?高考數(shù)學(xué)天津卷3年（2021-2023）真題分類匯編-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

一、單選題
1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（????）
????
A． B．
C． D．
2．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的大小關(guān)系為（????）
A． B．
C． D．
3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）化簡(jiǎn)的值為（?????????）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，，，則（??????）
A． B． C． D．
5．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖像為（????）
A． B．
C． D．
6．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
7．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則（????）
A． B． C．1 D．
8．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（????）
A． B． C． D．
9．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖像大致為（????）
A． B．
C． D．

二、填空題
10．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
11．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .

三、解答題
12．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處切線的斜率；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：；
(3)證明：．
13．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若和有公共點(diǎn)，
（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；
（ii）求證：．
14．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)
（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

參考答案：
1．D
【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號(hào)排除選項(xiàng)，即得答案.
【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其為偶函數(shù)，且，
由且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；
當(dāng)時(shí)、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；
故選：D

2．D
【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.
【詳解】由在R上遞增，則，
由在上遞增，則.
所以.
故選：D

3．B
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.
【詳解】原式
，
故選：B
4．C
【分析】利用冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)?，?
故答案為：C.
5．D
【分析】分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 且，
函數(shù)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
又當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：D.
6．A
【分析】由最多有2個(gè)根，可得至少有4個(gè)根，分別討論當(dāng)和時(shí)兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，再結(jié)合考慮即可得出.
【詳解】最多有2個(gè)根，所以至少有4個(gè)根，
由可得，
由可得，
（1）時(shí)，當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，即；
當(dāng)，有5個(gè)零點(diǎn)，即；
當(dāng)，有6個(gè)零點(diǎn)，即；
（2）當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令，則，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；
所以若時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn).
綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)滿足
或或，
則可解得a的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是分成和兩種情況分別討論兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況.
7．C
【分析】由已知表示出，再由換底公式可求.
【詳解】，，
.
故選：C.
8．D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍即可求解.
【詳解】，，
，，
，，
.
故選：D.
9．B
【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可排除AC，再由當(dāng)時(shí)，，排除D，即可得解.
【詳解】設(shè)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除AC；
當(dāng)時(shí)， ，所以，排除D.
故選：B.
10．
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值，求出零點(diǎn)，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
即，
若時(shí)，，此時(shí)成立；
若時(shí)，或，
若方程有一根為，則，即且；
若方程有一根為，則，解得：且；
若時(shí)，，此時(shí)成立．
（2）當(dāng)時(shí)，，
即，
若時(shí)，，顯然不成立；
若時(shí)，或，
若方程有一根為，則，即；
若方程有一根為，則，解得：；
若時(shí)，，顯然不成立；
綜上，
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為．
所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對(duì)值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對(duì)應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)，從而解出．
11．
【分析】設(shè)，，分析可知函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得出，求出的取值范圍，然后對(duì)實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】設(shè)，，由可得.
要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，
解得或.
①當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：

此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，
要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，
所以，，解得；
③當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，合乎題意；
④當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，
要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，
可得，解得，此時(shí).
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
12．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率；
（2）問(wèn)題化為時(shí)，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可證結(jié)論；
（3）構(gòu)造，，作差法研究函數(shù)單調(diào)性可得，再構(gòu)造且，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得到恒成立，對(duì)作放縮處理，結(jié)合累加得到，即可證結(jié)論.
【詳解】（1），則，
所以，故處的切線斜率為；
（2）要證時(shí)，即證，
令且，則，
所以在上遞增，則，即.
所以時(shí).
（3）設(shè)，，
則，
由（2）知：，則，
所以，故在上遞減，故；
下證，
令且，則，
當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，
所以，故在上恒成立，
則，
所以，，…，，
累加得：，而，
因?yàn)?，所以?br /> 則，
所以，故；
綜上，，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)，作差法研究單調(diào)性證右側(cè)不等關(guān)系，再構(gòu)造且，導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)符號(hào)得恒成立，結(jié)合放縮、累加得到為關(guān)鍵.

13．(1)
(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）求出可求切線方程；
（2）（i）當(dāng)時(shí)，曲線和有公共點(diǎn)即為在上有零點(diǎn)，求導(dǎo)后分類討論結(jié)合零點(diǎn)存在定理可求.
（ii）曲線和有公共點(diǎn)即，利用點(diǎn)到直線的距離得到，利用導(dǎo)數(shù)可證，從而可得不等式成立.
【詳解】（1），故，而，
曲線在點(diǎn)處的切線方程為即.
（2）（i）當(dāng)時(shí)，
因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，故有解，
設(shè)，故，故在上有解，
設(shè)，故在上有零點(diǎn)，
而，
若，則恒成立，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)，
若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，
而，，故在上無(wú)零點(diǎn)，
故，
設(shè)，則，
故在上為增函數(shù)，
而，，
故在上存在唯一零點(diǎn)，
且時(shí)，；時(shí)，；
故時(shí)，；時(shí)，；
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
故，
因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，故，故，
而，故即，
設(shè)，則，
故在上為增函數(shù)，
而，故.
（ii）因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，
所以有解，其中，
若，則，該式不成立，故.
故，考慮直線，
表示原點(diǎn)與直線上的動(dòng)點(diǎn)之間的距離，
故，所以，
下證：對(duì)任意，總有，
證明：當(dāng)時(shí)，有，故成立.
當(dāng)時(shí)，即證，
設(shè)，則（不恒為零），
故在上為減函數(shù)，故即成立.
綜上，成立.
下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，
，則，
故在上為增函數(shù)，故即恒成立.
下證：在上恒成立，即證：，
即證：，即證：，
而，故成立.
故，即成立.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下零點(diǎn)問(wèn)題，注意利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理來(lái)處理，而多變量的不等式的成立問(wèn)題，注意從幾何意義取構(gòu)建不等式關(guān)系，再利用分析法來(lái)證明目標(biāo)不等式.
14．（I）；（II）證明見(jiàn)解析；（III）
【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；
（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；
（III）令，題目等價(jià)于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.
【詳解】（I），則，
又，則切線方程為；
（II）令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫出大致圖像如下：

所以當(dāng)時(shí)，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，令，則，且，
當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減，
為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；
（III）由（II）知，此時(shí)，
所以，
令，
若存在a，使得對(duì)任意成立，等價(jià)于存在，使得，即，
，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，故，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)；第三問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.

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