2022-2023學年貴州省遵義市鳳岡縣高二上學期期中考試數學試題 一、單選題1．復數的實部為（    ）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】根據復數化簡即可.【詳解】.故選：A.2．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求解二次不等式解得集合，再根據集合的交運算，即可求得結果.【詳解】因為，，所以.故選：C.3．在中，內角，，所對的邊分別為，，，，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】在三角形中根據正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理可得，解得.故選：C.4．在空間直角坐標系中，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】因為，，所以，故選：B5．過點作圓的一條切線，切點為，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，然后代入計算即可得到結果.【詳解】根據題意可得，圓心，，則，由圓的切線定理可得.故選:A6．“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據給定的條件，利用對數函數單調性比較大小，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】因為，因此?，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C7．已知點M，N分別為圓與上一點，則的最小值為（    ）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】由題可得兩圓的圓心及半徑，然后根據圓的性質即得.【詳解】由題可知圓A的圓心坐標為，半徑為1，圓B的圓心坐標為，半徑為，因為兩圓的圓心距，所以兩圓外離，所以．故選：B.8．《烏鴉喝水》是《伊索寓言》中的一個寓言故事，通過講述一只烏鴉喝水的故事，告訴人們遇到困難要運用智慧、認真思考才能讓問題迎刃而解的道理.如圖所示，烏鴉想喝水，發(fā)現有一個錐形瓶，已知該錐形瓶上面的部分是圓柱體，下面的部分是圓臺，瓶口的直徑為3cm，瓶底的直徑為9cm，瓶口距瓶頸，瓶頸到水位線的距離和水位線到瓶底的距離均為.現將1顆石子投入瓶中，發(fā)現水位線上移，當水位線離瓶口不大于時，烏鴉就能喝到水，則烏鴉共需要投入的石子數量至少是（石子體積均視為一致）（    ）A．2顆 B．3顆 C．4顆 D．5顆【答案】B【分析】根據圓臺體積公式求得一個石子的體積，再結合圓柱的體積公式，求得需要填充石子的體積，即可求得結果.【詳解】根據題意，作圖如下：如圖所示，因為，，，所以.因為原水位線的直徑，投入石子后，水位線的直徑，則由圓臺公式可得：；因為需要填充的石子的體積是由圓臺加圓柱體得到，即則需要石子的個數為，所以至少共需要3顆石子.故選：B. 二、多選題9．正方體的棱長為2，則（    ）A．異面直線和所成的角為 B．異面直線和所成的角為C．點到平面的距離為 D．點到平面的距離為【答案】BC【分析】連接，，，，可得異面直線和所成的角為，利用為等邊三角形可判斷A B；因為，根據等體積可得點到平面的距離可判斷C D.【詳解】如圖，連接，，，，則，所以異面直線和所成的角為，因為，所以為等邊三角形，即，故A錯誤，B正確；因為，所以，，所以，，所以，所以點到平面的距離為，故C正確，D錯誤.故選：BC.10．若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】ABD【分析】根據空間向量共面定理判斷．【詳解】因為，，，所以，，共面，，，共面，，，共面.假設存在實數，滿足，則，此方程組無解，因此，，不共面.故選：ABD．11．已知函數的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，則下列判斷錯誤的是（    ）A．的圖象關于軸對稱 B．的最小正周期是C．的圖象關于點對稱 D．在上單調遞減【答案】ABD【分析】根據題目圖像先求出，再求得即可解決.【詳解】由圖可知，的圖象關于直線對稱，所以的最小正周期，所以，則. 由五點作圖法可知，所以，所以. 將的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，則，則A，B錯誤.令，，解得，，當時，，則C正確.令，，解得，，則D錯誤.故選：ABD.12．已知直線，圓（為圓心），則（    ）A．直線恒過點B．到直線的最大距離為C．直線與圓一定相交D．當時，直線與坐標軸所圍成的三角形面積的最小值為4【答案】ABD【分析】直線方程整理為關于的恒等式，由此可求得定點坐標判斷A，由圓心與定點連線和直線垂直時距離達到最大值計算后判斷B，由定點與圓的位置關系判斷C，由直線的斜率小于0，可設出截距式方程，然后得出三角形面積，利用基本不等式求得最小值判斷D．【詳解】直線，令得則直線恒過點，A正確；因為，所以點在圓上，則直線與圓相切或相交，C錯誤；，當時，到直線的距離最大，且最大值為，B正確；當時，直線的斜率為，則可設直線的方程為，則，即，當且僅當，即，時，等號成立，所以直線與坐標軸所圍成的三角形面積的最小值為4，D正確.故選：ABD． 三、填空題13．已知復數滿足，則______.【答案】【分析】將復數和其共軛復數以代數形式表示，代入原式，列方程組解出a、b，再求得的模即可.【詳解】設，則由題得，所以，所以，解得故，.故答案為：.14．已知某地最近12天的平均氣溫（單位：℃）為12，13，17，19，12，16，15，17，15，18，14，18，則這12天平均氣溫的70%分位數為______℃.【答案】17【分析】先把數據由小到大進行排列，再求出70%分位數為第9個數據的氣溫，即可求解.【詳解】解：這12天的平均氣溫的數據按照從小到大的順序排列為：12，12，13，14，15，15，16，17，17，18，18，19，， 這12天平均氣溫的70%分位數為第9個數據的氣溫，即17℃.故答案為：.15．在空間直角坐標系中，，，，若點到直線的距離不小于，寫出一個滿足條件的的值：______.【答案】1（答案不唯一，只要即可）【分析】計算，，根據點到直線的距離公式得到，解得答案.【詳解】因為，，所以點到直線的距離，解得.故答案為：1（答案不唯一，只要即可） 四、雙空題16．若直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則直線在軸上的截距為______，______.【答案】          【分析】令，可求出直線在軸上的截距，根據傾斜角與斜率的關系可求出，再由可求得的值.【詳解】令，得，則直線在軸上的截距為，依題意可得，因為所以，所以.故答案為：；. 五、解答題17．（1）求兩條平行直線與間的距離；（2）求過點且與直線垂直的直線方程.【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接根據平行線間的距離公式即可得結果；（2）根據垂直關系設所求直線的方程為，將點代入求出值即可.【詳解】（1）兩條平行直線與間的距離.（2）依題可設所求直線的方程為，將點的坐標代入得.則，故所求直線的方程為.18．在長方體中，底面是邊長為2的正方形，分別是的中點.(1)證明：平面.(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】以D為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.（1）利用向量法證明平面；（2）利用向量法求與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）由題意可知，以D為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.則，，，，，，，.因為分別是的中點，所以,.所以在長方體中，為平面的一個法向量.因為，且平面，所以平面.（2）,.設為平面的一個法向量，則，不妨設，則.設與平面所成角為，則.即與平面所成角的正弦值為.19．如圖，在四棱錐中，底面，，，，.(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由向量法即可求得異面直線的夾角余弦值；（2）由向量法即可求得面面角的夾角余弦值.【詳解】（1）因為底面，底面，所以，，且，，所以，以為坐標原點，分別以為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，則，，所以，故異面直線與所成角的余弦值為.（2），設平面的法向量為，則，即，令，得.易知是平面的一個法向量，因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.20．在銳角中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.(1)求角的大??；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用正弦定理的邊角互化即可求解；(2)結合(1)中條件，利用正弦定理的邊角互化以及三角恒等變換即可求解.【詳解】（1）由正弦定理可得，，即.因為，所以，即.因為，所以，則.因為，所以.（2）由(1)中可知，，則，由正弦定理可知，，因為為銳角三角形，所以，則，所以，從而.故的取值范圍為.21．為弘揚奧運精神，某校開展了“冬奧”相關知識趣味競賽活動.現有甲、乙兩名同學進行比賽，共有兩道題目，一次回答一道題目.規(guī)則如下：①拋一次質地均勻的硬幣，若正面朝上，則由甲回答一個問題，若反面朝上，則由乙回答一個問題.②回答正確者得10分，另一人得0分；回答錯誤者得0分，另一人得5分.③若兩道題目全部回答完，則比賽結束，計算兩人的最終得分.已知甲答對每道題目的概率為，乙答對每道題目的概率為，且兩人每道題目是否回答正確相互獨立.(1)求乙同學最終得10分的概率；(2)記為甲同學的最終得分，求的概率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）按乙同學最終得10分的所有可能分類計算再相加即可；（2）甲同學的最終得分的可能結果有得10、15、20分，分別計算概率再相加即可.【詳解】（1）設乙同學最終得10分為事件，則可能情況為甲回答兩題且錯兩題，甲、乙各答一題且各對一題，乙回答兩題且對一題錯一題，則，即乙同學最終得10分的概率是.（2）設“”為事件，，，.故.22．已知圓．(1)若圓C被直線截得的弦長為8，求圓C的直徑；(2)已知圓C過定點P，且直線與圓C交于A，B兩點，若，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據弦長為8，利用弦心距、半徑、半弦長之間的關系列出方程求解即可；（2）求出動圓所過定點，再聯立直線與圓的方程，求出交點坐標，由數量積的坐標運算列出不等式即可求解.【詳解】（1）依題意可知圓的圓心為，到直線的距離，因為圓被直線截得的弦長為8，所以，解得，故圓的直徑為.（2）圓的一般方程為，令，，解得，所以定點的坐標為.聯立解得或所以，因為，所以.又方程表示一個圓，所以，所以的取值范圍是. 

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