2023高考數(shù)學(xué)二輪專題 微專題5 與平面向量有關(guān)的最值、范圍問題

這是一份2023高考數(shù)學(xué)二輪專題 微專題5 與平面向量有關(guān)的最值、范圍問題，共27頁。
微專題5　與平面向量有關(guān)的最值、范圍問題高考定位　與平面向量有關(guān)的最值問題在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，多以小題形式考查，難度中檔.主要考查向量模、夾角、數(shù)量積、系數(shù)的最值或范圍.1.(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2－4e·b＋3＝0，則|a－b|的最小值是(　　)A.－1  B.＋1  C.2  D.2－答案　A解析　法一　設(shè)O為坐標原點，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以點B的軌跡是以C(2，0)為圓心，1為半徑的圓.因為a與e的夾角為，所以不妨令點A在射線y＝x(x>0)上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知|a－b|min＝||－||＝－1.故選A.法二　由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.設(shè)b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0.取EF的中點為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖.設(shè)a＝，作射線OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1.故選A.2.(2017·全國Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　)A.3  B.2  C.  D.2答案　A解析　如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，則B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，直線BD的方程為：y＝－2x＋2，⊙C方程為：(x－1)2＋(y－2)2＝r2，又＝(1，0)，＝(0，2)，則＝λ＋μ＝(λ，2μ)，又圓與直線BD相切，則半徑r＝.因為P點坐標可表示為x＝1＋rcos θ＝λ，y＝2＋rsin θ＝2μ，則λ＋μ＝2＋sin θ＋rcos θ＝2＋sin(θ＋φ)，當sin(θ＋φ)＝1時，有最大值，為2＋×＝3.3.(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC＝1，則·的取值范圍是(　　)A.[－5，3]  B.[－3，5]C.[－6，4]  D.[－4，6]答案　D解析　以C為坐標原點，CA，CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系(圖略)，則A(3，0)，B(0，4).設(shè)P(x，y)，則x2＋y2＝1，＝(3－x，－y)，＝(－x，4－y)，所以·＝x2－3x＋y2－4y＝＋(y－2)2－.又＋(y－2)2表示圓x2＋y2＝1上一點到點距離的平方，圓心(0，0)到點的距離為，所以(·)min＝－＝－4，(·)max＝－＝6，即·∈[－4，6]，故選D.4.(2022·浙江卷)設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A1A2…A8的邊A1A2上，則＋＋…＋的取值范圍是________.答案　[12＋2，16]解析　以圓心為原點，A7A3所在直線為x軸，A5A1所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則A1(0，1)，A2，A3(1，0)，A4，A5(0，－1)，A6，A7(－1，0)，A8，設(shè)P(x，y)，于是＋＋…＋＝8(x2＋y2)＋8，因為cos 22.5°≤|OP|≤1，所以≤x2＋y2≤1，故＋＋…＋的取值范圍是[12＋2，16].熱點一　向量模的最值、范圍向量的模指的是有向線段的長度，可以利用坐標表示，也可以借助“形”，結(jié)合平面幾何知識求解.如果直接求模不易，可以將向量用基底向量表示再求.例1 (1)已知單位向量a，b滿足|a－b|＋2a·b＝0，則|ta＋b|(t∈R)的最小值為(　　)A.  B.  C.  D.(2)已知a，b是單位向量，a·b＝0，若向量c滿足|c－a＋b|＝1，則|c－b|的取值范圍是________.答案　(1)B　(2)[－1，＋1]解析　(1)由|a－b|＋2a·b＝0，得|a－b|＝－2a·b，兩邊平方，得a2－2a·b＋b2＝12(a·b)2，即6(a·b)2＋a·b－1＝0，解得a·b＝－或a·b＝.因為|a－b|＝－2a·b≥0，所以a·b≤0，所以a·b＝－，所以|ta＋b|＝＝＝＝≥.(2)由a，b是單位向量，且a·b＝0，則可設(shè)a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y).∵向量c滿足|c－a＋b|＝1，∴＝1，即(x－1)2＋(y＋1)2＝1，它表示圓心為C(1，－1)，半徑為r＝1的圓，又|c－b|＝，它表示圓C上的點P到點B(0，1)的距離，如圖所示，且|BC|＝＝，∴－1≤|PB|≤＋1，即|c－b|的取值范圍是[－1，＋1].規(guī)律方法　模的范圍或最值常見方法(1)通過|a|2＝a2轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)坐標法.訓(xùn)練1 (1)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，則|＋3|的最小值為________.(2)若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為________.答案　(1)5　(2)1解析　(1)如圖，以DA，DC所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標系.則A(2，0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0，0)，設(shè)P(0，b)(0≤b≤a)，則＝(2，－b)，＝(1，a－b)，∴＋3＝(5，3a－4b)，∴|＋3|＝≥5，即當3a＝4b時，取得最小值5.(2)法一　由題意可知，|a|＝|b|＝|c|＝1，又∵a·b＝0且(a－c)·(b－c)≤0，∴a·b－a·c－c·b＋|c|2≤0，即a·c＋c·b≥1，c·(a＋b)≥1，故|a＋b－c|＝＝＝≤＝1.法二　設(shè)a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，則x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，則(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)·(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1，故|a＋b－c|＝＝＝，∵x＋y≥1，∴|a＋b－c|≤＝1，最大值為1.熱點二　向量數(shù)量積的最值、范圍數(shù)量積的表示一般有三種方法：(1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解；(2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解；(3)運用平面向量基本定理，將數(shù)量積的兩個向量用基底表示后，再運算.例2 (1)(2022·臺州質(zhì)檢)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則·的取值范圍是(　　)A.(－2，6)  B.(－6，2)C.(－2，4)  D.(－4，6)(2)如圖，在扇形OAB中，OA＝2，∠AOB＝90°，M是OA的中點，點P在上，則·的最小值為________.答案　(1)A　(2)4－2解析　(1)法一　如圖，取A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(－1，).設(shè)P(x，y)，則＝(x，y)，＝(2，0)，且－1＜x＜3.所以·＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6).故選A.法二　·＝||·||·cos∠PAB＝2||cos∠PAB，又||cos∠PAB表示在方向上的投影，所以結(jié)合圖形可知，當P與C重合時投影最大，當P與F重合時投影最小.又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故當點P在正六邊形ABCDEF內(nèi)部運動時，·∈(－2，6)，故選A.(2)如圖，以O為坐標原點，方向為x軸的正方向，方向為y軸的正方向建立平面直角坐標系，則M(1，0)，B(0，2)，設(shè)P(2cos θ，2sin θ)，θ∈，所以·＝(1－2cos θ，－2sin θ)·(－2cos θ，2－2sin θ)＝4－2cos θ－4sin θ＝4－2(cos θ＋2sin θ)＝4－2sin(θ＋φ)，所以·的最小值為4－2.規(guī)律方法　結(jié)合圖形求解運算量較小，建立坐標系將數(shù)量積用某個變量表示，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，其中選擇的變量要有可操作性.訓(xùn)練2 (1)(2022·新余模擬)已知△ABC是頂角A為120°，腰長為2的等腰三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則·(＋)的最小值是(　　)A.－  B.－  C.－  D.－1(2)(2022·天津河西區(qū)模擬)在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，若點M在線段BD上，則·的最小值為(　　)A.  B.－  C.－  D.答案　(1)A　(2)B解析　(1)如圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線DA為y軸，D為坐標原點建立平面直角坐標系，則A(0，1)，B(－，0)，C(，0)，設(shè)P(x，y)，所以＝(－x，1－y)，＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，·(＋)＝2x2－2y(1－y)＝2x2＋2－≥－，當P時，所求的最小值為－.(2)建立如圖所示的平面直角坐標系，因為AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，所以B(2，0)，D(0，1)，C(1，1)，設(shè)＝λ，0≤λ≤1，所以M(2－2λ，λ)，所以＝(2－2λ，λ)，＝(1－2λ，λ－1)，所以·＝(2－2λ)(1－2λ)＋λ(λ－1)＝5λ2－7λ＋2＝5－，當λ＝時，·的最小值為－.熱點三　向量夾角的最值、范圍求向量夾角的取值范圍、最值，往往要將夾角與其某個三角函數(shù)值用某個變量表示，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，要注意變量之間的關(guān)系.例3 若平面向量a，b，c滿足|c|＝2，a·c＝2，b·c＝6，a·b＝2，則a，b夾角的取值范圍是________.答案　解析　設(shè)c＝(2，0)，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，設(shè)a，b的夾角為θ，a·c＝2x1＝2?x1＝1，b·c＝2x2＝6?x2＝3，∴a＝(1，y1)，b＝(3，y2)，a·b＝3＋y1y2＝2?y1y2＝－1?y2＝－，∴cos θ＝＝＝≤＝，當且僅當y1＝±時，等號成立，顯然cos θ>0，即0<cos θ≤，∵0≤θ≤π，∴≤θ<，因此，a，b夾角的取值范圍是.規(guī)律方法　本題考查向量夾角取值范圍的計算，解題的關(guān)鍵就是將向量的坐標特殊化處理，借助基本不等式來求解.訓(xùn)練3 已知向量＝(1，1)，＝(1，a)，其中O為原點，若向量與的夾角在區(qū)間內(nèi)變化，則實數(shù)a的取值范圍是________.答案　解析　因為＝(1，1)，＝(1，a)，所以·＝1＋a.又·＝×cos θ，故cos θ＝，又θ∈，故cos θ∈，即∈，解得≤a≤.熱點四　向量系數(shù)的最值、范圍此類問題一般要利用共線向量定理或平面向量基本定理尋找系數(shù)之間的關(guān)系，然后利用函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求解.例4 (1)如圖，點C在半徑為2的上運動，∠AOB＝，若＝m＋n，則m＋n的最大值為________.(2)已知點G是△ABC的重心，點P是△GBC內(nèi)一點，若＝λ＋μ，則λ＋μ的取值范圍是________.答案　(1)　(2)解析　(1)以O為原點，的方向為x軸的正方向，建立平面直角坐標系(圖略)，則有＝(2，0)，＝(1，).設(shè)∠AOC＝α，則＝(2cos α，2sin α).由題意可知所以m＋n＝cos α＋sin α＝sin.因為α∈，≤α＋≤，所以(m＋n)max＝.(2)∵點P是△GBC內(nèi)一點，則λ＋μ<1，當且僅當點P在線段BC上時λ＋μ最大等于1，當P和G重合時，λ＋μ最小，此時，＝λ＋μ＝＝＋，∴λ＝μ＝，λ＋μ＝，故<λ＋μ<1.規(guī)律方法　平面向量中涉及系數(shù)的范圍問題時，要注意利用向量的模、數(shù)量積、夾角之間的關(guān)系，通過列不等式或等式得關(guān)于系數(shù)的關(guān)系式，從而求系數(shù)的取值范圍.訓(xùn)練4 如圖，在△ABC中，點P滿足＝3，過點P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點M，N，若＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，則λ＋μ的最小值為(　　)A.＋1  B.＋1C.  D.答案　B解析　如圖所示，＝3，即－＝3(－)，∴＝＋，∵＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，∴＝，＝，∴＝＋，又M，P，N三點共線，則＋＝1，∴λ＋μ＝(λ＋μ)＝＋＋1≥2＋1＝＋1，當且僅當μ＝λ時，等號成立，因此，λ＋μ的最小值為＋1.一、基本技能練1.已知向量a＝(，1)，b＝(1，)，則|λa－b|(λ∈R)的最小值為(　　)A.2  B.  C.1  D.答案　C解析　由題意可得λa－b＝λ(，1)－(1，)＝(λ－1，λ－)，所以，|λa－b|2＝(λ－1)2＋(λ－)2＝4λ2－4λ＋4＝4＋1，故當λ＝時，|λa－b|取得最小值1.2.已知⊥，||＝，||＝t，若點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且＝＋，則·的最大值等于(　　)A.13  B.15  C.19  D.21答案　A解析　建立如圖所示的平面直角坐標系，則B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，當且僅當t＝時等號成立，∴·的最大值等于13.3.設(shè)θ為兩個非零向量a，b的夾角，已知對任意實數(shù)t，|b－ta|的最小值為1，則(　　)A.若θ確定，則|a|唯一確定B.若θ確定，則|b|唯一確定C.若|a|確定，則θ唯一確定D.若|b|確定，則θ唯一確定答案　B解析　由|b－ta|的最小值為1知(b－ta)2的最小值為1，令f(t)＝(b－ta)2，即f(t)＝b2－2ta·b＋t2a2，則對于任意實數(shù)t，f(t)的最小值為＝＝1，化簡得b2(1－cos2θ)＝1，觀察此式可知，當θ確定時，|b|唯一確定，選B.4.(2022·湖南三湘名校聯(lián)考)窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.每年新春佳節(jié)，我國許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習(xí)俗，以此達到裝點環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望.圖一是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形的剪紙窗花，已知圖二中正六邊形ABCDEF的邊長為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，若點P在正六邊形的邊上運動，MN為圓O的直徑，則·的取值范圍是(　　)A.[6，12]  B.[6，16]C.[8，12]  D.[8，16]答案　C解析　·＝(＋)·(＋)＝2－2＝||2－4，因為||∈[2，4]，所以·的取值范圍是[8，12].5.在△ABC中，BC＝2，A＝45°，B為銳角，點O是△ABC外接圓的圓心，則·的取值范圍是(　　)A.  B.C.  D. 答案　A解析　依題意得，△ABC的外接圓半徑R＝·＝，||＝，如圖所示，因B為銳角，故A只能在弧A1C上(端點除外)，當A在A2位置時，與同向，此時·有最大值2，當A在A1位置時，·＝－2，此時為最小值，故·∈.故選A.6.在△ABC中，點D滿足＝，且CD⊥CB，則當角A最大時，cos A的值為(　　)A.－  B.  C.  D.答案　C解析　由題意，作出示意圖如圖所示，因為＝，所以＝＋＝＋.又＝＋，CD⊥CB，所以·＝·(＋)＝2＋2＋·＝||2＋||2－||·||cos A＝0，所以cos A＝＝≥＝，當且僅當AB＝2AC時取等號，故選C.7.(2022·煙臺模擬)已知△ABC為等邊三角形，AB＝2，△ABC所在平面內(nèi)的點P滿足|－－|＝1，則||的最小值為(　　)A.－1  B.2－1C.2－1  D.－1答案　C解析　因為|＋|2＝2＋2＋2·＝||2＋||2＋2||·||cos ＝12，所以|＋|＝2，由平面向量模的三角不等式可得||＝|(－－)＋(＋)|≥||－－|－|＋||＝2－1.8.(2022·河北五校聯(lián)考)已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，P為平面ABCD內(nèi)一點，則(＋)·(＋)的最小值為(　　)A.－4  B.4C.無最小值  D.0答案　A解析　如圖所示，建立平面直角坐標系xAy，則A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，設(shè)P(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(2－x，2－y)，＝(－x，2－y)，所以(＋)·(＋)＝(2－2x，－2y)·(2－2x，4－2y)＝4(x－1)2＋4(y－1)2－4，因此，當x＝y＝1時，(＋)·(＋)取得最小值為－4.綜上，故選A.9.(2022·蘇北四市模擬)在菱形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，點M，N分別為BC，CD邊上的點，且滿足＝，則·的最小值為________.答案　解析　設(shè)＝＝t，0≤t≤1，＝＋＝＋t＝＋t，＝＋＋＝＋＋t＝＋－t＝(1－t)＋，所以·＝(＋t)·[(1－t)＋]＝(1－t)2＋t2＋(1＋t－t2)·＝4(1－t)＋4t＋(1＋t－t2)×2×2×＝2t2－2t＋2＝2＋，因為0≤t≤1，所以當t＝時，2t2－2t＋2取得最小值，即·的最小值為.10.(2022·金華質(zhì)檢)已知平面向量a，b是單位向量.若a·b＝0，且|c－a|＋|c－2b|＝，則|c＋2a|的取值范圍是________.答案　解析　由題意，設(shè)a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，因為|c－a|＋|c－2b|＝，即＋＝，所以由幾何意義可得，點P(x，y)到點A(1，0)和點B(0，2)的距離之和為.又|AB|＝，所以點P在線段AB上，且直線AB的方程為2x＋y－2＝0.因為|c＋2a|＝表示點P到點M(－2，0)的距離，又點M到直線AB的距離為＝，此時，點M到直線AB垂線的垂足在線段AB上，|MA|＝3，|MB|＝2，所以|c＋2a|的取值范圍為.11.若a，b是兩個非零向量，且|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈，則a與a＋b的夾角的取值范圍是________.答案　解析　根據(jù)題意，設(shè)|a＋b|＝t，則|a|＝|b|＝λt，設(shè)a與a＋b的夾角為θ，由|a＋b|＝t，得a2＋2a·b＋b2＝t2，又|a|＝|b|，所以a2＋a·b＝，所以cos θ＝＝＝＝.又λ∈，則≤cos θ≤，又0≤θ≤π，所以θ∈.12.在△ABC中，點D滿足BD＝BC，當E點在線段AD上移動時，若＝λ＋μ，則t＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________.答案　解析　如圖所示，△ABC中，＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，又點E在線段AD上移動，設(shè)＝k，0≤k≤1，∴＝＋，又＝λ＋μ，∴∴t＝(λ－1)2＋μ2＝＋＝－＋1，0≤k≤1，∴當k＝時，t取到最小值，最小值為.二、創(chuàng)新拓展練13.(2022·廣州調(diào)研)騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛.如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A(前輪)、圓D(后輪)的半徑均為，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點P為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，·的最大值為(　　)A.18  B.24  C.36  D.48答案　C解析　騎行過程中，A，B，C，D，E相對不動，只有P點繞D點作圓周運動.如圖，以AD為x軸，E為坐標原點建立平面直角坐標系，由題意得A(－4，0)，B(－2，2)，C(2，2)，圓D方程為(x－4)2＋y2＝3，設(shè)P(4＋cos α，sin α)，則＝(6，2)，＝(6＋cos α，sin α－2)，·＝6(6＋cos α)＋2(sin α－2)＝6cos α＋6sin α＋24＝12＋24＝12sin＋24，易知當sin＝1時，·取得最大值36.14.(多選)(2022·鹽城調(diào)研)已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，c＝(λ，－1)，λ∈R，則(　　)A.若(a＋2b)⊥c，則λ＝4 B.若a＝tb＋c，則λ＋t＝－6C.|a＋μb|的最小值為D.若向量a＋b與向量2b＋c的夾角為銳角，則λ的取值范圍是(－∞，－1)答案　ABC解析　對于A，因為a＋2b＝(1，4)，c＝(λ，－1)，(a＋2b)⊥c，所以1×λ＋4×(－1)＝0，解得λ＝4，所以A正確.對于B，由a＝tb＋c，得(－3，2)＝t(2，1)＋(λ，－1)＝(2t＋λ，t－1)，則解得故λ＋t＝－6，所以B正確.對于C，因為a＋μb＝(－3，2)＋μ(2，1)＝(2μ－3，μ＋2)，所以|a＋μb|＝＝＝，則當μ＝時，|a＋μb|取得最小值，為，所以C正確.對于D，因為a＋b＝(－1，3)，2b＋c＝(4＋λ，1)，向量a＋b與向量2b＋c的夾角為銳角，所以(a＋b)·(2b＋c)＝－1×(4＋λ)＋3×1>0，解得λ<－1；當向量a＋b與向量2b＋c共線時，－1×1－3×(4＋λ)＝0，解得λ＝－，所以λ的取值范圍是∪，所以D不正確.故選ABC.15.(多選)(2022·杭州質(zhì)檢)“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個重要定理，它包含三個結(jié)論，其中一個是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.如圖，已知圓O的半徑為2，點P是圓O內(nèi)的定點，且OP＝，弦AC，BD均過點P，則下列說法正確的是(　　)A.(＋)·＝0 B.·為定值C.·的取值范圍是[－2，0] D.當AC⊥BD時，·為定值答案　ABD解析　如圖，連接OB，OD，OP，設(shè)DB的中點為S，連接OS，則OS⊥BD，故(＋)·＝2·＝0，故A正確；如圖，設(shè)直線PO與圓O交于E，F，則·＝－||||＝－|EP||PF|＝－(|OE|－|PO|)·(|OE|＋|PO|)＝|PO|2－|OE|2＝－2，故B正確；取AC的中點M，連接OM，如圖，則·＝(＋)·(＋)＝2－2＝2－(4－2)＝22－4，而0≤2≤|OP|2＝2，故·的取值范圍是[－4，0]，故C錯誤；當AC⊥BD時，·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－||·||－||·||＝－2|EP||PF|＝－4，故D正確.16.已知等邊△ABC的面積為9，且△ABC的內(nèi)心為M，若平面內(nèi)的點N滿足|MN|＝1，則·的最小值為________.答案?。?/span>5－2解析　設(shè)等邊△ABC的邊長為a，則面積S＝a2＝9，解得a＝6，以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.因為M為△ABC的內(nèi)心，所以點M在OC上，且OM＝OC，則A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3)，M(0，)，由|MN|＝1，得點N在以M為圓心，1為半徑的圓上.設(shè)N(x，y)，則x2＋(y－)2＝1，即x2＋y2－2y＋2＝0，且－1≤y≤1＋，＝(－3－x，－y)，＝(3－x，－y)，·＝(x＋3)(x－3)＋y2＝x2＋y2－9＝2y－11≥2×(－1)－11＝－5－2.17.在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，DE⊥AB且交AB于點E，DF∥AB且交AC于點F，則|2＋|的值為________；(＋)·的最小值為________.答案　1　解析　設(shè)BE＝x，x∈.∵△ABC為邊長為1的等邊三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1－2x.∵DF∥AB，∴△DFC是邊長為1－2x的等邊三角形，DE⊥DF，∴(2＋)2＝42＋4·＋2＝4x2＋4x(1－2x)×cos 0°＋(1－2x)2＝1，∴|2＋|＝1.∵(＋)·＝(＋)·(＋)＝2＋·＋·＋·＝(x)2＋0＋0＋(1－2x)·(1－x)＝5x2－3x＋1＝5＋，所以當x＝時，(＋)·取最小值為.18.已知平面單位向量e1，e2滿足|2e1－e2|≤.設(shè)a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夾角為θ，則cos2θ的最小值是__________.答案　解析　法一　設(shè)e1＝(1，0)，e2＝(x，y)，則a＝(x＋1，y)，b＝(x＋3，y)，2e1－e2＝(2－x，－y)，故|2e1－e2|＝≤，得(x－2)2＋y2≤2.又有x2＋y2＝1，則(x－2)2＋1－x2≤2，化簡，得4x≥3，即x≥，因此≤x≤1.cos2θ＝＝＝＝＝＝＝－，當x＝時，cos2θ有最小值，為＝.法二　單位向量e1，e2滿足|2e1－e2|≤，所以|2e1－e2|2＝5－4e1·e2≤2，即e1·e2≥.因為a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，a，b的夾角為θ，所以cos2 θ＝＝＝＝.不妨設(shè)t＝e1·e2，則t≥，cos2 θ＝，又y＝在上單調(diào)遞增.所以cos2 θ≥＝.所以cos2 θ的最小值為.法三　由題意，不妨設(shè)e1＝(1，0)，e2＝(cos x，sin x).因為|2e1－e2|≤，所以≤，得5－4cos x≤2，即cos x≥.易知a＝(1＋cos x，sin x)，b＝(3＋cos x，sin x)，所以a·b＝(1＋cos x)(3＋cos x)＋sin2x＝4＋4cos x，|a|2＝(1＋cos x)2＋sin2 x＝2＋2cos x，|b|2＝(3＋cos x)2＋sin2 x＝10＋6cos x，所以cos2 θ＝＝＝.不妨設(shè)m＝cos x，則m≥，cos2 θ＝，又y＝在上單調(diào)遞增，所以cos2 θ≥＝，所以cos2 θ的最小值為.