；(2)見解析； 【分析】(1)根據(jù)向量的加法法則分別表示出向量，即可求得；(2)根據(jù)向量的數(shù)量積可得，，即有，，從而即可證明平面.【詳解】（1）解：因為分別是，，的中點，，，，所以，，所以=；（2）證明：設，則有==因為,,,又因為 所以，即有，同理可證，又因為，所以平面.20．隨著共享單車的成功運營，更多的共享產(chǎn)品逐步走入大家的世界，共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產(chǎn)品層出不窮.廣元某景點設有共享電動車租車點，共享電動車的收費標準是每小時2元（不足1小時的部分按1小時計算）.甲、乙兩人各租一輛電動車，若甲、乙不超過一小時還車的概率分別為，；一小時以上且不超過兩小時還車的概率分別為，；兩人租車時間都不會超過三小時.（1）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；（2）求甲、乙兩人所付的租車費用之和大于或等于8的概率.【答案】（1）；（2）【分析】（1）甲、乙兩人所付費用相同即同為2，4，6元，都付2元的概率，都付4元的概率，都付6元的概率，由此利用互斥事件概率加法公式能求出所付費用相同的概率．（2）設兩人費用之和8、10、12的事件分別為、、， ， ， ，設兩人費用之和大于或等于8的事件為，則，由此能求出兩人費用之和大于或等于8的概率．【詳解】解：（1）甲、乙兩人所付費用相同即同為2，4，6元.都付2元的概率為；都付4元的概率為；都付6元的概率為；故所付費用相同的概率為.（2）設兩人費用之和為8、10、12的事件分別為、、；；.設兩人費用之和大于或等于8的事件為，則所以，兩人費用之和大于或等于8的概率【點睛】本題考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．21．如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E為BC的中點.(1)證明：平面ABCD(2)在線段AN上是否存在點S，使得平面AMN，如果存在，求出線段AS的長度.【答案】(1)證明過程見詳解(2) 【分析】(1)連接，由題意可知：四邊形為平行四邊形，得到，利用線面平行的判定即可證明；(2)根據(jù)題意，建立如圖所示空間直角坐標系，得到相關(guān)點的坐標，假設在線段上存在點，使得平面，求得的坐標，可設，由平面可得關(guān)于的方程組，解得的值，可得的坐標以及的值，從而得出結(jié)論.【詳解】（1）證明，連接，因為平面ABCD，平面ABCD，所以，又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以,平面,,所以平面ABCD.（2）由題意知：兩兩垂直，以點為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，假設在線段上存在點，使得平面，連接，設，因為，，所以，則，由平面可得，，即，解得：，此時，，故當時，平面.22．習近平總書記指出:“要健全社會心理服務體系和疏導機制、危機干預機制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛的社會心態(tài).”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導起到了重要作用.某心理調(diào)查機構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機抽取位市民進行心理健康問卷調(diào)查，按所得評分（滿分分）從低到高將心理健康狀況分為四個等級:調(diào)查評分心理等級有隱患一般良好優(yōu)秀 并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知調(diào)查評分在的市民為人.（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；（2）在抽取的心理等級為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評分分層抽取人，進行心理疏導.據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)過心理疏導后，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為 “良好”的概率為，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，若經(jīng)過心理疏導后的恢復情況相互獨立，試問在抽取的人中，經(jīng)過心理疏導后，至少有一人心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少?（3）心理調(diào)查機構(gòu)與該市管理部門設定的預案是:以抽取的樣本作為參考，若市民心理健康指數(shù)平均值不低于則只需發(fā)放心理指導資料，否則需要舉辦心理健康大講堂．根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由.(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值代替，心理健康指數(shù)=(問卷調(diào)查評分/100)【答案】（1）2000，；（2）；（3）只需發(fā)放心理指導材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動，理由見解析.【解析】（1）由調(diào)查評分在的市民為人及頻率可得樣本容量；根據(jù)頻率和為1可得t；（2）由（1）知，根據(jù)調(diào)查評分在有人，有人，計算出心理等級均達不到良好的概率，由對立事件的概率可得答案；（3）由頻率分布直方圖估計市民心理健康問卷調(diào)查的平均評分及平均值與0.8作比較可得答案.【詳解】（1）由已知條件可得，每組的縱坐標的和乘以組距為1，所以，解得.（2）由（1）知，所以調(diào)查評分在的人數(shù)占調(diào)查評分在人數(shù)的，若按分層抽樣抽取人，則調(diào)查評分在有人，有人， 因為經(jīng)過心理疏導后的恢復情況相互獨立，所以選出的人經(jīng)過心理疏導后，心理等級均達不到良好的概率為，所以經(jīng)過心理疏導后，至少有一人心理等級轉(zhuǎn)為良好的概率為.（3）由頻率分布直方圖可得，，估計市民心理健康問卷調(diào)查的平均評分為， 所以市民心理健康指數(shù)平均值為，所以只需發(fā)放心理指導材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用及相互獨立事件概率的求解，由頻率分布直方圖中是沒有樣本數(shù)據(jù)的，平均值等于每個小長方形面積乘每組橫坐標的中點，然后相加求和，且所有矩形的面積之和為1，考查了學生分析數(shù)據(jù)處理問題的能力. 

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