2022-2023學年山西省呂梁市交口縣八年級（下）期末數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  若二次根式在實數范圍內有意義，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 2.  點在函數的圖象上，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 3.  某專賣店專營某品牌女鞋，店主對上一周中不同尺碼的鞋子銷售情況統(tǒng)計如表：尺碼平均每天銷售數量雙該店主決定本周進貨時，增加一些碼的女鞋，影響該店主決策的統(tǒng)計量是(    )A. 平均數 B. 方差 C. 眾數 D. 中位數4.  如圖，在等邊中，、分別是邊、的中點，，則的周長為(    )A.
B.
C.
D. 5.  如圖，在矩形中，對角線與相交于點，若，則的度數是(    )
 A.  B.  C.  D. 6.  我國是最早了解勾股定理的國家之一．早在三千多年前，周朝數學家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”它被記載于下列哪部著名數學著作中(    )A. 周髀算經
B. 九章算術
C. 海島算經
D. 幾何原本7.  一次函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是(    )A.
B.
C. 隨的增大而減小
D. 直線與兩坐標軸圍成的圖形面積為
 
 8.  小明調查了班里名同學本學期購買課外書的本數，并將結果繪制成了如圖所示的扇形統(tǒng)計圖則下列說法正確的是(    )A. 的值為
B. 眾數為
C. 平均數為
D. 中位數為
 9.  如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，以點為圓心，長為半徑畫弧，交軸的負半軸于點，則直線的解析式為(    )A.
B.
C.
D. 10.  如圖所示的網格是正方形網格，點，，是網格線的交點，則(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.  若一個長方形的長為，寬為，則它的面積為______ ．12.  命題“菱形的四條邊都相等”的逆命題是______．13.  年”世界杯”的成功舉辦，引起學生對足球的極大興趣某校開展了足球知識比賽，經過幾輪篩選，八年級班甲、乙、丙、丁四名同學的平均成績單位：分及方差如下表：  甲乙丙丁平均成績分方差如果要選出一名成績較好且發(fā)揮穩(wěn)定的同學代表班級參加比賽，那么應選擇______ 同學．14.  如圖，已知函數和的圖象相交于點，則不等式的解集是______ ．
15.  如圖，一張直角三角形紙片，兩直角邊，，將沿直線折疊，使點與點重合，折痕為，則的長為______ ．
 三、解答題（本大題共8小題，共64.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.  本小題分
計算：
；
．17.  本小題分
端午節(jié)前，某超市為了滿足人們的購物需求，計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售經了解，甲種水果和乙種水果的進價與售價如下表所示：若超市購進這兩種水果共千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的倍，則超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？ 水果單價甲乙進價元千克售價元千克 18.  本小題分
現如今，環(huán)保這一理念越來越融入到我們的生活中為了加強學生的環(huán)保意識，某中學舉辦我是環(huán)保小達人的演講比賽，比賽分為入圍賽和決賽兩個賽段全校學生積極響應，全部報名參加入圍賽，隨機抽取了若干名學生，調查他們每天課后練習演講的時間，現將調查結果繪制成如下尚不完整的統(tǒng)計圖表請根據統(tǒng)計圖表提供的信息，回答下列問題：
將下面的統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖補充完整；組別練習時間分鐘頻數人百分比 ______ ______ ______ ______ 若該校學生有人，請你估計每天課后練習時間超過分鐘的學生有多少人？
演講決賽時，總成績由內容、表達、風度、印象四部分組成，并按：：：計算進入冠亞軍爭奪的張明和趙亮的各項得分如下表：  內容表達風度印象張明分分分分趙亮分分分分總成績高的人為冠軍，請你通過計算判斷他倆誰獲得冠軍？
19.  本小題分
如圖，中，，過點作的平行線，與的平分線交于點，點是上一點，于點，連接．
求證：四邊形是菱形；
若，，求的長．

 20.  本小題分
為落實“雙減”政策，豐富課后服務的內容，某學校計劃到甲、乙兩個體育專賣店購買一批新的體育用品，兩個商店的優(yōu)惠活動如下：
甲：所有商品按原價折出售；
乙：一次購買商品總額不超過元的按原價付費，超過元的部分打折．
設需要購買體育用品的原價總額為元，去甲商店購買實付元，去乙商店購買實付元，其函數圖象如圖所示．

分別求，關于的函數關系式；
兩圖象交于點，求點坐標；
請根據函數圖象，直接寫出選擇去哪個體育專賣店購買體育用品更合算．21.  本小題分
請閱讀下列材料，并完成相應的任務．
勾股定理的證明
多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，不但因為這個定理重要，還因為這個定理貼近人們的生活實際，以致于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)，都愿意探討研究它的證明，新的證法不斷出現其中，美國第任總統(tǒng)詹姆斯加菲爾德的證法在數學史上被傳為佳話，他將兩個完全相同的直角三角形拼成一個梯形，巧妙地用面積法給出了勾股定理的證明過程：
如圖：

利用整體法，梯形的面積為；
利用分割法，梯形的面積為；

按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分．
如圖，在中，，，，，求的長．

 22.  本小題分
綜合與實踐
問題情境：
數學活動課上，老師引導學生用一塊等腰直角三角板和一個正方形展開探究活動．將正方形的一個頂點與等腰直角三角板的斜邊的中點重合，擺放的位置不同一些線段就會出現一定的數量關系．
知識初探：
將等腰直角三角板與正方形如圖擺放，使正方形的頂點與等腰直角三角板斜邊的中點重合，且邊經過點，請你寫出與的數量關系和位置關系：______．
類比再探：
如圖，正方形的頂點與等腰直角三角板斜邊的中點重合，邊不經過點，連接，，此時與的又有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由．
拓展延伸：
如圖，正方形的頂點與等腰直角三角板斜邊的中點重合，正方形的對角線交于點，連接，，取的中點，連接，請你直接寫出與之間的數量關系與位置關系．
 23.  本小題分
綜合與探究
如圖，在平面直角坐標系中，直線：與軸，軸分別交于點，，直線：與軸，軸分別交于點，，兩條直線交于點，且點的橫坐標為；連接．
求直線的函數解析式；
求的面積；
若點在直線上，為坐標平面內任意一點，試探究：是否存在以點，，，為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：二次根式在實數范圍內有意義，
，
解得：．
故選：．
根據二次根式有意義的條件，即可求解．
本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數為非負數是解題的關鍵．
 2.【答案】 【解析】解：把點代入函數，
得，
解得：．
故選：．
利用一次函數圖象上點的坐標特征．把點代入函數解析式中求即可．
本題考查一次函數圖象上點與函數解析式的關系，知識點是：在這條直線上的各點的坐標一定適合這條直線的解析式．
 3.【答案】 【解析】解：由于眾數是數據中出現次數最多的數，故影響該店主決策的統(tǒng)計量是眾數．
故選：．
平均數、中位數、眾數是描述一組數據集中程度的統(tǒng)計量；方差是描述一組數據離散程度的統(tǒng)計量．銷量大的尺碼就是這組數據的眾數．
此題主要考查統(tǒng)計的有關知識，主要包括平均數、中位數、眾數、方差的意義．
 4.【答案】 【解析】解：、分別是邊、的中點，，
是的中位線，
，，
是等邊三角形，
的周長，
故選：．
根據等邊三角形的性質和三角形中位線定理解答即可．
此題考查三角形中位線定理，關鍵是根據三角形中位線定理得出的長解答．
 5.【答案】 【解析】解：四邊形是矩形，
，，，
，
，
；
故選：．
根據矩形的性質，證出，得出，再由三角形內角和定理即可得出答案．
本題考查了矩形的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理；證出是解題關鍵．
 6.【答案】 【解析】解：早在三千多年前，我國周朝數學家商高就提出：將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”它被記載于我國古代著名數學著作周髀算經中．
故選：．
加強教材的閱讀，熟記相關知識的來源與出處．
本題考查了勾股定理的歷史淵源，仔細閱讀教材，熟記知識是解題的關鍵．
 7.【答案】 【解析】解：如圖所示：、圖象經過第一、三、四象限，則，故此選項不符合題意；
B、圖象與軸交于點，故，故此選項符合題意；
C、，隨的增大而增大，故此選項不符合題意；
D、直線與兩坐標軸圍成的圖形面積為，故此選項不符合題意；
故選：．
直接利用一次函數的性質結合函數圖象上點的坐標特點得出答案．
此題主要考查了一次函數與一元一次不等式，正確數形結合分析是解題關鍵．
 8.【答案】 【解析】解：、的值為，故不符合題意；
B、這名同學購買課外書的眾數為，故不符合題意；
C、購買課外書本有人，
購買課外書本有人，
購買課外書本有人，
購買課外書本有人，
這名同學購買課外書的平均數為，故不符合題意；
D、這名同學購買課外書的中位數為，故符合題意．
故選：．
根據扇形圖中的數據逐項判斷即可．
本題主要考查扇形統(tǒng)計圖，從扇形統(tǒng)計圖中得出解題所需數據及眾數、中位數、平均數的定義是解題的關鍵．
 9.【答案】 【解析】解：在直線中，令，求得；令，求得，
點的坐標為，點的坐標為，
，，
，
以點為圓心，長為半徑畫弧，交軸的負半軸于點，
，
則點的坐標為：，
設直線的解析式為，
把，代入得，
解得，
直線的解析式為．
故選：．
先求得、的坐標，然后利用勾股定理得出的長，再利用圓的性質得出的長，即可得出的坐標，然后根據待定系數法即可求得直線的解析式．
本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求一次函數的解析式，勾股定理的應用等，求得的坐標是解題的關鍵．
 10.【答案】 【解析】解：如圖，延長交格點于，連接，

則，，
，
，則為等腰直角三角形，
，
，
故選：．
延長交格點于，連接，根據勾股定理得，，求得，于是得到，根據等腰直角三角形的性質和三角形外角的性質即可得到結論．
本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性質，等腰直角三角形的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
 11.【答案】 【解析】解：


故答案為：．
根據長方形的面積計算方法列式計算即可．
本題考查了二次根式的應用，解題的關鍵是列式后正確的進行二次根式的運算．
 12.【答案】四條邊都相等的四邊形是菱形 【解析】解：命題“菱形的四條邊都相等”的逆命題是四條邊都相等的四邊形是菱形，
故答案為：四條邊都相等的四邊形是菱形．
根據互逆命題的概念解答．
本題考查的是互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．
 13.【答案】乙 【解析】解：乙和丙同學的平均數比甲、丁同學的平均數大，
應從乙和丙同學中選，
乙同學的方差比丙同學的小，
乙同學的成績較好且狀態(tài)穩(wěn)定，應選的是乙同學．
故答案為：乙．
先比較平均數得到同學乙和丙同學成績較好，然后比較方差得到乙同學的狀態(tài)穩(wěn)定，于是可決定選乙同學去參賽．
本題考查了方差，掌握方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越差，反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好是關鍵．
 14.【答案】 【解析】解：由圖象知：不等式的解集是，
故答案為：．
函數和的圖象相交于點，結合圖象即可得出答案．
本題考查了一次函數與一元一次不等式、一次函數的圖象，解決本題的關鍵是掌握一次函數與一元一次不等式的關系．
 15.【答案】 【解析】解：的兩直角邊，，
，
，
由折疊得，，，
，
，
，
解得，
，
故答案為：．
由，，，根據勾股定理得，由折疊得，，，所以，由，得，求得，則，于是得到問題的答案．
此題重點考查勾股定理、軸對稱的性質等知識，根據勾股定理正確地列出所需要的方程是解題的關鍵．
 16.【答案】解：原式
；
原式
． 【解析】先進行二次根式的乘法運算，然后把化為最簡二次根式后合并即可；
先根據完全平方公式計算，然后把二次根式化為最簡二次根式后合并即可．
本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法法則是解決問題的關鍵．
 17.【答案】解：設超市購進甲種水果千克，總利潤為元．
根據題意，得：，解得：，
根據題意，得：，
，
隨著的增大而減小，
當時，取得最大利潤，最大利潤為元．
千克，
當超市購進甲種水果千克，乙種水果千克時，總利潤最大，最大利潤為元． 【解析】設超市購進甲種水果千克，總利潤為元．根據題意求得的范圍，，根據一次函數的性質即可求解．
本題考查了一次函數的應用，一元一次不等式的應用，根據題意列出函數關系式是解題的關鍵．
 18.【答案】       【解析】解：總人數為：，則的百分比為：；
組的頻數為；
組的頻數為，百分比為，
補全統(tǒng)計圖與統(tǒng)計表如下：組別練習時間分鐘頻數人百分比  故答案為：，，，；
人，
答：估計每天課后練習時間超過分鐘的學生有人．
張明的總成績?yōu)椋?/span>分，
趙亮的總成績?yōu)椋?/span>分，
，
張明同學獲得冠軍．
根據組頻數與百分比求得總人數，進而補全統(tǒng)計圖與統(tǒng)計表；
根據樣本估計總體，用乘以，組的占比即可求解；
分別計算兩人成績的加權平均數，比較大小即可求解．
本題考查了頻數分布表與頻數分布直方圖，樣本估計總體，求加權平均數，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
 19.【答案】證明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

四邊形是平行四邊形，
，
?是菱形；
解：四邊形是菱形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
． 【解析】先證，再證四邊形是平行四邊形，然后由，即可得出結論；
由菱形的性質得，再證，則，得，然后由勾股定理求出的長即可．
本題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．
 20.【答案】解：由題意可得，
，
當時，，
當時，，
則；
令，
解得，
將代入得，，
即點的坐標為；
由圖象可得，
當時，去甲體育專賣店購買體育用品更合算；當時，兩家體育專賣店購買體育用品一樣合算；當時，去乙體育專賣店購買體育用品更合算． 【解析】根據題意和題目中的數據，可以分別寫出，關于的函數關系式；
根據中的結果和題意，令，求出的值，再求出相應的的值，即可得到點的坐標．
本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
 21.【答案】解：利用整體法，梯形的面積為，
利用分割法，梯形的面積為．
將兩式聯立得，．
即，
．
解：，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
在中，
． 【解析】利用整體法和分割法求梯形面積，兩式聯立．解答即可；
解直角三角形即可得到結論．
本題考查了勾股定理的證明，等腰直角三角形，正確的理解題意是解題的關鍵．
 22.【答案】， 【解析】解：知識初探：連接，

四邊形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，為的中點，
，，，
，
，
，
，，
故答案為：，；
類比再探：，，理由如下：

連接，
點是等腰直角斜邊的中點，
，，
四邊形是正方形，
，，
，，
，
≌，
，，
，
；
拓展延伸：，，理由如下：
連接，

由類比探究同理可得，，，
為的中點，為的中點，
為的中位線，
，，
，．
知識初探：連接，利用平行線分線段成比例定理可得答案；
類比再探：連接，利用證明≌，得，，則，進而解決問題；
拓展延伸：連接，由類比探究同理可得，，，再證明為的中位線，得，，從而得出答案．
本題是四邊形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，正方形的性質，平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定與性質，三角形的中位線定理等知識，證明≌是解決問題的關鍵．
 23.【答案】解：點在：上，點的橫坐標為，
當時，，
，
，
將點和代入中，
得：，
解得．
直線的函數解析式為：；
直線：與軸，軸分別交于點，，
當時，；當時，，
點，，
，
．
，
，
；
當時，軸，則的縱坐標為，
將代入：，解得：，即，
，，，
，
，
，，，
，，，
，即，
則，
當時，，則點與點重合，
到可以看作向左平移個單位，向上平移個單位，
則點可以看作點向左平移個單位，向上平移個單位，得到，

滿足條件的點的坐標為，． 【解析】根據題意得出，進而求得的解析式；
由：，當時，；當時，，可得點，，進而得出，根據三角形的面積公式即可求解．
當時，可得，根據，，，即可求解，勾股定理的逆定理可得，進而可得，當時，，則點與點重合，根據矩形的性質以及平移的性質即可求解．
本題考查了一次函數的性質，待定系數法求一次函數解析式，矩形的性質，勾股定理以及逆定理的應用，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
 

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