泰州市姜堰區(qū)四校聯(lián)考2021-2022學年八年級3月月考數(shù)學試題一、選擇題（共6小題，每小題3分）1. 下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形是（      ）A.  B.  C.  D. 2. 下列調查方式中適合的是（    ）A. 要了解一批節(jié)能燈的使用壽命，采用普查方式B. 調查你所在班級同學的身高，采用抽樣調查方式C. 環(huán)保部門調查沱江某段水域的水質情況，采用抽樣調查方式D. 調查全市中學生每天的就寢時間，采用普查方式3. 已知平行四邊形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，則∠B的度數(shù)為（    ）A. 125° B. 135° C. 145° D. 155°4. 有顏色不同的15個紅球和若干個白球裝在不透明的袋子里，從袋子里摸出一個球記錄下顏色后放回，經過多次重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4，則袋中白球有（    ）A. 10個 B. 16個 C. 24個 D. 40個5. 能判定四邊形ABCD為平行四邊形條件是(     )A. AB∥CD，AD=BC B. ∠A=∠B，∠C=∠DC. AB∥CD，∠C=∠A D. AB=AD，CB=CD6. 如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，點M是對角線AC上的一動點，且∠ABC=120°，則MA+MB+MD的最小值是（     ）A.  B.  C.  D. 二、填空題（共10小題，每小題3分）7. 為了了解某市八年級學生的體重情況,從中抽測了1000名學生的體重進行調查,在這次調查中,樣本是_______________．8. 一個袋中裝有 3個紅球，5個黃球，3個白球，每個球除顏色外都相同，任意摸出一球， 摸到_____（填“紅”、“黃”或“白”）球的可能性最大．9. 一次數(shù)學測試后，某班40名學生的成績被分成5組，第1－4組的頻數(shù)分別為12、10、6、8，則第5組的頻數(shù)是______．10. 綜合實踐小組的同學們在相同條件下做了測定某種黃豆種子發(fā)芽率的實驗，結果如表所示：黃豆種子數(shù)（單位：粒）800100012001400160018002000發(fā)芽種子數(shù)（單位：粒）76294811421331151817101902種子發(fā)芽的頻率（結果保留至小數(shù)點后三位）0.9530.9480.9520.9510.9490.9500.951那么這種黃豆種子發(fā)芽的概率約為__________（精確到0.01）11. 已知△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＜90°．用反證法證明，第一步是假設_________．12. 如圖，在平行四邊形中，AC、BD相交于點O，AC=20cm，BD=32cm，若的周長等于40cm，則_______________cm．13. 如圖，在菱形ABCD中，AC、BD相交于點O，，垂足為E．若AC=8，BD=6，則DE的長為_______________．14. 如圖，把△ABC繞點C按順時針方向旋轉35°后能與△A′B′C′重合，且B′C′交AB于點E，若∠ABC=50°，則∠AEC的度數(shù)是______．15. 如圖，矩形ABCD中，點E在AD上，且EC平分，若，，則面積為_______________．16. 如圖，先有一張矩形紙片點分別在矩形的邊上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點落在矩形的邊上，記為點，點落在處，連接，交于點，連接．下列結論：②四邊形是菱形；③重合時，；④的面積的取值范圍是其中正確是_____（把正確結論的序號都填上）．三、解答題(共102分)17. （1）求值：；（2）解方程：．18. 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在邊AD、BC上，且AE ＝ CF，求證：四邊形EBFD是平行四邊形19. 如圖，E 是矩形 ABCD 邊 BC 上一點，， ．將矩形 ABCD 沿 AE 折疊，點 B 的對稱點為．當點 恰好落在邊CD 上時，求的長．20. 某小區(qū)居民利用“健步行”卡站健步走活動，為了解居民的健步走情況，小文調查了部分居民某天行走的步數(shù)（單位：千步），并將樣本數(shù)據(jù)整理繪制成如下不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖.根據(jù)圖表提供的信息，回答下列問題：（1）小文此次調查樣本容量是___________；（2）行走步數(shù)為4~8千步的人數(shù)為_________人；（3）行走步數(shù)為12~16千步的扇形圓心角為________°.（4）如該小區(qū)有3000名居民，請估算一下該小區(qū)行走步數(shù)為0~4千步的人數(shù).21. 一個不透明的口袋中放著若干個紅球和黑球，這兩種球除了顏色之外沒有其他任何區(qū)別，袋中的球已經攪勻，閉眼從口袋中摸出一個球，經過很多次實驗發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率逐漸穩(wěn)定在．（1）估計摸到紅球的概率是      ；（2）如果袋中原有紅球12個，求袋中原有幾個球？（3）又放入個黑球，再經過很多次實驗發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在，求的值．22. 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E為AB上任意一點．（1）如圖①，只用無刻度的直尺在CD邊上作出點F，使；（2）如圖②，用直尺和圓規(guī)作出菱形EFGH，使得點F、G、H分別在邊BC、CD、DA上．（不寫作法，只保留作圖痕跡）23. 如圖，平面直角坐標系內，小正方形網格的邊長為1個單位長度，，，解答下列問題：（1）將線段AB繞原點O順時針方向旋轉90°得到線段CD，再將線段CD向下平移2個單位長度得到線段EF，畫出線段CD和線段EF；（2）如果線段AB旋轉可以得到線段EF，則旋轉中心P的坐標為____________________．24. 如圖，在中，點E、F 在AD邊上，且BF＝CE，AE＝DF．（1）求證：；（2）求證：四邊形ABCD是矩形．25. 在中，，D是的中點，E是的中點，過點A作交的延長線于點F．（1）求證：；（2）證明：四邊形是菱形；（3）若，求菱形的面積．26. 定義：有一組對角是直角的四邊形叫做“準矩形”；有兩組鄰邊（不重復）相等的四邊形叫做“準菱形”．如圖①，在四邊形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，則四邊形ABCD是“準矩形”；如圖②，在四邊形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，則四邊形ABCD是“準菱形”．（1）如圖，在邊長為1的正方形網格中，A、B、C在格點（小正方形的頂點）上，請分別在圖③、圖④中畫出“準矩形”ABCD和“準菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格點上）；（2）下列說法正確的有        ；（填寫所有正確結論的序號）①一組對邊平行的“準矩形”是矩形；②一組對邊相等的“準矩形”是矩形；③一組對邊相等的“準菱形”是菱形；④一組對邊平行的“準菱形”是菱形．（3）如圖⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為一邊向外作“準菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于點D．①若∠ACE＝∠AFE，求證：“準菱形”ACEF是菱形；②在①的條件下，連接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，請直接寫出四邊形ACEF的面積．
答案與解析一、選擇題（共6小題，每小題3分）1. 下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（      ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．【詳解】A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A錯誤；B.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故B錯誤；C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C錯誤；D.既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．2. 下列調查方式中適合的是（    ）A. 要了解一批節(jié)能燈的使用壽命，采用普查方式B. 調查你所在班級同學的身高，采用抽樣調查方式C. 環(huán)保部門調查沱江某段水域的水質情況，采用抽樣調查方式D. 調查全市中學生每天的就寢時間，采用普查方式【答案】C【解析】【分析】根據(jù)普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似，逐項進行判斷即可．【詳解】解：A.要了解一批節(jié)能燈的使用壽命，采用抽樣調查，故A不符合題意；B.調查你所在班級的同學的身高，應該采用普查，故B不符合題意；C.環(huán)保部門調查沱江某段水域的水質情況，應該采用抽樣調查，故C符合題意；D.調查全市中學生每天的就寢時間，應該采用抽樣調查，故D不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了抽樣調查和全面調查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應選擇抽樣調查，對于精確度要求高的調查，事關重大的調查往往選用普查．3. 已知平行四邊形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，則∠B的度數(shù)為（    ）A. 125° B. 135° C. 145° D. 155°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質，對角相等以及鄰角互補，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，∵∠A+∠C=110°，∴∠A=∠C=55°，∴∠B=125°．故選：A．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質，靈活的應用平行四邊形的性質是解決問題的關鍵．4. 有顏色不同的15個紅球和若干個白球裝在不透明的袋子里，從袋子里摸出一個球記錄下顏色后放回，經過多次重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4，則袋中白球有（    ）A. 10個 B. 16個 C. 24個 D. 40個【答案】A【解析】【分析】設袋中白球有x個，根據(jù)題意用白球數(shù)除以白球和紅球的總數(shù)等于白球的頻率列出等式，即可求出白球數(shù)．【詳解】解：設袋中白球有x個，根據(jù)題意，得 解得．所以袋中白球有10個．故選：A．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，解決本題的關鍵是用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．5. 能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是(     )A. AB∥CD，AD=BC B. ∠A=∠B，∠C=∠DC. AB∥CD，∠C=∠A D. AB=AD，CB=CD【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件結合平行四邊形性質直接作出判斷即可．【詳解】解：根據(jù)平行四邊形的判定可知：
A、若AB∥CD，AD=BC，則可以判定四邊形是梯形，故A錯誤，
B、兩組鄰角相等也有可能是等腰梯形，故B錯誤．
C、∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠C=∠A，∴∠B+∠A=180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形的條件，故C正確．
D、此條件下無法判定四邊形的形狀，還可能是等腰梯形，故D錯誤．
故選：C．【點睛】本題主要考查平行四邊形判定的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理，此題基礎題，比較簡單．6. 如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，點M是對角線AC上的一動點，且∠ABC=120°，則MA+MB+MD的最小值是（     ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】過點D作于點E，連接BD，根據(jù)垂線段最短，此時DE最短，即最小，根據(jù)菱形性質和等邊三角形的性質即可求出DE的長，進而可得結論．【詳解】解：過點D作于點E，連接BD，如圖所示：四邊形為菱形，∴，，∵，∴，是等邊三角形，，，，，根據(jù)垂線段最短，此時DE最短，即最小，菱形的邊長為6，，，的最小值是，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理等知識點，解決本題的關鍵是掌握菱形的性質，等邊三角形的判定與性質．二、填空題（共10小題，每小題3分）7. 為了了解某市八年級學生的體重情況,從中抽測了1000名學生的體重進行調查,在這次調查中,樣本是_______________．【答案】1000名學生的體重【解析】【分析】總體是指考查的對象的全體,個體是總體中的每一個考查的對象,樣本是總體中所抽取的一部分個體．【詳解】為了了解某市八年級學生的體重情況,從中抽測了1000名學生的體重進行調查,在這次調查中,樣本是1000名學生的體重．故答案為:1000名學生的體重．【點睛】本題考查了總體?個體?樣本,解題要分清具體問題中的總體?個體與樣本,關鍵是明確考查的對象．8. 一個袋中裝有 3個紅球，5個黃球，3個白球，每個球除顏色外都相同，任意摸出一球， 摸到_____（填“紅”、“黃”或“白”）球的可能性最大．【答案】黃【解析】【分析】先求出個數(shù)最多的球的顏色，即可得摸出何種顏色球的可能性最大．【詳解】解：∵一個袋中裝有3個紅球，5個黃球，3個白球， 又∵，∴黃球最多，∴任意摸出一球， 摸到黃球的可能性最大．故答案為：黃．【點睛】本題主要考查可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可，求比例時，應注意記清各自的數(shù)目．9. 一次數(shù)學測試后，某班40名學生的成績被分成5組，第1－4組的頻數(shù)分別為12、10、6、8，則第5組的頻數(shù)是______．【答案】4【解析】【分析】用該班學生總數(shù)分別減去第1 - 4組的頻數(shù)，即可求出第5組的頻數(shù)．【詳解】某班40名學生的成績被分為5組，第1 - 4組的頻數(shù)分別為12、10、6、8，∴第5組頻數(shù)是：40- (12+ 10+6+8)= 4，故答案： 4．【點睛】本題考查了頻數(shù)，頻數(shù)是指每個對象出現(xiàn)的次數(shù)，用到的知識點：各小組頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總和，一般稱落在不同小組中的數(shù)據(jù)個數(shù)為該組的頻數(shù)，頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值為頻率，頻率反映了各組頻數(shù)的大小在總數(shù)中所占的分量．10. 綜合實踐小組的同學們在相同條件下做了測定某種黃豆種子發(fā)芽率的實驗，結果如表所示：黃豆種子數(shù)（單位：粒）800100012001400160018002000發(fā)芽種子數(shù)（單位：粒）76294811421331151817101902種子發(fā)芽的頻率（結果保留至小數(shù)點后三位）0.9530.9480.9520.9510.9490.9500.951那么這種黃豆種子發(fā)芽的概率約為__________（精確到0.01）【答案】0.95【解析】【分析】大量重復試驗下種子發(fā)芽的頻率可以估計種子發(fā)芽的概率，據(jù)此求解．【詳解】解：觀察表格發(fā)現(xiàn)隨著實驗次數(shù)的增多頻率逐漸穩(wěn)定在0.95附近，
故種子發(fā)芽的概率約為0.95．
故答案為：0.95．【點睛】本題考查利用頻率估計概率的知識，解題的關鍵是了解大量重復試驗中某個事件發(fā)生的頻率能估計概率．11. 已知△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＜90°．用反證法證明，第一步是假設_________．【答案】∠B≥90°【解析】【分析】熟記反證法的步驟，直接填空即可．【詳解】解：用反證法證明：第一步是：假設∠B≥90°．
故答案是：∠B≥90°．【點睛】考查反證法，解題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發(fā)推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．12. 如圖，在平行四邊形中，AC、BD相交于點O，AC=20cm，BD=32cm，若周長等于40cm，則_______________cm．【答案】14【解析】【分析】的周長等于與兩條對角線一半的和，根據(jù)平行四邊形的性質，對邊相等，對角線互相平分即可求解【詳解】四邊形是平行四邊形，AC=20cm，BD=32cm，，故答案為：【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，熟悉四邊形的性質是解題的關鍵．13. 如圖，在菱形ABCD中，AC、BD相交于點O，，垂足為E．若AC=8，BD=6，則DE的長為_______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質得出求出AO和DO，求出AD，根據(jù)菱形的面積公式求出即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴ ∵AC=8，BD=6，
∴AO=4，OD=3，由勾股定理得：AD=5，
∴BC=5，∴S菱形ABCD=，
∴，
解得： 故答案為：【點睛】本題考查了菱形的性質和勾股定理，能求出菱形的邊長是解此題的關鍵．14. 如圖，把△ABC繞點C按順時針方向旋轉35°后能與△A′B′C′重合，且B′C′交AB于點E，若∠ABC=50°，則∠AEC的度數(shù)是______．【答案】85°【解析】【分析】由旋轉性質得到∠BCE＝35°，再根據(jù)三角形外角的性質得∠AEC＝∠ABC＋∠BCE，從而求出答案.【詳解】由旋轉可知，∠BCE＝35°，所以，∠AEC＝∠ABC＋∠BCE＝50°＋35°＝85°，故答案為85°.【點睛】本題主要考查了旋轉的概念，理解旋轉的性質是解本題的關鍵點.15. 如圖，矩形ABCD中，點E在AD上，且EC平分，若，，則的面積為_______________．【答案】【解析】【分析】由矩形的性質得，由角平分線得，進一步證明BE=BC=AD，由勾股定理列方程得出AD，再由面積公式可得結論．【詳解】解：設AD=x，則AE=x-2∵EC平分，∴ ∵四邊形ABCD是矩形∴AD=BC=x，，AD//BC∴ ∴ ∴BC=BE=x在Rt△ABE中， ∴ 解得， ∴BE=BC=∴ 故答案為：【點睛】此題主要考查了矩形的性質，等腰三角形的判定，勾股定理等知識，證明BE=BC=AD是解答此題的關鍵．16. 如圖，先有一張矩形紙片點分別在矩形的邊上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點落在矩形的邊上，記為點，點落在處，連接，交于點，連接．下列結論：②四邊形是菱形；③重合時，；④的面積的取值范圍是其中正確的是_____（把正確結論的序號都填上）．【答案】②③【解析】【分析】先判斷出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質可得，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出②正確；假設得，進而得，這個不一定成立，判斷①錯誤；點與點重合時，設，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，進而用勾股定理求得，判斷出③正確；當過點時，求得四邊形的最小面積，進而得的最小值，當與重合時，的值最大，求得最大值便可．【詳解】如圖1，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，故②正確；若，則，這個不一定成立，故①錯誤；點與點重合時，如圖2，設則在即解得,,，,故③正確；當過點時，如圖3，此時，最短，四邊形的面積最小，則最小為，當點與點重合時，最長，四邊形的面積最大，則最大為，，故④錯誤．故答案為②③．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊問題與菱形的判定與性質、勾股定理的綜合應用，熟練掌握菱形的判定定理和性質定理、勾股定理是解本題的關鍵．三、解答題(共102分)17. （1）求值：；（2）解方程：．【答案】（1）4；（2）．【解析】【分析】（1）分別計算算術平方根、立方根和零次冪，將結果相加減即可；（2）依次移項、系數(shù)化為1、兩邊直接開平方即可得出答案．【詳解】解：（1）原式==4；（2）移項得：，系數(shù)化為1得：，兩邊直接開平方得：．【點睛】本題考查求立方根，零指數(shù)冪和平方根方程．（1）中能根據(jù)定義分別計算是解題關鍵；（2）注意不要忘掉負值．18. 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在邊AD、BC上，且AE ＝ CF，求證：四邊形EBFD是平行四邊形【答案】見解析【解析】【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等，即可得AD＝BC，ADBC，又由AE=CF，即可證得DE=BF，然后根據(jù)對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形EBFD是平行四邊形．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形  ∴AD＝BC，ADBC又∵CF＝AE ∴AD－AE＝BC－CF即：DE＝BF  ∴四邊形EBFD是平行四邊形【點睛】此題考查了平行四邊形的性質與判定，注意熟練掌握定理與性質是解決問題的關鍵．19. 如圖，E 是矩形 ABCD 邊 BC 上一點，， ．將矩形 ABCD 沿 AE 折疊，點 B 的對稱點為．當點 恰好落在邊CD 上時，求的長．【答案】【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質可得，得＝AB＝5，根據(jù)矩形的性質可得AB＝CD＝5，在中，∠D＝90°，＝5，AD＝3，根據(jù)勾股定理可得的長度，由代入計算得出，設，則，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)折疊可得：＝AB＝5，，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝5，∠C=∠D＝90°，BC=AD=3，∵在中，∠D＝90°，，AD＝3，∴，∴，設，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，即．【點睛】本題主要考查了圖形的變換-折疊，矩形的性質，勾股定理，能根據(jù)折疊得到直角三角形，是解題的關鍵．20. 某小區(qū)居民利用“健步行”卡站健步走活動，為了解居民的健步走情況，小文調查了部分居民某天行走的步數(shù)（單位：千步），并將樣本數(shù)據(jù)整理繪制成如下不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖.根據(jù)圖表提供的信息，回答下列問題：（1）小文此次調查的樣本容量是___________；（2）行走步數(shù)為4~8千步的人數(shù)為_________人；（3）行走步數(shù)為12~16千步的扇形圓心角為________°.（4）如該小區(qū)有3000名居民，請估算一下該小區(qū)行走步數(shù)為0~4千步的人數(shù).【答案】（1）200；（2）50；（3）72；（4）420人【解析】【分析】(1)由8～12千步的人數(shù)及其所占百分比可解；(2)總人數(shù)乘以4～8千步的人數(shù)所占比例可解；(3)用360°乘以12～16千步人數(shù)所占比例可解;(4)總人數(shù)乘以可解.【詳解】解:（1）小文此次一共調查了70÷35%=200位小區(qū)居民，故答案為200.    （2）行走步數(shù)為4～8千步的人數(shù)為200×25%=50人，故答案為50.   （3）行走步數(shù)為12～16千步的扇形圓心角是360°×20%=72°，故答案為72. （4）（人）.答：行走步數(shù)為0~4千步大約420人.【點睛】本題考查頻數(shù)（率）直方圖：提高讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．21. 一個不透明的口袋中放著若干個紅球和黑球，這兩種球除了顏色之外沒有其他任何區(qū)別，袋中的球已經攪勻，閉眼從口袋中摸出一個球，經過很多次實驗發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率逐漸穩(wěn)定在．（1）估計摸到紅球的概率是      ；（2）如果袋中原有紅球12個，求袋中原有幾個球？（3）又放入個黑球，再經過很多次實驗發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在，求的值．【答案】（1）    （2）袋中原有30個球    （3）n＝6【解析】【分析】（1）利用頻率估計概率即可得出答案；（2）設袋子中原有m個球，根據(jù)題意得，解之即可得出答案；（3）根據(jù)題意得，解之即可得出答案．【小問1詳解】解：∵經過很多次實驗發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率逐漸穩(wěn)定在，∴估計摸到紅球的概率是．故答案為：．【小問2詳解】解：設袋子中原有m個球，根據(jù)題意，得，解得：m＝30，經檢驗m＝30是分式方程的解，且符合題意，答：袋中原有30個球．【小問3詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：n＝6，經檢驗n＝6是分式方程的解，且符合題意，∴n＝6．【點睛】本題主要考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢，估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．22. 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E為AB上任意一點．（1）如圖①，只用無刻度的直尺在CD邊上作出點F，使；（2）如圖②，用直尺和圓規(guī)作出菱形EFGH，使得點F、G、H分別在邊BC、CD、DA上．（不寫作法，只保留作圖痕跡）【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）連接AC，BD交于點O，連接OE，延長EO交CD于點F，點F即為所求作．（2）在線段DC上截取線段DG，使得DG=BE，連接EG，作線段EG的垂直平分線交AD于H，交BC于F，連接EH，GH，EF，FG即可．【詳解】解：（1）如圖①，點F即為所求；（2）如圖②，菱形EFGH即為所求．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，平行四邊形的性質，菱形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．23. 如圖，平面直角坐標系內，小正方形網格的邊長為1個單位長度，，，解答下列問題：（1）將線段AB繞原點O順時針方向旋轉90°得到線段CD，再將線段CD向下平移2個單位長度得到線段EF，畫出線段CD和線段EF；（2）如果線段AB旋轉可以得到線段EF，則旋轉中心P的坐標為____________________．【答案】（1）見解析；（2）或．【解析】【分析】（1）分別連接點與旋轉中心，再順時針旋轉后得到，將向下平移2個單位得到連接，即可；（2）根據(jù)旋轉中心到對應點的距離相等，找到對應點連線的中垂線交點即可【詳解】解：（1）如圖，①分別連接分別將順時針旋轉后得到，連接②將分別向下平移2個單位得到,連接（2）旋轉中心到旋轉前后圖形的對應點的距離相等，則旋轉中心在對應點的中垂線上①當點的對應點為,點的對應點為時，連接分別作其中垂線，交點即為旋轉中心如圖：．②同理可得：當點的對應點為,點的對應點為時，如圖：故答案為：或．【點睛】本題考查了旋轉與平移的性質及作圖，找旋轉中心，熟悉旋轉的性質是解題的關鍵．24. 如圖，在中，點E、F 在AD邊上，且BF＝CE，AE＝DF．（1）求證：；（2）求證：四邊形ABCD是矩形．【答案】（1）證明見解析；    （2）證明見解析．【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質得到AB＝DC，再證AF＝DE，然后由全等三角形的判定定理即可得到結論．（2）由全等三角形的性質得到∠A＝∠D．再證∠A＝90°，然后根據(jù)矩形的判定定理即可得到結論．【小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝FD，∴AE＋EF＝FD＋EF，即AF＝DE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SSS）；【小問2詳解】由（1）可知：△ABF≌△DCE，∴∠A＝∠D，∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴?ABCD為矩形．【點睛】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的性質等知識；正確的識別圖形是解題的關鍵．25. 在中，，D是的中點，E是的中點，過點A作交的延長線于點F．（1）求證：；（2）證明：四邊形是菱形；（3）若，求菱形的面積．【答案】（1）見詳解    （2）見詳解    （3）24【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質得，再根據(jù)中線的性質即可證明；（2）由（1）所得條件結合直角三角形中位線的性質即可證明；（3）過點A作AG⊥BC，應用等面積法求出AG，即可求解．【小問1詳解】解：∵，∴，∵E是的中點，∴，在和中，∴；【小問2詳解】∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵D是的中點，∴，∴四邊形ADCF是菱形；【小問3詳解】如圖，過點A作AG⊥BC，∵，∴，∴，即，則．【點睛】本題主要考查三角形的全等證明、菱形的性質、勾股定理、平行線的性質，掌握相關性質并靈活應用是解題的關鍵．26. 定義：有一組對角是直角的四邊形叫做“準矩形”；有兩組鄰邊（不重復）相等的四邊形叫做“準菱形”．如圖①，在四邊形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，則四邊形ABCD是“準矩形”；如圖②，在四邊形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，則四邊形ABCD是“準菱形”．（1）如圖，在邊長為1的正方形網格中，A、B、C在格點（小正方形的頂點）上，請分別在圖③、圖④中畫出“準矩形”ABCD和“準菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格點上）；（2）下列說法正確的有        ；（填寫所有正確結論的序號）①一組對邊平行的“準矩形”是矩形；②一組對邊相等的“準矩形”是矩形；③一組對邊相等的“準菱形”是菱形；④一組對邊平行的“準菱形”是菱形．（3）如圖⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為一邊向外作“準菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于點D．①若∠ACE＝∠AFE，求證：“準菱形”ACEF是菱形；②在①的條件下，連接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，請直接寫出四邊形ACEF的面積．【答案】（1）見解析；（2）①②③④；（3）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)準矩形和準菱形的特點畫圖即可；（2）根據(jù)矩形的判定定理和菱形的判定定理結合準矩形和準菱形的性質對每一個選項進行推斷即可；（3）①先根據(jù)已知得出△ACF≌△ECF，再結合∠ACE＝∠AFE可推出AC∥EF，AF∥CE，則證明了“準菱形”ACEF是平行四邊形，又因為AC＝EC即可得出“準菱形”ACEF是菱形；②取AC的中點M，連接BM、DM，根據(jù)四邊形ACEF是菱形可得A、B、C、D四點共圓，點M是圓心，根據(jù)圓周角定理可推出∠BMD=90°，即可求出AC，再根據(jù)∠ACD＝30°即可求出AD，CD的長，則可求出菱形的面積．【詳解】解：（1）如圖，四邊形ABCD和ABCD′即為所求．；（2）①因為∠A＝∠C＝90°，結合一組對邊平行可以判斷四邊形為矩形，故①正確；②因為∠A＝∠C＝90°，結合一組對邊相等可以判斷四邊形為矩形，故②正確；③因為AB＝AD，BC＝DC，結合一組對邊相等可以判斷四邊形為菱形，故③正確；④因為AB＝AD，BC＝DC，結合一組對邊平行可以判斷四邊形為菱形，故④正確；故答案為：①②③④；（3）①證明：∵AC＝EC，AF＝EF，CF＝CF，∴△ACF≌△ECF（SSS）．∴∠ACF＝∠ECF，∠AFC＝∠EFC，∵∠ACE＝∠AFE，∴∠ACF＝∠EFC，∠ECF＝∠AFC，∴AC∥EF，AF∥CE，∴“準菱形”ACEF是平行四邊形，∵AC＝EC，∴“準菱形”ACEF是菱形；②如圖：取AC的中點M，連接BM、DM，∵四邊形ACEF是菱形，∴AE⊥CF，∠ADC=90°，又∵∠ABC=90°，∴A、B、C、D四點共圓，點M是圓心，∵∠ACB=15°，∴∠AMB=30°，∵∠ACD=30°，∴∠AMD=60°，∴∠BMD=90°，∴△BMD是等腰直角三角形，∴BM=DM=BD=×=1，∴AC=2（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），∴AD=AC×sin30°=1，CD=AC×cos30°=，∴菱形ACEF的面積=×1××4=．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，菱形的判定和性質，四點共圓的判定，圓周角定理，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，三角函數(shù)，掌握各知識點并熟練應用是解題關鍵．   

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