2023高考數學二輪專題導數38講 專題21 雙變量不含參不等式證明方法之換元法

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?專題21　雙變量不含參不等式證明方法之換元法
【方法總結】
雙變量不等式的證明是導數綜合題的一個難點，其困難之處是如何消元，構造合適的一元函數．
整體換元法：若兩個變量存在確定的關系，可以利用其中一個變量替換另一個變量，直接消元，將兩個變量轉化為一個變量．若兩個變量不存在確定的關系，有時可以將兩個變量之間的關系看成一個整體（比如，，，)等策略將兩個變量劃歸為一個變量整體換元，化為一元不等式．
[例1]　已知函數f(x)＝ax2＋xlnx(a∈R)的圖象在點(1，f(1))處的切線與直線x＋3y＝0垂直．
(1)求實數a的值；
(2)求證：當n＞m＞0時，lnn－lnm＞－．
解析　(1)因為f(x)＝ax2＋xln x，所以f′(x)＝2ax＋ln x＋1，
因為切線與直線x＋3y＝0垂直，所以切線的斜率為3，所以f′(1)＝3，即2a＋1＝3，故a＝1．
(2)要證lnn－lnm＞－，即證ln＞－，只需證ln－＋＞0．
令＝x，構造函數g(x)＝ln x－＋x(x≥1)，則g′(x)＝＋＋1．
因為x∈[1，＋∞)，所以g′(x)＝＋＋1＞0，故g(x)在(1，＋∞)上單調遞增．
由已知n＞m＞0，得＞1，所以g＞g(1)＝0，即證得ln－＋＞0成立，所以命題得證．
總結提升　對“待證不等式”等價變形為“l(fā)n－＋＞0”后，觀察可知，對“”進行換元，變?yōu)椤發(fā)nx－＋x＞0”，構造函數“g(x)＝ln x－＋x(x≥1)”來證明不等式，可簡化證明過程中的運算．
[例2]　已知函數f(x)＝lnx－，g(x)＝xlnx－m(x2－1)(m∈R)．
(1)若函數f(x)，g(x)在區(qū)間(0，1)上均單調且單調性相反，求實數m的取值范圍；
(2)若0＜a＜b，證明：＜＜．
解析　(1)f′(x)＝－＝＞0，所以f(x)在(0，1)上單調遞增．
由已知f(x)，g(x)在(0，1)上均單調且單調性相反，得g(x)在(0，1)上單調遞減．
所以g′(x)＝ln x＋1－2mx≤0在(0，1)上恒成立，即2m≥，
令φ(x)＝(x∈(0，1))，φ′(x)＝＞0，所以φ(x)在(0，1)上單調遞增，φ(x)＜φ(1)＝1，
所以2m≥1，即m≥．
(2)由(1)f(x)＝lnx－在(0，1)上單調遞增，f(x)＝ln x－＜f(1)＝0，即ln x＜，
令x＝∈(0，1)得ln＜＝，∵ln＜0，∴＜．
在(1)中，令m＝，由g(x)在(0，1)上均單調遞減得g(x)＞g(1)＝0，
所以xln x－(x2－1)＞0，即ln x＞，
取x＝∈(0，1)得ln＞，即ln a－ln b＞，
由lna－lnb＜0得：＜，綜上：＜＜．
總結提升　兩個正數和的對數平均定義：
對數平均與算術平均、幾何平均的大小關系：（此式記為對數平均不等式）
取等條件：當且僅當時，等號成立．
[例3]　已知，其中圖像在處的切線平行于軸．
(1)確定與的關系；
(2)設斜率為的直線與的圖像交于，求證：．
思維引導　(2)，所證不等式為即，進而可將視為一個整體進行換元，從而轉變?yōu)樽C明一元不等式．
解析　(1)，，
依題意可得：．
(2)依題意得，故所證不等式等價于：
．
令，則只需證：．
先證右邊不等式：，
令，，在單調遞減，．
即．對于左邊不等式：．
令，則，在單調遞增，．
總結提升
(1)在證明不等式時，由于獨立取值，無法利用等量關系消去一個變量，所以考慮構造表達式：使得不等式以為研究對象，再利用換元將多元不等式轉變?yōu)橐辉坏仁剑?br /> (2)所證不等式為輪換對稱式時，若獨立取值，可對定序，從而增加一個可操作的條件．
[例4]　已知函數．
(1)求的單調區(qū)間和極值；
(2)設，且，證明：．
思維引導　所證不等式等價于證，輪換對稱式可設，進而對不等式進行變形，在考慮能否換元減少變量．
解析　(1)定義域為，，令，解得：．
∴的單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是，
的極小值為，無極大值．
(2)不妨設，．
，（由于定序，去分母避免了分類討論）
，（觀察兩邊同時除以，即可構造出關于的不等式）
兩邊同除以得，，
令，則，即證：．
令，
．
令，，（再次利用整體換元）
，在上單調遞減，所以．
即，即恒成立，
∴在上是減函數，所以．
∴得證．所以成立．
總結提升
(1)本題考驗不等式的變形，對于不等式而言，觀察到每一項具備齊次的特征（不包括對數），所以同除以，結果為或者1，觀察對數的真數，其分式也具備分子分母齊次的特點，所以分子分母同除以，結果為或者1，進而就將不等式化為以為核心的不等式．
(2)本題進行了兩次整體換元，第一次減少變量個數，第二次簡化了表達式．
【對點訓練】
1．已知函數f(x)＝ln x－．
(1)若函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，求實數a的取值范圍；
(2)設m>n>0，求證：lnm－lnn>．
1．解析　(1)f′(x)＝－＝＝．
因為f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，所以f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即x2＋(2－2a)x＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以2a－2≤x＋在(0，＋∞)上恒成立．
因為x＋≥2，當且僅當x＝1時，等號成立，所以2a－2≤2，解得a≤2．
(2)要證ln m－ln n>，只需證ln>，即證ln－>0．
設h(x)＝ln x－，由(1)可知h(x)在(0，＋∞)上單調遞增，
因為>1，所以h>h(1)＝0，即ln－>0，所以原不等式成立．
2．已知函數f(x)＝＋ln x在(1，＋∞)上是增函數，且a>0．
(1)求a的取值范圍；
(2)若b>0，試證明0，a≥1，所以>1，又f(x)＝＋ln x在(1，＋∞)上是增函數，
所以f>f(l)，即＋ln >0，化簡得0，即證tln t＋a>te－t．令h(x)＝xln x＋a，則h′(x)＝ln x＋1．
當00，a≥時，h(x)>φ(x)，即xln x＋a>xe－x．所以f(ln b)>．