重慶七中高2023級高二（上）第一次月考試題數(shù)學 一、單選題（共8小題，每小題5分，合計40分）1．經(jīng)過兩點A(1, )和B(－1, )的直線l的傾斜角是（     ）A．30°             B．60°           C．120°            D．150°2．在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點為B，關于軸的對稱點為C，則B、C間的距離為（     ）A．4 B． C．6 D．3．圓x2＋y2－4y－1＝0的圓心和半徑分別為（     ）A．（0， 2），  B．（0，－2），       C．（2，0），5  D．（2，2），54．已知向量，，，，1，，，0，，若，，共面，則等于（     ）A． B．1 C．1或 D．1或05．數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，則△ABC的歐拉線方程為（　 ?。?/span>A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝06．如圖，ABCD－EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足，則P到AB的距離為（     ） A． B．C． D． 7．過圓外一點P(m,n)，作圓的兩條切線，當這兩條切線互相垂直時，m,n滿足的關系式為（      ）A．                   B．C．                   D．8．在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當最短時，（     ）A． B． C． D．二、多選題（共4小題，每小題5分，合計20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有錯的選得0分）9．已知直線，則下列結(jié)論正確的是（　  ?。?/span>A．直線l的傾斜角是B．直線l在y軸上的截距為1C．過與直線l平行的直線方程是D．若直線則10．給出下列命題，其中為假命題的是（      ）A．已知為平面的一個法向量，為直線的一個方向向量，若，則B．已知為平面的一個法向量，為直線的一個方向向量，若，則與所成角為C．若兩個不同的平面，的法向量分別為，，且，，則D．已知空間的三個向量，，，則對于空間的任意一個向量，總存在實數(shù)使得11．圓C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0，直線l：3x－4y－7＝0，點P在圓C上，點Q在直線l上，則下列結(jié)論正確的是（　  ?。?/span>A．直線l與圓C相交B．|PQ|的最小值是1C．從Q點向圓C引切線，切線長的最小值是3D．直線y＝k(x－2)＋4與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是12．如圖，邊長為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，動點M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且．則下列結(jié)論中正確的有（      ）A．當時，ME與CN相交 B．MN始終與平面BCE平行 C．異面直線AC與BF所成的角為 D．當時，MN的長最小，最小為 三、填空題（共4小題，每小題5分，合計20分）13．圓關于點(1,2)的對稱圓的方程是                     ．14．一個向量在基底下的坐標為，2，，則在基底下的坐標為               ． 15．已知直線l：x﹣2y﹣4＝0與圓：x2+y2＝4交于A，B兩點，過A，B分別做l的垂線與x軸交于C，D兩點，則|CD|＝　      　．16．在邊長為2的菱形ABCD中，，沿對角線AC將△ACD折起，使AB與CD成角，則此時B、D兩點之間的距離為              ． 四、解答題（共6小題，合計70分，其中第17題10分，其余各題每題12分．解答時需寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（1）已知直線l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，若l1∥l2，求a的值；（2）已知直線l的方程為，直線l ?與l垂直，且l ?與兩坐標軸圍成的三角形面積為4，求直線l ?的方程． 18．已知平行六面體，，，，，設，，；（1）試用、、表示；（2）求的長度．  19．求滿足下列條件的圓的標準方程：（1）圓心為C(0,－2)，且被直線2x－y＋3＝0截得的弦長為；（2）過點A(－1,3)，B(3,－1)，且圓心在直線x－2y－1＝0上．20．如圖，在直四棱柱中，，，，為的中點，點在線段上．（1）當時，求異面直線和所成角的余弦值；（2）當為何值時，直線與平面所成角的正弦值為？    21．已知圓C的半徑為2，圓心在x軸正半軸上，直線3x－4y＋4＝0與圓C相切．（1）求圓C的方程；（2）若過點(0,－3)的直線l與圓C交于不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2)，且x1x2＋y1y2＝3，求△AOB的面積．    22．如圖，四棱錐的底面ABCD是等腰梯形，，，．是等邊三角形，平面平面ABCD，點M在棱PC上．（1）當M為棱PC中點時，求證：；（2）是否存在點M使得平面DMB與平面CMB的夾角的余弦值為，若存在，求CM的長；若不存在，請說明理由．      重慶七中高2023級高二（上）第一次月考試題數(shù)學答案及解析一、單選題：BCAC    BCDA5解：線段AB的中點為（2，1），，∴線段AB的垂直平分線為：y＝2（x﹣2）+1，即2x﹣y﹣3＝0，∵AC＝BC，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分線上，因此△ABC的歐拉線方程為2x﹣y﹣3＝0，故選：B．7提示：點P與圓心、兩切點構(gòu)成了正方形，點P到圓心的距離等于r8解：，，∴ ，，即:，；平面，直線，所以當、最短時，平面，，為的中心，為線段的中點，如圖：又正四面體的棱長為1，，平面，，．故選：A．二、多選題：BC     AD     BCD     BD12解：如圖建立空間坐標系，則,因為，所以，若ME與CN相交，則四點共面．又M、C、E在平面ACE所以當且僅當N在平面ACE時，ME與CN相交，此時，故A錯誤；平面BCE的法向量為，此時，∴MN始終與平面BCE平行，故B正確；設異面直線AC與BF所成的角為，所以，所以異面直線AC與BF所成的角為60°．故C錯誤D正確 三、填空題：13、(x＋1)2＋(y－8)2＝1       14、       15、4或        16、216解：由題意，圓心到直線的距離d＝，∴|AB|＝2，∵直線l：l：x﹣2y﹣4＝0，設其傾斜角為θ，則tanθ＝，∴cosθ＝，則|CD|＝．故答案為：2． 四、解答題：17 解：（1）∵l1∥l2，∴a(a＋1)＝6，解得：a＝－3或2經(jīng)檢驗：a＝－3符合題意（2）由題意，設l ?的方程為：4x－3y＋C＝0，令x＝0得：；令y＝0得：；∵l ?與兩坐標軸圍成的三角形面積為4，∴，解得：∴直線l ?的方程為： 18解：（1） （2），，，所以．的長度為． 19解：（1）圓心到直線的距離為：設圓的半徑為r，弦長為l，由勾股定理得：故所求圓的標準方程為：x2＋(y＋2)2＝25（2）過AB的直線方程為y＝－x＋2，A、B的中點為(1,1)，∴AB的垂直平分線為y＝x，由解得，即圓心坐標為(－1,－1)，半徑為，∴所求圓的標準方程為：(x＋1)2＋(y＋1)2＝16 20解：因為是直四棱柱，所以平面，且，平面，所以，.因為，所以，，兩兩互相垂直.如圖，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系.則由，，可得，，，.因為M為的中點，所以.設，所以.（1）當時，.此時，所以，，于是.所以異面直線MN和所成角的余弦值為.（2）由題意，則，，.設平面的法向量為，則，即，令，解得，，所以是平面的一個法向量.因為直線MN與平面所成角的正弦值為，所以，解得或（舍去），所以. 21解：(1)設圓心C的坐標為(a,0)(a>0)，則圓C的方程為(x-a)2+y2=4.因為圓C與直線3x-4y+4=0相切，所以=2，解得a=2或a=- (舍),所以圓C的方程為(x-2)2+y2=4.(2)依題意設直線l的方程為y=kx-3，由得(1+k2)x2-(4+6k)x+9=0,因為l與圓C相交于不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2)，所以Δ=[-(4+6k)]2-4(1+k2)×9>0，且x1+x2=，x1x2=，所以y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2x1x2-3k(x1+x2)+9=-+9，又因為x1x2+y1y2=3，所以+-+9=3，整理得k2+4k-5=0，解得k=1或k=-5(不滿足Δ>0，舍去).所以直線l的方程為y=x-3.所以圓心C到l的距離d==，則|AB|=2·=，又△AOB的底邊AB上的高h==.所以S△AOB=|AB|·h=××=. 22解：（1）證明：連結(jié)，由題意，底面是等腰梯形且，則，由余弦定理知，，平面平面，平面平面，平面，平面，，為棱中點，且是等邊三角形，，又，平面，.（2） 

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