?2022-2023學(xué)年山西省呂梁市汾陽市八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填在下表中）
1．（3分）下列長(zhǎng)度的三條線段不能組成三角形的是（　?。?br /> A．2，3，6 B．5，8，10 C．4，4，7 D．3，4，5
2．（3分）下列四個(gè)圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
3．（3分）下列計(jì)算正確的是（　　）
A．（﹣2a）2＝4a2 B．x4?x4＝x16
C．（﹣b）7÷b5＝b2 D．（m2）3?m4＝m9
4．（3分）如圖，A，B是池塘兩側(cè)端點(diǎn)，在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測(cè)得OA的長(zhǎng)為6米，OB的長(zhǎng)為6米，∠O＝60°，則A，B兩點(diǎn)之間的距離是（　?。?br />
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
5．（3分）如圖，衣架框內(nèi)部可以近似看成一個(gè)等腰三角形，記為等腰三角形ABC，若AB＝AC＝26cm，D是BC的中點(diǎn)，∠ABC＝30°，則AD的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
6．（3分）“春江潮水連海平，海上明月共潮生”，水是詩人鐘愛的意象，經(jīng)測(cè)算，一個(gè)水分子的直徑約為0.0000000004m，數(shù)據(jù)0.0000000004用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．4×10﹣11 B．4×10﹣10 C．4×10﹣9 D．0.4×10﹣9
7．（3分）如圖，這是平面鏡成像的示意圖，若以蠟燭的底部和平面鏡中像的底部連線為x軸，平面鏡所在點(diǎn)的豎線為y軸（鏡面厚度忽略不計(jì)）建立平面直角坐標(biāo)系，某時(shí)刻火焰頂部S的坐標(biāo)是（﹣1.5，1），則此時(shí)對(duì)應(yīng)的虛像S'的坐標(biāo)是（　?。?br />
A．（1.5，﹣1） B．（1，1.5） C．（1，﹣1.5） D．（1.5，1）
8．（3分）下列分式中，與的值相等的是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）如圖，△ABC≌△A'BC'，過點(diǎn)C作CD⊥BC'，垂足為D，若∠ABA'＝55°，則∠BCD的度數(shù)為（　?。?br />
A．25° B．35° C．45° D．55°
10．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CP+PQ取得最小值時(shí)，BQ的長(zhǎng)是（　　）

A．8 B．10 C．12 D．16
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）分解因式：3a2﹣3＝　 　．
12．（3分）如圖，AB與OM相交于點(diǎn)A，與ON相交于點(diǎn)B，OP⊥AB，垂足為P．現(xiàn)要證明△AOP≌△BOP，若只添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是 　 　.（不作輔助線，寫出一個(gè)即可）

13．（3分）若一個(gè)正多邊形的外角與其相鄰的內(nèi)角之比為1：5，則該正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為 　 ?。?br /> 14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（﹣3，0），（0，2），△OA'B'≌△AOB，若點(diǎn)A'在x軸的正半軸上，則位于第四象限的點(diǎn)B'的坐標(biāo)是 　 ?。?br />
15．（3分）若關(guān)于x的方程無解，則m的值為 　 ?。?br /> 三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16．（10分）（1）計(jì)算：2﹣1+23+（π﹣1）0；
（2）計(jì)算：（x+3y）（3x﹣y）+3y2．
17．（7分）如圖，已知△ABC，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD＝CB，DE∥BC，DE＝BA，連接BE，求證：BE＝CA．

18．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC．
（1）在AC上求作一點(diǎn)F，使點(diǎn)F到A，B兩點(diǎn)之間的距離相等．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）
（2）連接BF，若∠A＝50°，求∠FBC的度數(shù)．

19．（8分）在學(xué)校開展的“勞動(dòng)創(chuàng)造美好生活”主題活動(dòng)中，八（1）班負(fù)責(zé)校園某綠化角的設(shè)計(jì)、種植與養(yǎng)護(hù)，同學(xué)們計(jì)劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植，已知吊蘭的單價(jià)比綠蘿的單價(jià)多5元，且用200元購買綠蘿的盆數(shù)與用300元購買吊蘭的盆數(shù)相同．
（1）求購買綠蘿和吊蘭的單價(jià)各是多少元？
（2）若購買綠蘿的數(shù)量是吊蘭數(shù)量的兩倍，且資金不超過600元，則購買吊蘭的數(shù)量最多是多少盆？
20．（8分）（1）證明角平分線具有的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
為了更直觀、清楚地表達(dá)題意，我們通常在證明之前畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證．
如圖1，已知：OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：PD＝PE．
（2）如圖2，在△OAB中，OP平分∠AOB，交AB于點(diǎn)P，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，OA＝OB＝6，若S△OAB＝15，求PD的長(zhǎng)．


21．（9分）動(dòng)點(diǎn)問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的問題，解決此類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜，運(yùn)用分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想靈活解決問題．如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝6cm，點(diǎn)P在線段BA上從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/s；點(diǎn)Q在線段CB上從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為3cm/s，設(shè)點(diǎn)P，Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．
（1）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過幾秒時(shí)△PBQ為等邊三角形？
（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，若某時(shí)刻△PBQ為直角三角形，請(qǐng)計(jì)算運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．


22．（12分）有足夠多的長(zhǎng)方形和正方形卡片（如圖1），分別記為1號(hào)，2號(hào)，3號(hào)卡片．
（1）如果選取4張3號(hào)卡片，拼成如圖2所示的一個(gè)正方形，請(qǐng)用2種不同的方法表示陰影部分的面積（用含m，n的式子表示）．
①方法1：　 　；方法2：　 　；
②請(qǐng)寫出（m+n）2，（m﹣n）2，4mn三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系：　 ?。?br /> （2）若|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，求（a﹣b）2的值．
（3）如圖3，選取1張1號(hào)卡片，2張2號(hào)卡片，3張3號(hào)卡片，可拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（無縫隙不重疊），請(qǐng)畫出該長(zhǎng)方形，根據(jù)圖形的面積關(guān)系，分解因式：m2+3mn+2n2＝　 　．


23．（13分）綜合與探究
問題提出：某興趣小組在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題：在等腰直角三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，用兩根小木棒構(gòu)建角，將頂點(diǎn)放置于點(diǎn)D上，得到∠MDN，將∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，射線DM，DN分別與邊AB，AC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，如圖1所示．
（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)時(shí)，試猜想線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是 　 　，位置關(guān)系是 　 ?。?br /> （2）類比探究：如圖3，當(dāng)E，F(xiàn)不是AB，AC的中點(diǎn)，但滿足BE＝AF時(shí)，判斷△DEF的形狀，并說明理由．
（3）拓展應(yīng)用：①如圖4，將∠MDN繞點(diǎn)D繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，射線DM，DN分別與AB，CA的延長(zhǎng)線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，滿足BE＝AF，△DEF是否仍然具有（2）中的情況？請(qǐng)說明理由；
②若在∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，射線DM，DN分別與直線AB，CA交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，滿足BE＝AF，若AB＝a，BE＝b，則AE＝　 ?。ㄓ煤琣，b的式子表示）．



2022-2023學(xué)年山西省呂梁市汾陽市八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填在下表中）
1．（3分）下列長(zhǎng)度的三條線段不能組成三角形的是（　?。?br /> A．2，3，6 B．5，8，10 C．4，4，7 D．3，4，5
【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，進(jìn)而判斷得出答案．
【解答】解：A．∵2+3＝5＜6，
∴不能組成三角形，符合題意
B．∵5+8＝13＞10，
∴能組成三角形，不符合題意；
C．∵4+4＝8＞7，
∴能組成三角形，不符合題意；
D．∵3+4＝7＞5，
∴能組成三角形，不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，判斷能否組成三角形的簡(jiǎn)便方法是看較小的兩個(gè)數(shù)的和是否大于第三個(gè)數(shù)．
2．（3分）下列四個(gè)圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A，B，C選項(xiàng)中的圖標(biāo)都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；
D選項(xiàng)中的圖標(biāo)能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
3．（3分）下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．（﹣2a）2＝4a2 B．x4?x4＝x16
C．（﹣b）7÷b5＝b2 D．（m2）3?m4＝m9
【分析】利用同底數(shù)冪的除法和同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方、積的乘方運(yùn)算計(jì)算即可．
【解答】解：（﹣2a）2＝4a2，A選項(xiàng)正確；
x4?x4＝x8，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
（﹣b）7÷b5＝﹣b2，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
（m2）3?m4＝m10，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的除法和同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方、積的乘方運(yùn)算．
4．（3分）如圖，A，B是池塘兩側(cè)端點(diǎn)，在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測(cè)得OA的長(zhǎng)為6米，OB的長(zhǎng)為6米，∠O＝60°，則A，B兩點(diǎn)之間的距離是（　　）

A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【分析】說明△ABO是等邊三角形，則AB＝OA＝6米．
【解答】解：∵OA的長(zhǎng)為6米，OB的長(zhǎng)為6米，
∴OA＝OB，
∵∠O＝60°，
∴△ABO是等邊三角形，
∴AB＝OA＝6米，
∴A，B兩點(diǎn)之間的距離是6米，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）如圖，衣架框內(nèi)部可以近似看成一個(gè)等腰三角形，記為等腰三角形ABC，若AB＝AC＝26cm，D是BC的中點(diǎn)，∠ABC＝30°，則AD的長(zhǎng)為（　　）

A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
【分析】先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得AD⊥BC，從而可得∠ADB＝90°，然后在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC＝26cm，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴ADAB＝13（cm），
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）“春江潮水連海平，海上明月共潮生”，水是詩人鐘愛的意象，經(jīng)測(cè)算，一個(gè)水分子的直徑約為0.0000000004m，數(shù)據(jù)0.0000000004用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．4×10﹣11 B．4×10﹣10 C．4×10﹣9 D．0.4×10﹣9
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
【解答】解：0.0000000004＝4×10﹣10．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
7．（3分）如圖，這是平面鏡成像的示意圖，若以蠟燭的底部和平面鏡中像的底部連線為x軸，平面鏡所在點(diǎn)的豎線為y軸（鏡面厚度忽略不計(jì)）建立平面直角坐標(biāo)系，某時(shí)刻火焰頂部S的坐標(biāo)是（﹣1.5，1），則此時(shí)對(duì)應(yīng)的虛像S'的坐標(biāo)是（　　）

A．（1.5，﹣1） B．（1，1.5） C．（1，﹣1.5） D．（1.5，1）
【分析】利用關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．
【解答】解：某時(shí)刻火焰頂部S的坐標(biāo)是（﹣1.5，1），則此時(shí)對(duì)應(yīng)的虛像S'的坐標(biāo)是（1.5，1）．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了鏡面對(duì)稱，正確掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
8．（3分）下列分式中，與的值相等的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．
【解答】解：，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
9．（3分）如圖，△ABC≌△A'BC'，過點(diǎn)C作CD⊥BC'，垂足為D，若∠ABA'＝55°，則∠BCD的度數(shù)為（　?。?br />
A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠A′BC′，可得∠DBC＝∠ABA'＝55°，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出答案即可．
【解答】解：∵△ABC≌△A'BC'，
∴∠ABC＝∠A′BC′，
∴∠ABC﹣∠A′BC＝∠A′BC′﹣∠A′BC，
∴∠DBC＝∠ABA'＝55°，
∵CD⊥BC'，
∴∠BCD＝90°﹣∠DBC＝35°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和垂線的性質(zhì)，能熟記全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解此題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CP+PQ取得最小值時(shí)，BQ的長(zhǎng)是（　?。?br />
A．8 B．10 C．12 D．16
【分析】作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)H，則PQ＝PH，CP+PQ＝CP+PH，當(dāng)C、H、P三點(diǎn)在同一直線上，且CH⊥AB時(shí)，CP+PQ＝CH為最短．
【解答】解：如圖，作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)H，則PQ＝PH，BH＝BQ．
∴CP+PQ＝CP+PH，
∴當(dāng)C、H、P三點(diǎn)在同一直線上，且CH⊥AB時(shí)，CP+PQ＝CH為最短．
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BHBC24＝12，
∴BQ＝12．
故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇栴}，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）分解因式：3a2﹣3＝　3（a+1）（a﹣1）　．
【分析】先提取公因式3，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解．
【解答】解：3a2﹣3，
＝3（a2﹣1），
＝3（a+1）（a﹣1）．
故答案為：3（a+1）（a﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．
12．（3分）如圖，AB與OM相交于點(diǎn)A，與ON相交于點(diǎn)B，OP⊥AB，垂足為P．現(xiàn)要證明△AOP≌△BOP，若只添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是 　OA＝OB　.（不作輔助線，寫出一個(gè)即可）

【分析】添加OA＝OB，可根據(jù)SAS證明△AOP≌△BOP即可．
【解答】解：添加OA＝OB，理由如下：
∵OP平分∠MON，
∴∠AOP＝∠BOP，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
故答案為：OA＝OB．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）若一個(gè)正多邊形的外角與其相鄰的內(nèi)角之比為1：5，則該正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為 　1800°　．
【分析】設(shè)正多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)為x°，與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為5x°，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到x+5x＝180，解出x＝30，然后根據(jù)多邊形的外角和為360°即可計(jì)算出多邊形的邊數(shù)，最后求出內(nèi)角和即可．
【解答】解：設(shè)正多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)為x°，與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為5x°，依題意有：
x+4x＝180，
解得x＝30，
所以這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為：360°÷30°＝12，
所以這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為：
（12﹣2）?180°＝1800°．
故答案為：1800°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的外角定理：多邊形的外角和為360°，以及多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180° （n≥3且n為整數(shù)）．
14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（﹣3，0），（0，2），△OA'B'≌△AOB，若點(diǎn)A'在x軸的正半軸上，則位于第四象限的點(diǎn)B'的坐標(biāo)是 　（3，﹣2）　．

【分析】根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA＝3，OB＝2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OA′＝OA＝3，A′B′＝OB＝2，再求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)即可．
【解答】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（﹣3，0），（0，2），
∴OA＝3，OB＝2，∠AOB＝90°，
∵△OA'B'≌△AOB，
∴OA′＝OA＝3，A′B′＝OB＝2，∠B′A′O＝90°，
∵點(diǎn)B′在第四象限，
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（3，﹣2），
故答案為：（3，﹣2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解此題的關(guān)鍵．
15．（3分）若關(guān)于x的方程無解，則m的值為 　0或4?。?br /> 【分析】求解方程可得x，再由方程無解可得m﹣4＝0，即可求m的值．
【解答】解：，
2（2x+1）＝mx，
4x+2＝mx，
（4﹣m）x＝﹣2，
∵方程無解，可分為以下兩種情況：
①分式方程沒有意義時(shí)，
x＝0或，
此時(shí)m＝0，
②整式不成立時(shí)，
4﹣m＝0，
∴m＝4，
故答案為：0或4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，理解方程無解的意義是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16．（10分）（1）計(jì)算：2﹣1+23+（π﹣1）0；
（2）計(jì)算：（x+3y）（3x﹣y）+3y2．
【分析】（1）先算乘方，后算加法；
（2）去括號(hào)，合并同類項(xiàng)．
【解答】解：（1）原式8+1
＝9；
（2）原式＝3x2+8xy﹣3y2+3y2
＝3x2+8xy．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、實(shí)數(shù)的運(yùn)算、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，掌握這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
17．（7分）如圖，已知△ABC，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD＝CB，DE∥BC，DE＝BA，連接BE，求證：BE＝CA．

【分析】證明△BED≌△BAC（SAS），即可解決問題．
【解答】證明：∵DE∥BC，
∴∠DBE＝∠CBA，
在△BED和△BAC中，
，
∴△BED≌△BAC（SAS），
∴BE＝CA．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△BED≌△BAC．
18．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC．
（1）在AC上求作一點(diǎn)F，使點(diǎn)F到A，B兩點(diǎn)之間的距離相等．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）
（2）連接BF，若∠A＝50°，求∠FBC的度數(shù)．

【分析】（1）作AB的垂直平分線交AC于F點(diǎn)；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠FBA＝∠A＝50°，∠ABC＝∠C＝65°，再利用角的和差關(guān)系解答即可．
【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)F就是所求的點(diǎn)；

（2）∵FA＝FB，∠A＝50°，
∴∠FBA＝∠A＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C（180°﹣∠A）（180°﹣50°）＝65°，
∴∠FBC＝∠ABC﹣∠FBA＝65°﹣50°＝15°，
即∠FBC的度數(shù)為15°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．
19．（8分）在學(xué)校開展的“勞動(dòng)創(chuàng)造美好生活”主題活動(dòng)中，八（1）班負(fù)責(zé)校園某綠化角的設(shè)計(jì)、種植與養(yǎng)護(hù)，同學(xué)們計(jì)劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植，已知吊蘭的單價(jià)比綠蘿的單價(jià)多5元，且用200元購買綠蘿的盆數(shù)與用300元購買吊蘭的盆數(shù)相同．
（1）求購買綠蘿和吊蘭的單價(jià)各是多少元？
（2）若購買綠蘿的數(shù)量是吊蘭數(shù)量的兩倍，且資金不超過600元，則購買吊蘭的數(shù)量最多是多少盆？
【分析】（1）設(shè)購買綠蘿的單價(jià)為x元，則購買吊蘭的單價(jià)為（x+5）元，由題意：用200元購買綠蘿的盆數(shù)與用300元購買吊蘭的盆數(shù)相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）設(shè)購買吊蘭的數(shù)量為m盆，則購買綠蘿的數(shù)量為2m盆，由題意：資金不超過600元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）設(shè)購買綠蘿的單價(jià)為x元，則購買吊蘭的單價(jià)為（x+5）元，
由題意得：，
解得：x＝10，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10是原方程的解，且符合題意，
則x+5＝15，
答：購買綠蘿的單價(jià)為10元，購買吊蘭的單價(jià)為15元；
（2）設(shè)購買吊蘭的數(shù)量為m盆，則購買綠蘿的數(shù)量為2m盆，
由題意得：15m+10×2m≤600，
解得：m，
∵m為正整數(shù)，
∴m的最大值為17，
答：購買吊蘭的數(shù)量最多是17盆．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
20．（8分）（1）證明角平分線具有的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
為了更直觀、清楚地表達(dá)題意，我們通常在證明之前畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證．
如圖1，已知：OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：PD＝PE．
（2）如圖2，在△OAB中，OP平分∠AOB，交AB于點(diǎn)P，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，OA＝OB＝6，若S△OAB＝15，求PD的長(zhǎng)．


【分析】（1）利用AAS證明△PDO≌△PEO，即可解決問題；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PD＝PE，所以S△AOP＝S△BOP，進(jìn)而可得PD的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP＝∠EOP，
在△PDO和△PEO中，
，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD＝PE；
（2）解：∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD＝PE，
∵OA＝OB＝6，
∴S△AOP＝S△BOP，
∵S△OAB＝15，
∴S△AOP＝S△BOP15，
∴OA?PD，
∴6PD＝15，
∴PD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵得到△PDO≌△PEO．
21．（9分）動(dòng)點(diǎn)問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的問題，解決此類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜，運(yùn)用分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想靈活解決問題．如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝6cm，點(diǎn)P在線段BA上從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/s；點(diǎn)Q在線段CB上從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為3cm/s，設(shè)點(diǎn)P，Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．
（1）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過幾秒時(shí)△PBQ為等邊三角形？
（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，若某時(shí)刻△PBQ為直角三角形，請(qǐng)計(jì)算運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．


【分析】（1）由等邊三角形的判定，當(dāng)PB＝BQ時(shí)，△PBQ是等邊三角形，由此即可解決問題；
（2）分兩種情況，由直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為3cm/s，
∴BP＝2t（cm），BQ＝（6﹣3t）（cm），
當(dāng)PB＝BQ時(shí)，△PBQ是等邊三角形，
∴2t＝6﹣3t，
∴t＝1.2，
∴在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過1.2秒時(shí)△PBQ為等邊三角形．
（2）①當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，

∵∠B＝60°，
∴∠BQP＝30°，
∴PBBQ，
∴2t（6﹣3t），
∴t，
②當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，∠BPQ＝30°，

∴BQPB，
∴6﹣3t2t，
∴t＝1.5，
∴在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，若△PBQ為直角三角形，ts或t＝1.5s．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是分情況討論．
22．（12分）有足夠多的長(zhǎng)方形和正方形卡片（如圖1），分別記為1號(hào)，2號(hào)，3號(hào)卡片．
（1）如果選取4張3號(hào)卡片，拼成如圖2所示的一個(gè)正方形，請(qǐng)用2種不同的方法表示陰影部分的面積（用含m，n的式子表示）．
①方法1：?。╩﹣n）2??；方法2：?。╩+n）2﹣4mn　；
②請(qǐng)寫出（m+n）2，（m﹣n）2，4mn三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系：　（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn?。?br /> （2）若|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，求（a﹣b）2的值．
（3）如圖3，選取1張1號(hào)卡片，2張2號(hào)卡片，3張3號(hào)卡片，可拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（無縫隙不重疊），請(qǐng)畫出該長(zhǎng)方形，根據(jù)圖形的面積關(guān)系，分解因式：m2+3mn+2n2＝　m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）?。?br />

【分析】（1）①從“整體”和“部分”兩個(gè)方面分別表示陰影部分的面積即可；
②由①中兩種方法所表示的面積相等可得答案；
（2）根據(jù)非負(fù)數(shù)的定義可得a+b＝6，ab＝4，再根據(jù)（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）求出所拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬以及總面積即可．
【解答】解：（1）①方法1：圖2中陰影部分是邊長(zhǎng)為（m﹣n），因此面積為（m﹣n）2，
方法2：圖2陰影部分也可以看作從邊長(zhǎng)為（m+n）的正方形減去4個(gè)長(zhǎng)為m．寬為n的長(zhǎng)方形面積，因此有（m+n）2﹣4mn，
故答案為：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；
②由①得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，
故答案為：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（2）∵|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，|a+b﹣6|≥0，|ab﹣4|≥0，
∵a+b﹣6＝0，ab﹣4＝0，
即a+b＝6，ab＝4，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝36﹣16
＝20．
故答案為：20；
（3）1張1號(hào)，2張2號(hào)，3張3號(hào)卡片的總面積為m2+2n2+3mn，
而1張1號(hào)，2張2號(hào)，3張3號(hào)卡片可以拼成長(zhǎng)為（m+2n），寬為（m+n）的長(zhǎng)方形，
所以有m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）．
故答案為：m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是關(guān)鍵．
23．（13分）綜合與探究
問題提出：某興趣小組在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題：在等腰直角三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，用兩根小木棒構(gòu)建角，將頂點(diǎn)放置于點(diǎn)D上，得到∠MDN，將∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，射線DM，DN分別與邊AB，AC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，如圖1所示．
（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)時(shí)，試猜想線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是 　DE＝DF　，位置關(guān)系是 　DE⊥DF?。?br /> （2）類比探究：如圖3，當(dāng)E，F(xiàn)不是AB，AC的中點(diǎn)，但滿足BE＝AF時(shí)，判斷△DEF的形狀，并說明理由．
（3）拓展應(yīng)用：①如圖4，將∠MDN繞點(diǎn)D繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，射線DM，DN分別與AB，CA的延長(zhǎng)線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，滿足BE＝AF，△DEF是否仍然具有（2）中的情況？請(qǐng)說明理由；
②若在∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，射線DM，DN分別與直線AB，CA交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，滿足BE＝AF，若AB＝a，BE＝b，則AE＝　a﹣b或a+b?。ㄓ煤琣，b的式子表示）．


【分析】（1）可證明四邊形AEDF是正方形，進(jìn)而得出結(jié)果；
（2）連接AD，證明△DBE≌△DAF，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）②方法與（2）相同；
②分為當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上和在AB的延長(zhǎng)線上，容易得出結(jié)果．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴AD＝BD＝CDBC，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，
∴DE⊥AB，DF⊥AC，AEAB，AFAC，
∴四邊形AEDF是矩形，
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，
∴矩形AEDF是正方形，
∴DE＝DF，∠EDF＝90°，
故答案為：DE＝DF，DE⊥DF；
（2）如圖1，

△DEF是等腰直角三角形，理由如下：
連接AD，
由上知：AD＝BC，∠ADB＝90°，
∴∠ADE+∠BDE＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，
∴∠B＝∠C＝45°，∠DAC＝∠BAD45°，AD＝BDBC，
∴∠B＝∠DAC，
∵BE＝AF，
∴△DBE≌△DAF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADF＝∠BDE，
∴∠ADE+∠ADF＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（3）①如圖2，

△DEF仍是等腰直角三角形，理由如下：
連接AD，
由上知：∠DAC＝∠ABC＝45°，AD＝BD，
∴180°﹣∠DAC＝180°﹣∠ABD，
∴∠FAD＝∠DBE，
∵BE＝AF，
∴△DBE≌△DAF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADF＝∠BDE，
同（2）可得：∠EDE＝90°，
∴△DEF仍是等腰直角三角形；
②如圖1，
AE＝AB﹣BE＝a﹣b
如圖2，
AE＝AB+BE＝a+b，
故答案為：a﹣b或a+b．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/1/23 16:50:23；用戶：?jiǎn)戊o怡；郵箱：zhaoxia39@xyh.com；學(xué)號(hào)：39428212

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