2022-2023學(xué)年安徽省馬鞍山市第二中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在空間直角坐標系中，點與點（    ）A．關(guān)于原點對稱 B．關(guān)于平面對稱C．關(guān)于軸對稱 D．關(guān)于軸對稱【答案】D【分析】利用空間中點的對稱性質(zhì)即可求得.【詳解】在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱的點的坐標為，則根據(jù)題所給的坐標，可以判斷它們關(guān)于軸對稱.故選：D2．在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，是直角三角形，，在中解出即可得到體積.【詳解】由已知，是直角三角形，且即為與平面所成的角，即，，則，則.長方體的體積.故選：C.3．直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得到斜率，進而可得傾斜角.【詳解】由得，該直線的斜率為，又傾斜角在內(nèi)故傾斜角為故選：D4．已知直線：，：，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】首先根據(jù)公式求兩直線平行時的值，再判斷充分，必要條件.【詳解】當時，，解得：，驗證：當時，，，兩直線平行，當，，，兩直線平行，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A5．圓與圓的公切線共有（    ）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系判斷公切線的條數(shù).【詳解】由已知得，圓，圓心，半徑；圓，圓心，半徑.兩圓心距離為，所以，兩圓外切，有3條公切線.故選：C.6．已知圓內(nèi)一點，則過點的最短弦所在的直線方程是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由幾何性質(zhì)可知：過點的最短弦所在的直線與直線垂直，求出直線的斜率，從而得到過點的最短弦所在的直線的斜率，求出直線方程.【詳解】的圓心為，半徑為2，由幾何性質(zhì)可知：過點的最短弦所在的直線與直線垂直，直線的斜率為，故過點的最短弦所在的直線的斜率為1，故過點的最短弦所在的直線方程為，整理為：.故選：B7．點是橢圓的一個焦點，點在橢圓上，線段的中點為，且（為坐標原點），則線段的長為（    ）A．2 B．3 C．4 D．【答案】A【分析】利用中位線先求出，再結(jié)合橢圓定義即可求解.【詳解】如下圖所示，連接，為的中點，且，可得 由橢圓方程可知，.，根據(jù)橢圓定義有，故選：A8．已知點在以、為左、右焦點的橢圓內(nèi)，延長與橢圓交于點，滿足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，，利用橢圓的定義結(jié)合勾股定理可得出，求出，則函數(shù)在上有零點，可得出關(guān)于、的不等式組，結(jié)合可計算得出的取值范圍.【詳解】如下圖所示：由題意可知，，設(shè)，則，，由橢圓定義可得，，在中，由勾股定理可得，即，即，因為點在橢圓內(nèi)，則，又因為，所以，，令，則在上單調(diào)遞增，若方程在內(nèi)有實根，則，所以，，所以，，因為點在橢圓內(nèi)，且，則，即，所以，，，因此，.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查橢圓離心率取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵在于通過勾股定理得出方程，在轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有零點來處理，同時要善于分析出點在橢圓內(nèi)這一條件，結(jié)合橢圓定義構(gòu)造不等式關(guān)系來求解橢圓離心率的取值范圍. 二、多選題9．對于非零空間向量，，，現(xiàn)給出下列命題，其中為真命題的是（    ）A．若，則，的夾角是銳角B．若，，則C．若，則D．若，，，則，，可以作為空間中的一組基底【答案】BD【分析】對A選項未排除夾角為時的情況，對B計算，看其是否為0，對C選項，根據(jù)向量數(shù)量積的定義即可判斷，對D選項檢驗三者向量是否共面即可.【詳解】對A選項，若共線且同方向，則，但夾角為，故A錯誤，對B選項，，故，故B正確，對C選項，根據(jù)向量的數(shù)量積定義知,時,不一定成立,選項C錯誤，對于D，假設(shè)矛盾所以向量不共面，則可以作為空間中的一組基底,故D正確.故選：BD.10．若三條不同的直線：，：，：不能圍成一個三角形，則的取值可能為（    ）A．－2 B．2 C．4 D．6【答案】BCD【分析】首先利用直線平行以及三條直線交于一點，即可出參數(shù)的值.【詳解】若,則兩條直線斜率相等，即，解得；若，則根據(jù)斜率相等有，解得；若三條直線交于一點，此時聯(lián)立與，得點，將點代入中，解得.綜上所述，要使得三條直線不能圍成三角形，的取值為.故選：BCD11．已知直線與圓：相交于，兩點，弦的中點為.下列結(jié)論中正確的是（    ）A．實數(shù)的取值范圍為 B．實數(shù)的取值范圍為C．直線的方程為 D．直線的方程為【答案】AC【分析】將圓的一般方程化為標準方程后結(jié)合在圓的內(nèi)部可得參數(shù)的取值范圍，故可判斷AB的正誤.根據(jù)圓心的坐標結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可求直線的方程，從而可判斷CD的正誤.【詳解】圓的標準方程為：，故，而在圓的內(nèi)部，故，即，故，故A正確，B錯誤.因為圓心，故，故直線的斜率為，則方程為，即，故C正確，D錯誤.故選：AC.12．已知：的左，右焦點分別為，，長軸長為6，點在橢圓外，點在橢圓上，則下列說法中正確的有（    ）A．橢圓的離心率的取值范圍是B．橢圓上存在點使得C．已知，當橢圓的離心率為時，的最大值為D．的最小值為【答案】ABD【分析】對于A，根據(jù)點在橢圓外利用離心率的公式可確定離心率的取值范圍；對于B，轉(zhuǎn)化為上下頂點處；對于C，根據(jù)點與橢圓的位置關(guān)系確定距離最值；對于D，利用基本不等式求解.【詳解】對于A，由題意可知，所以，所以橢圓方程為，因為在橢圓外，所以解得，因為，所以，故A正確；對于B，當點位于上下頂點時，最大，此時，，所以為鈍角，所以橢圓上存在點使得，故B正確；對于C，由離心率，所以，所以橢圓方程為，設(shè)點,則，當時有最大值為,此時,故C錯誤；對于D，，，當且僅當，即點位于上下頂點時，有最小值，故D正確；故選:ABD. 三、填空題13．與直線關(guān)于點對稱的直線方程是_________.【答案】【分析】由兩直線對稱得，由此設(shè)直線的方程，再利用點線距離公式即可得解.【詳解】因為直線與直線關(guān)于點對稱，所以，且點到兩直線的距離相等，設(shè)直線為，則，解得或（舍去），所以所求直線方程為.故答案為：.14．已知，，且，則_________.【答案】【分析】根據(jù)，求得，再利用空間向量的模公式求解.【詳解】解：因為，，且，所以，解得，所以，則，故答案為：15．已知圓的方程為，直線：恒過定點.若一條光線從點射出，經(jīng)直線上一點反射后到達圓上的一點，則的最小值為_________.【答案】##【分析】確定關(guān)于對稱的點為，進而求的最小值即可.【詳解】由得，由解得，所以，設(shè)點關(guān)于對稱的點為，則有，解得，所以，，當、P、Q、C四點共線時等號成立，故答案為：.16．已知橢圓：的一個焦點為，若過焦點的弦與以橢圓短軸為直徑的圓相切，且，則該橢圓的離心率為_________.【答案】【分析】設(shè)出直線方程，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合弦長公式，求得，即可求得橢圓離心率.【詳解】若直線的斜率為，則，解得與矛盾，故直線斜率不為零；不妨設(shè)直線經(jīng)過橢圓的左焦點，設(shè)其方程為，聯(lián)立橢圓方程可得：，即，其顯然成立；設(shè)兩點的坐標分別為，則，故；又，則上式整理為：；又以橢圓短軸為直徑的圓方程為，根據(jù)題意可得：，即，也即；聯(lián)立的方程組解得，又，故橢圓離心率.故答案為：. 四、解答題17．已知的頂點，，.(1)求過點，且在兩坐標軸上截距相等的直線的一般式方程；(2)求角的角平分線所在直線的一般式方程.【答案】(1)或(2)或 【分析】（1）利用直線的截距式方程，再將所求方程化為直線的一般方程即可；（2）根據(jù)已知條件及向量夾角的余弦值，再利用斜率公式及直線的點斜式方程，將將所求方程化為直線的一般方程即可.【詳解】（1）由題意可知，當所求直線經(jīng)過原點時，所求直線方程為，即，當所求直線不經(jīng)過坐標原點時，可設(shè)直線的方程為，則因為所求直線經(jīng)過點，所以，解得，所以所求直線的方程為，即，綜上所述，所求直線方程為或.（2）由題意可知，因為，，所以，因為，，所以,所以角的角平分線所在直線的傾斜角為或，當角的角平分線所在直線的傾斜角為，其斜率為，所以角的角平分線所在直線方程為，即，當角的角平分線所在直線的傾斜角為，其斜率為，所以角的角平分線所在直線方程為，即，綜上所述，所求直線方程為或.18．棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）中，若是的中點，在上且，記，，.(1)用向量，，表示向量；(2)若，求.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)空間向量基本定理進行求解即可；（2）根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和定義、結(jié)合空間向量基本定理進行求解即可.【詳解】（1）因為是的中點，在上且，所以；（2）由（1）可知：，因為，所以，而，因為正四面體的棱長為1，所以.19．已知圓：與圓：.(1)若圓與圓相切，求實數(shù)的值；(2)在（1）的條件下，直線與圓交于，兩點，求弦的長.【答案】(1)外切時，；內(nèi)切時，(2)或 【分析】（1）根據(jù)方程表示圓、圓與圓的位置關(guān)系求得.（2）根據(jù)弦長公式求得.【詳解】（1）圓：的圓心為，半徑為；對于圓，，，圓心為，半徑，，當圓與圓外切時，，當圓與圓內(nèi)切時，依題意可知.（2）當時，圓的圓心為，半徑，到直線的距離為，所以.當時，圓的圓心為，半徑，到直線的距離為，所以.20．在平面直角坐標系中，橢圓：的離心率為，焦距為.(1)求橢圓的方程.(2)若過橢圓的左焦點，傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根據(jù)離心率和焦距就可得到，再根據(jù)可求得.(2)根據(jù)題意設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，求出兩根之和，兩根之積，再表示出三角形的面積，代入兩根之和，兩根之積，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為橢圓離心率為，焦距，則解得，所以橢圓方程為.（2）已知橢圓方程，左焦點為，若傾斜角為，則斜率為，過左焦點且傾斜角為的直線方程為：設(shè)點的坐標分別為，則聯(lián)立方程組得，，所以，所以.所以的面積為.21．如圖，在棱長為1的正方體中，，分別是棱，上的動點，且.(1)證明：；(2)當三棱錐的體積取得最大值時，求平面與平面的夾角正切值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用坐標運算證明線線垂直；（2）根據(jù)三棱錐的體積公式確定體積最大時的位置，再利用空間向量求面面角的方法求解.【詳解】（1）如圖，以的方向分別為軸的正方向建系如圖，所以,設(shè)，則，所以 所以，所以.（2）因為平面，所以，所以當時三棱錐的體積取得最大，此時，設(shè)平面的一個法向量為，,由得，令則，，所以，又因為為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，則有，所以.22．已知橢圓：的左、右頂點分別為，.(1)設(shè)點為橢圓上異于，的一動點，證明：直線與PA2的斜率乘積為定值；(2)若不過點的直線與橢圓交于，兩點，且，設(shè)點在直線上的投影為，求點的軌跡方程.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由點在橢圓上得到，再利用斜率公式化簡可證；（2）分類討論直線斜率存在與否兩種情況，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理與題設(shè)條件得到，從而聯(lián)立直線與的方程，消去即可得到所求.【詳解】（1）依題意，設(shè)，則，即，又因為橢圓：，所以，則，故，，所以，所以直線與PA2的斜率乘積為定值.（2）當直線斜率不存在時，則，因為，所以，又，故或（舍去），則，此時，當直線斜率存在時，設(shè)為，，聯(lián)立，消去，整理得，所以，因為，即，整理得，又，，所以，整理得，所以，整理得，解得或，若，則直線為，顯然直線過點，不滿足題意，所以，此時，又因為在直線上的投影為，所以，直線方程為，聯(lián)立，兩式相乘得，即，即，經(jīng)檢驗：落在上，所以點的軌跡方程為.【點睛】方法點睛：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形． 

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