1．三角形全等的判定方法有：__________、__________、__________、__________，直角三角形全等的判定除以上的方法外還有__________．
2．全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊__________，對應(yīng)角__________，周長________，面積__________．
【例1】如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 與BD 交于點(diǎn)O，AC＝BD.求證：(1)BC＝AD; (2)△OAB是等腰三角形．
【考點(diǎn)1】三角形全等的判定與性質(zhì)
證明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴△ABC，△BAD是直角三角形. ∵AC=BD，AB=BA, ∴△ABC≌△BAD（HL）. ∴BC=AD. （2）∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA. ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形.
【變式1】如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC上的點(diǎn)，且AE＝BF.求證：CE＝DF.
證明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD， ∠B=∠BCD=90°，∵AE=BF， ∴AB－AE=BC－BF，即BE=CF. 在△BCE和△CDF中，BC＝CD， ∠B＝∠FCD＝90°，BE＝CF， ∴△BCE≌△CDF（SAS）. ∴CE=DF.
【考點(diǎn)2】三角形全等的判定與性質(zhì)
【例2】如圖，BD是菱形ABCD的對角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，DA上，且∠DFB＝∠DEB.求證：CE＝AF.
證明：∵BD是菱形ABCD的對角線， ∴∠ADB=∠CDB，AD=CD. 又∵∠DFB=∠DEB, BD=BD, ∴△DFB≌△DEB. ∴DF=DE. ∴AD－DF=CD－DE. ∴CE=AF.
【變式2】如圖，已知菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是 CB，CD上的點(diǎn)，且BE＝DF.求證：(1)△ABE≌△ADF； (2)∠AEF＝∠AFE.
證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D. 又∵BE=DF， ∴△ABE≌△ADF. （2）∵△ABE≌△ADF， ∴AE=AF. ∴∠AEF=∠AFE.
【考點(diǎn)3】三角形全等的判定與性質(zhì)
【例3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， 點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，且不與A，B兩點(diǎn)重合，AE⊥AB， AE＝BD，連接DE，DC.(1)求證：△ACE≌△BCD；(2)求證：△DCE是等腰直角三角形．
證明：如圖，（1）∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠B=∠2=45°. ∵AE⊥AB，∴∠1+∠2=90°． ∴∠1=45°．∴∠1=∠B． 在△ACE和△BCD中，AE＝BD，∠1＝∠B，AC＝BC， ∴△ACE≌△BCD（SAS）. （2）∵△ACE≌△BCD，∴CE=CD，∠3=∠4． ∵∠4+∠5=90°，∴∠3+∠5=90°.即∠ECD=90°. ∴△DCE是等腰直角三角形.
【變式3】如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC＝∠DAE＝90°，四邊形ACDE是平行四邊形，連 接CE交AD于點(diǎn)F，連接BD交CE于點(diǎn)G，連接BE.求證：(1)CE＝BD； (2)∠ADB＝∠AEB .
證明：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC， 即∠BAD=∠CAE. ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB=AC，AE=AD， ∴△BAD≌△CAE（SAS）. ∴CE=BD.
（2）∵四邊形ACDE是平行四邊形， ∴AE∥CD. ∴∠ADC=∠DAE=90°，AE=CD， ∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE=AD. ∴AD=CD. ∴△ADC是等腰直角三角形. ∴∠CAD=45°. ∴∠BAD=90°+45°=135°. ∵∠DAE=∠BAC=90°，∠CAD=45°， ∴∠BAE=360°－90°－90°－45°=135°. 又∵AB=AB，AD=AE，∴△BAE≌△BAD（SAS）， ∴∠ADB=∠AEB.
1．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD， CB＝CD，若連接AC，BD相交于點(diǎn)O，則 圖中全等三角形共有________對．
2．已知：如圖，點(diǎn)C為AB中點(diǎn)，CD＝BE，CD∥BE.求證：△ACD≌△CBE.
證明：∵C是AB的中點(diǎn)（已知），∴AC=CB． ∵CD∥BE（已知），∴∠ACD=∠B． 在△ACD和△CBE中，AC＝CB, ∠ACD＝∠CBE , CD＝BE , ∴△ACD≌△CBE（SAS）.
3．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在一條直線上，AB＝CD， AE∥BF，CE∥DF. 求證：AE＝BF.
證明：∵AE∥BF， ∴∠A=∠FBD. ∵CE∥DF， ∴∠D=∠ACE. ∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD. 在△ACE和△BDF中， ∠A=∠FBD, AC=BD，∠D=∠ACE， ∴△ACE≌△BDF（ASA）. ∴AE=BF．
4．如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O， EF過點(diǎn)O且與AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：△AOE≌△COF.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OA=OC，AB∥CD. ∴∠EAO=∠FCO. 在△AOE和△COF中， ∠EAO＝∠FCO. AO＝CO，∠EOA＝∠FOC， ∴△AOE≌△COF（ASA）
5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝BC，BE⊥CE 于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D.求證：△BEC≌△CDA.
證明：∵BE⊥CE于點(diǎn)E, AD⊥CE于點(diǎn)D, ∴∠BEC=∠CDA=90°. 在Rt△BEC中,∠BCE+∠CBE=90°, 在Rt△BCA中,∠BCE+∠ACD=90°. ∴∠CBE=∠ACD. 在△BEC和△CDA中,∠BEC=∠CDA, ∠CBE=∠ACD, BC=AC, ∴△BEC≌△CDA（AAS）
6．如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CB，CD 上的點(diǎn)，且BE＝DF，求證：EF⊥AC .
證明：分別連接AE,AF， ∵菱形ABCD， ∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D， 又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF. ∴AE=AF.∴點(diǎn)A在EF的垂直平分線上， ∵BE=DF，BC=CD，∴CE=CF. ∴點(diǎn)C在EF的垂直平分線上，∴EF⊥AC
7．如圖1，等邊三角形ABC中，D是AB上一點(diǎn)，以CD為邊 向上作等邊三角形CDE，連接AE. (1)求證：AE∥BC; (2)如圖2，若點(diǎn)D在AB的延長線上，其余條件均不變， (1)中結(jié)論是否成立？請說明理由．
證明：（1）∵△ABC和△DCE是等邊三角形， ∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=∠B=∠BAC=60°， ∴∠BCA－∠ACD=∠DCE－∠ACD，即∠BCD=∠ACE. ∴△BCD≌△ACE（SAS）. ∴∠B=∠CAE，∴∠B=∠CAE=∠BAC=60°. ∴∠CAE+∠BAC=∠BAE=120°. ∴∠B+∠BAE=180°. ∴AE∥BC.

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