1．相似三角形的判定：(1)如圖，若DE∥BC(A型和X型)則 △ADE∽__________．(2)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形__________．(3)兩邊對(duì)應(yīng)成__________且?jiàn)A角________的兩個(gè)三角形 相似．(4)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形__________．
2.相似三角形的性質(zhì)：(1)對(duì)應(yīng)角________，對(duì)應(yīng)邊的比等于________， 周長(zhǎng)的比等于________，面積的比等于__________ . (2)三條平行線截兩條直線，所得對(duì)應(yīng)線段 __________ .
【例1】如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的高且CD2＝AD·DB.(1)求證：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB的度數(shù)．
【考點(diǎn)1】相似三角形的判定與性質(zhì)
證明：（1）∵CD是邊AB上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°. ∵CD2=AD·DB， ∴ . ∴△ADC∽△CDB. （2）由（1）,得△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B. ∵∠B+∠DCB=90°， ∴∠ACD+∠DCB=90°，即∠ACB=90°.
【變式1】如圖，D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)， 連接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4， 求線段CD的長(zhǎng)．
解：在△ABD和△ACB中， ∠ABD=∠C，∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACB. ∴ . ∵AB=6，AD=4， ∴AC= . ∴CD=AC－AD=9－4=5.
【考點(diǎn)2】相似三角形的判定
【例2】如圖，在矩形ABCD中，沿直線MN對(duì)折， 使A，C重合，直線MN交AC于點(diǎn)O. 求證：△COM∽△CBA.
證明：A與C關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)，∴AC⊥MN，∴∠COM=90°.在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=∠B.又∵∠ACB=∠ACB， ∴△COM∽△CBA .
【變式2】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以 CD為直徑作⊙O，⊙O與邊BC相交于點(diǎn)F，⊙O的 切線DE與邊AB相交于點(diǎn)E. 求證：△ADE∽△CDF.
證明：∵CD是⊙O的直徑， ∴∠DFC=90°. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A=∠C，AD∥BC. ∴∠ADF=∠DFC=90°， ∵DE為⊙O的切線，∴DE⊥DC. ∴∠EDC=90°. ∴∠ADF=∠EDC=90°. ∴∠ADE=∠CDF. ∵∠A=∠C， ∴△ADE∽△CDF.
1．如圖，在△ABC中，DE∥BC， ,則△ADE與△ABC的面積之比為_(kāi)_______．
3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，求證：△ABC∽ADE.
2．如圖，點(diǎn)P是?ABCD的邊AB上一點(diǎn)，射線CP交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則圖中相似的三角形有________對(duì)．
證明：∵∠C=90°DE⊥AB, ∴∠C=∠DEA, ∵∠A=∠A, ∴△ABC∽△ADE.
4．如圖，AB∥FC，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E， DE＝FE，分別延長(zhǎng)FD和CB交于點(diǎn)G.(1)求證：△ADE≌△CFE；(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的長(zhǎng)．
證明：（1）∵ AB∥FC，∴∠ADE=∠CFE. 又∵∠AED=∠CEF，DE=FE, ∴ △ADE≌△CFE（ASA）. （2）解：∵△ADE≌△CFE，∴ AD=CF. ∵ AB∥FC，∴∠GBD＝∠GCF，∠GDB＝∠GFC. ∴△ GBD∽△GCF. ∴ 又∵GB＝2，BC＝4，BD＝1， 代入 , ,得CF＝3=AD. ∴ AB＝AD+BD=3+1=4.
5．如圖，⊙O的半徑為4，B是⊙O外一點(diǎn)，連接OB， 且OB＝6，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線BD，切點(diǎn)為D，延長(zhǎng)BO交 ⊙O于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作切線BD的垂線，垂足為C.(1)求證：AD平分∠BAC；(2)求AC的長(zhǎng)．
證明：（1）連接OD，∵BD是⊙O的切線，∴OD⊥BD. ∵AC⊥BD，∴OD∥AC. ∴∠DAC=∠ODA. ∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA. ∴∠OAD=∠DAC，即AD平分∠BAC. （2）解：∵OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC. ∴ . ∴ . 解得AC= .

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