2022-2023學年遼寧省沈陽市遼中區(qū)第二高級中學高一上學期期中考試數(shù)學試題 一、單選題1．設集合，，則中元素的個數(shù)為（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】首先求，再確定集合中的元素個數(shù).【詳解】因為，，所以，有3個元素.故選：A2．命題p：，，則是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特征命題進行解答即可.【詳解】因為命題：，，所以為：，.故選：C.3．《九章算術》第七卷“盈不足”：主要講盈虧問題的一種雙假設算法，提出了盈不足，盈適足和不足適足、兩盈和兩不足這三種類型的盈虧問題，以及若干可通過兩次假設化為盈不足問題的一般解法.這種解法傳到西方后，產生了極大的影響，在當時處于世界領先地位高中數(shù)學教材中就引用了這樣一道題“今有人共買羊，人出五，不足四十五：人出七，不足三.問人數(shù)、羊價各幾何？“譯文如下：“今有人合伙買羊，每人出5錢，差45錢；每人出7錢，差3錢問合伙人數(shù)、羊價各是多少？（    ）A．21、105 B．21、150 C．24、165 D．24、171【答案】B【分析】設合伙人數(shù)、羊價各為，根據(jù)題設列一元一次方程組求解即可.【詳解】設合伙人數(shù)、羊價各為，則，解得.故選：B.4．若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】抽象函數(shù)定義域問題，要注意兩點，一是定義域是指的取值范圍，二是同一對應法則下，括號內對應的取值范圍相同.【詳解】函數(shù)的定義域是，故，所以，故，解得：.故選：D5．已知函數(shù)是偶函數(shù)，它在上單調遞增，則，，的大小關系是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)是偶函數(shù)，它在上單調遞增，可得在上單調遞減，再將自變量轉化到上，再比較大小即可【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調遞增，所以在上單調遞減，因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，因為在上單調遞減，且，所以，即，故選：C6．設，則的值為（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】由分段函數(shù)的性質，計算出函數(shù)值.【詳解】，又，故的值為11.故選：D7．已知函數(shù)在R上單調遞減，則的單調遞增區(qū)間為A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出函數(shù)的定義域，在定義域內找到函數(shù)內層函數(shù)的遞減區(qū)間即為答案．【詳解】令所以函數(shù)的定義域為 根據(jù)復合函數(shù)的單調性：同增異減,要找的單調遞增區(qū)間，即找函數(shù)的單調遞減區(qū)間為,故選C【點睛】本題考查復合函數(shù)的單調性：同增異減．需要注意的是定義域優(yōu)先原則．屬于基礎題．8．若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，然后分和判斷函數(shù)的單調性，再求出其最小值，從而可求出其值域，進而可求出的取值范圍【詳解】解：，當時，在上單調遞增，所以，此時，當時，由，當且僅當，即 時取等號，因為在上單調遞增，若的值域為，則有，即，則，綜上，，所以實數(shù)的取值范圍為故選：A【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數(shù)值域的求法，考查基本不等式的應用，解題的關鍵是對函數(shù)變形為，然后分和討論函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的值域，考查轉化思想和計算能力，屬于中檔題 二、多選題9．在下列四組函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】BD【解析】兩個函數(shù)要是同一個函數(shù)，只要定義域相同，對應關系相同即可【詳解】解：對于A，的定義域為，的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不相同，所以不是同一個函數(shù)；對于B，，的定義域都為，而，與的對應關系相同，所以，是同一個函數(shù)；對于C，的定義域為，的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不相同，所以不是同一個函數(shù)；對于D，，的定義域都為，而，，所以，是同一個函數(shù)，故選：BD10．下列選項中，說法正確的是（    ）A．命題：“，是增函數(shù)”的否定為“，是減函數(shù)”B．“”是“”的充分不必要條件C．若，，則D．若，，則【答案】BC【分析】A根據(jù)命題的否定判斷，B根據(jù)一元二次方程的解來判斷，C不等式性質可加性判斷，D賦值判斷即可.【詳解】對于A，命題：“，是增函數(shù)”的否定為“，不是增函數(shù)”，故A錯誤；對于B，“”時“”成立，但時，或，故B正確；對于C， ，，所以，所以，故C正確；對于D，當時，不成立，D錯誤.故選：BC.11．已知函數(shù)，則（    ）A．是奇函數(shù) B．在R上單調遞增C．函數(shù)的值域是 D．方程有兩個實數(shù)根【答案】ACD【分析】對,對于任意，，故正確；對當時，為單調遞減函數(shù)，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)在R上單調遞減，故錯誤；對,當時，．當時，，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)的值域為，故正確；對,當時，是方程的解，當時， 在有一個正根．故正確．【詳解】對,對于任意，，故正確；對對于函數(shù)，當時，，所以為單調遞減函數(shù)，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)在R上單調遞減，故錯誤；對,當時，．當時，，∵，∴，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)的值域為，故正確；對,當時，方程顯然成立，所以是方程的解，當時，方程，即在有一個正根．故正確．故選：ACD【點睛】本題主要以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調性、值域、奇偶性和零點，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12．已知函數(shù)（）有且只有一個零點，則（    ）A．B．C．若不等式的解集為，則D．若不等式的解集為，且，則【答案】ABD【分析】由函數(shù)的零點的定義和二次方程有兩個相等的實數(shù)解的條件可得，的關系式，由二次函數(shù)的最值求法，可判斷A；由基本不等式可判斷B；由二次方程的韋達定理可判斷C，D．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)有且只有一個零點，必有，即，，，時，等號成立，即有，故A正確；，當且僅當時，取得等號，故B正確；由，為方程的兩根，可得，故C錯誤；由，為方程的兩根，可得，，則，解得，故D正確．故選：ABD． 三、填空題13．已知函數(shù)，則______.【答案】【解析】利用換元法可求的解析式，將代入即可求的值.【詳解】令，則，所以，所以，所以，故答案為：【點睛】方法點睛：求函數(shù)解析式的方法（1）待定系數(shù)法：已知函數(shù)類型，可用待定系數(shù)法求解，先設出，再利用題目中給的已知條件，列出關于待定系數(shù)的方程組，進而求出待定的系數(shù)；（2）換元法：主要用于解決已知復合函數(shù)的表達式求的解析式的問題，令，解出，然后代入中即可求得，從而求得，要注意新元的取值范圍；（3）配湊法：配湊法是將右端的代數(shù)式配湊成關于的形式，進而求出的解析式；（4）構造方程組法（消元法）：主要解決已知抽象函數(shù)關系式求解函數(shù)解析式的問題.方法是根據(jù)不同的變量之間的關系，利用變換形式構造不同的等式，通過解方程組求解.14．已知函數(shù)為上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】由于為上的增函數(shù)，可得在每一段上都為增函數(shù)，且，從而可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】解：因為函數(shù)為上的增函數(shù)，所以且，解得，所以實數(shù)的取值范圍為，故答案為：15．已知，則的最小值是_______．【答案】9【分析】根據(jù)已知可將變形為，展開可得，利用基本不等式即可求得結果.【詳解】，當且僅當時取等號，故的最小值是9.故答案為：9.16．已知函數(shù)，且不等式無解，求實數(shù)的取值范圍______．【答案】【分析】不等式無解即是在定義域內恒成立，即可列式解出范圍.【詳解】不等式無解即是在定義域內恒成立若在定義域內恒成立，則需滿足，解得若，不能在定義域恒成立。故答案為： 四、解答題17．已知全集，集合，(1)用列舉法表示集合與；(2)求及.【答案】(1)，3，，，(2), 【分析】（1）列舉出與即可；（2）求出與的交集，以及與并集的補集即可．【詳解】（1）因為，，所以，3，，，；（2）由（1）可得：；，2，3，，全集，1，2，3，4，5，，，5，．18．已知函數(shù).(1)當a=2，時，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)在上的最大值為，求實數(shù)的值.【答案】(1).(2)或. 【分析】（1）通過判斷對稱軸與區(qū)間的關系，即可求出函數(shù)最值，從而可求函數(shù)的值域.（2）通過討論對稱軸與區(qū)間中點的大小關系，從而可求出函數(shù)的最大值，根據(jù)最大值為，即可求出實數(shù)的值.【詳解】（1）當a＝2時，，，因為其對稱軸為x＝，所以，，所以函數(shù)f(x)的值域為.（2）∵函數(shù)f(x)的對稱軸為.①當，即時，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，所以6a＋3＝1，即，滿足題意；②當，即時，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，所以－2a－1＝1，即a＝－1，滿足題意．綜上可知，或a＝－1.19．已知，其中．(1)若，且，都是真命題，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）求解分式不等式和二次不等式，結合命題的真假，即可求得結果；（2）根據(jù)題意列出滿足的不等式求解即可.【詳解】（1）由得，即，解得：；當時，，解得：；因為命題都是真命題，故可得，解得：；故的取值范圍為.（2）由（1）知，，，因為，故；因為是的充分不必要條件，故，且兩個等號不能同時取得，解得，故實數(shù)的取值范圍是.20．已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù).（1）確定的解析式；（2）用定義證明：在區(qū)間上是減函數(shù)；（3）解不等式.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）利用奇函數(shù)的定義，經過化簡計算可求得實數(shù)，進而可得出函數(shù)的解析式；（2）任取、，且，作差，化簡變形后判斷的符號，即可證得結論；（3）利用奇函數(shù)的性質將所求不等式變形為，再利用函數(shù)的定義域和單調性可得出關于的不等式組，即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由于函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，則，即，化簡得，因此，；（2）任取、，且，即，則，，，，，，，.，，因此，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；（3）由（2）可知，函數(shù)是定義域為的減函數(shù)，且為奇函數(shù)，由得，所以，解得.因此，不等式的解集為.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)、利用定義法證明函數(shù)的單調性以及函數(shù)不等式的求解，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.21．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時，.(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)若對所有，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義可得函數(shù)的解析式；（2）由二次函數(shù)的性質可得函數(shù)的最小值，代入不等式，進而利用一次函數(shù)的性質列不等式組，可得實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）因為函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，所以，當時，，所以，因為是奇函數(shù)，所以，所以，所以（2）作出在區(qū)間上的圖象，如圖：可得函數(shù)在上為減函數(shù)，所以的最小值為，要使對所有，恒成立，即對所有恒成立，令，，則，即，可得：，所以實數(shù)的取值范圍是.22．某學習小組在暑期社會實踐活動中，通過對某商店一種商品銷售情況的調查發(fā)現(xiàn)：該商品在過去的一個月內（以30天計）的日銷售價（元）與時間（元）的函數(shù)關系近似滿足（為正實數(shù)）．該商品的日銷售量（個）與時間（天）部分數(shù)據(jù)如下表所示：第天10202530個110120125120 已知第10天該商品的日銷售收入為121元.(1)求的值；(2)給出以下兩種函數(shù)模型：①，②，請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)來描述該商品的日銷售量與時間的關系，并求出該函數(shù)的解析式；(3)在（2）的情況下，求該商品的日銷售收入（元）的最小值．【答案】(1)(2)選②，，(3) 【分析】（1）根據(jù)第10天該商品的日銷售收入為121元列出方程，求出；（2）當時間變化時，該商品的日銷售量有增有減并不單調，故選②，代入，，待定系數(shù)法求出解析式；（3）求出，當時，由對勾函數(shù)得到其單調性，從而求出最小值，當時，由函數(shù)單調遞減求出最小值，比較后得到的最小值.【詳解】（1）由題意得：第10天該商品的日銷售收入為，解得：，（2）由題意，當時間變化時，該商品的日銷售量有增有減并不單調，故選②，∵，，，∴，解得：，∴，；（3）由（2）可知：，所以當時，由對勾函數(shù)知在上遞減，在上遞增，所以當時，取最小值，，當時，在上遞減，所以當時，取最小值，，綜上：所以當時，取最小值，. 

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