2023屆新疆巴音郭楞蒙古自治州第一中學(xué)高三上學(xué)期線上期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解指數(shù)不等式求得集合，由此求得.【詳解】，所以，所以.故選：A2．已知=(1，2)，=(-1，1)，則= （    ）A．5 B．3 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，進(jìn)而可求得模長(zhǎng).【詳解】    故選：3．若復(fù)數(shù)，則 （    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先算出代入即可【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：C.4．已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（    ）A．既不充分也不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．充分而不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)單調(diào)性定義可知充分性成立；通過(guò)反例可知必要性不成立，由此可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，，充分性成立；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，必要性不成立；綜上所述：“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的充分而不必要條件.故選：D.5．“曼哈頓距離”也叫“出租車(chē)距離”，是19世紀(jì)德國(guó)猶太人數(shù)學(xué)家赫爾曼·閔可夫斯基首先提出來(lái)的名詞，用來(lái)表示兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和，即在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，若，，則，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”為，下列直角梯形中的虛線可以作為，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)公式，由圖觀察即可求解.【詳解】根據(jù)題意：，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”為，再結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可以判斷只有C選項(xiàng)符合題意.故選：C．6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有器中米，不知其數(shù)，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，問(wèn)：米幾何？”下圖是執(zhí)行該計(jì)算過(guò)程的一個(gè)程序框圖，若輸出的（單位：升），則器中米的數(shù)量應(yīng)為（    ）A．升 B．升 C．升 D．升【答案】C【分析】由程序框圖反向計(jì)算即可推導(dǎo)得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)程序框圖反向運(yùn)算知：當(dāng)輸出時(shí)，，解得：；由得：，解得：；由得：，解得：.故選：C．7．某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10°C至40°C之間，下面四個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類(lèi)型的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型.【詳解】由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象附近，因此，最適合作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類(lèi)型的是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點(diǎn)圖的分布，屬于基礎(chǔ)題.8．已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，過(guò)焦點(diǎn)作直線的垂線，此時(shí)最小，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，過(guò)焦點(diǎn)作直線的垂線，如下圖所示，此時(shí)最小，為點(diǎn)到直線的距離.，則．故選：B．【點(diǎn)睛】拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離．牢記它對(duì)解題非常有益．9．和是兩個(gè)等差數(shù)列，其中為常值，，，，則（    ）A．64 B．128 C．256 D．512【答案】B【分析】由已知條件求出的值，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由已知條件可得，則，因此，.故選：B.10．若，則下列正確的是（    ）A． B．ln(a-b) > 0C． D．【答案】D【分析】由的單調(diào)性可判斷A；判斷與的大小關(guān)系可判斷選項(xiàng)B；舉反例可證明C；由的單調(diào)性可判斷D.【詳解】解：A選項(xiàng)：單調(diào)遞增，又，所以，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，則，不一定成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，不成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：是單調(diào)遞增函數(shù)，，則，故D選項(xiàng)正確；故選：D11．某學(xué)校為了解1 000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1，2，…，1 000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn)，若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是A．8號(hào)學(xué)生 B．200號(hào)學(xué)生 C．616號(hào)學(xué)生 D．815號(hào)學(xué)生【答案】C【分析】等差數(shù)列的性質(zhì)．滲透了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．使用統(tǒng)計(jì)思想，逐個(gè)選項(xiàng)判斷得出答案．【詳解】詳解：由已知將1000名學(xué)生分成100個(gè)組，每組10名學(xué)生，用系統(tǒng)抽樣，46號(hào)學(xué)生被抽到，所以第一組抽到6號(hào)，且每組抽到的學(xué)生號(hào)構(gòu)成等差數(shù)列，公差，所以，若，則，不合題意；若，則，不合題意；若，則，符合題意；若，則，不合題意．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣.12．已知正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為（    ）A．1 B．2 C．4 D．【答案】B【分析】將已知的式子，然后判斷函數(shù)，，的單調(diào)性，從而可得，即，再利用基本不等式可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)?/span>，所以．設(shè)，，易知在上單調(diào)遞增，故，即，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 所以的最小值為2．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將已知等式轉(zhuǎn)化為等式兩邊結(jié)構(gòu)相同的形式，然后構(gòu)造函數(shù)判斷其單調(diào)性，從而可得，再利用基本不等式可求得結(jié)果，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題 二、填空題13．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=_______【答案】1【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)建立方程即可得出答案.【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)， ，化簡(jiǎn)為：解得： 故答案為：114．若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則____________．【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【詳解】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，則，解得或，所以，因?yàn)?/span>，故.故答案為：.15．若x，y滿(mǎn)足約束條件則z=x+7y的最大值為______________.【答案】1【分析】首先畫(huà)出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求得其最大值.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)即：，其中z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.故答案為：1．【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)b＜0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.16．如圖，，分別是雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，且，過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)，．若為等邊三角形，則雙曲線的方程為______【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義算出中，，，由是等邊三角形得，利用余弦定理算出，結(jié)合雙曲線定義即可算出雙曲線的方程.【詳解】解：根據(jù)雙曲線的定義，可得，是等邊三角形，即，又，，即，，中，，，，，，即，解得，又，由此可得：，所以雙曲線方程為：.故答案為：. 三、解答題17．已知函數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的值域.（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的位置可求函數(shù)的值域.（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得對(duì)稱(chēng)軸的位置，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱(chēng)軸為直線，而，故，故函數(shù)的值域?yàn)?/span>.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，故.18．某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，其中男生200人.為了了解該校學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽中的情況，采取按性別分層抽樣，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在450~950分之間.將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱(chēng)為“高分選手”.根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示.(1)求的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)若樣本中屬于“高分選手”的男生有10人，完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān). 屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生   女生   合計(jì)    參考公式：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828  【答案】(1)，670分(2)表格見(jiàn)解析，有99.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān) 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖特點(diǎn)得到關(guān)于的方程，解出，再利用平均數(shù)計(jì)算公式得到平均數(shù)值即可；（2）根據(jù)題意計(jì)算相關(guān)數(shù)據(jù)，填寫(xiě)聯(lián)表中數(shù)據(jù)，再代入公式，計(jì)算卡方值，最后得出結(jié)論.【詳解】（1），解得平均數(shù)估計(jì)值為（分）（2）由題意可知， 樣本中男生有人，則女生有80人，屬于“高分選手”的有人，其中男生10人，則高分中女生為人，不屬于“高分選手”的男生為人，不屬于“高分選手”的女生為人，因此，得到列聯(lián)表如下： 屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生101020女生156580合計(jì)2575100 因此，的觀測(cè)值，所以有99.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)19．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，且是與的等差中項(xiàng)．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出等式，然后通過(guò)等比數(shù)列的基本量的計(jì)算列出方程，并解方程即可.（2）首先根據(jù)題干條件，由（1）中的通項(xiàng)公式得到的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得即可.【詳解】（1）設(shè)的公比為q．因?yàn)?/span>是與的等差中項(xiàng)，所以，即，整理得，解得或．又因?yàn)?/span>，所以．所以．（2）由（1）知，所以，而，所以．20．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程及其離心率；(2)若為橢圓上第一象限的點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且有，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)，離心率為；(2) 【分析】（1）由題意可得，繼而求出，即可得方程和離心率；（2）設(shè)，則，又由可得，繼而得到，聯(lián)立即可解得，的值.【詳解】（1）依題知：，所以.所以橢圓方程為，離心率.（2）如圖：設(shè)，第一象限有，①；由得：，又，，因此②，聯(lián)立①②解得，故.21．已知函數(shù).(1)若曲線y=在點(diǎn)處的切線的斜率為0，求曲線y=在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）先利用求出，再求出和，即可得到切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和極值，由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，列不等式即可求解.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?/span>,.因?yàn)榍€y=在點(diǎn)處的切線的斜率為0，所以，解得：，所以.而，所以曲線y=在點(diǎn)處的切線方程為：，即；（2）i.當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去；ii. 當(dāng)時(shí)，令，解得：；令，解得：.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.當(dāng)，；當(dāng)，；所以要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需，解得：.即綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g（x）的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)g（x）的零點(diǎn)問(wèn)題；（3）利用導(dǎo)數(shù)硏究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)硏究，22．已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，傾斜角為.(1)寫(xiě)出曲線的普通方程；(2)設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.（2）求得直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，并代入曲線的普通方程，結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義以及根與系數(shù)關(guān)系求得.【詳解】（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以，又因?yàn)?/span>，所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方（為參數(shù)），即（為參數(shù)）；把直線的參數(shù)方程代入，可得：，又，所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，則，所以. 

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