2022-2023學年遼寧省沈陽市遼中區(qū)第二高級中學高一上學期10月月考數(shù)學試題 一、單選題1．下列各式中關(guān)系符號運用正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)元素和集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系，空集的性質(zhì)判斷即可.【詳解】根據(jù)元素和集合的關(guān)系是屬于和不屬于，所以選項A錯誤；根據(jù)集合與集合的關(guān)系是包含或不包含，所以選項D錯誤；根據(jù)空集是任何集合的子集，所以選項B錯誤，故選項C正確.故選：C.2．命題“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用全稱命題的否定為特稱命題即可解決【詳解】“，”的否定是，故選：B3．十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠.若a，b，，則下列命題正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】舉反例否定選項A；依據(jù)不等式的性質(zhì)證明選項B錯誤；依據(jù)不等式的性質(zhì)證明選項C正確；舉反例否定選項D【詳解】選項A：令，則.判斷錯誤；選項B：，由，可得，則.判斷錯誤；選項C：由，可得，則，則.判斷正確；選項D：令，則.判斷錯誤故選：C4．已知，，下列圖形能表示以A為定義域，B為值域的函數(shù)的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義知：函數(shù)是定義域到值域的一個映射，即任一定義域內(nèi)的實數(shù)，都唯一對應值域內(nèi)的實數(shù)；由此可知，用逐一排除法可做出．【詳解】解：如圖，由函數(shù)的定義知，對于A，值域為，不適合題意；對于B，值域為，不適合題意；對于C，值域為，適合題意；對于D，一個自變量可以對應兩個函數(shù)值，不符合函數(shù)定義，不適合題意；故選：C5．已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復合函數(shù)的定義域，先求出的定義域即可．【詳解】因為函數(shù)的定義域是，所以，即．所以函數(shù)的定義域為，．要使有意義，需滿足：，解得，即的定義域為．故選：D．6．已知，一元二次方程有一個正根，一個負根，則p是q的（    ）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合充分性、必要性的定義進行判斷即可.【詳解】解：因為一元二次方程有一個正根，一個負根，所以，因此由一定能推出，由不一定能推出，所以是的充分不必要條件，故選：C7．已知命題“，使”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】依題意可得命題“，使”是真命題，再分和兩種情況討論，分別計算可得.【詳解】解：因為命題“，使”是假命題，所以命題“，使”是真命題，當，解得或，若時原不等式即，滿足條件；若時原不等式即，即，不符合題意；當，則，解得或，綜上可得；故選：A8．已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，且對于任意的正實數(shù)a，b，恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用一元二次不等式的解與一元二次方程的關(guān)系確定，再用基本不等式求出，再解一元二次不等式即可.【詳解】因為關(guān)于x的一元二次不等式的解集為,所以 ,所以,因為,當且僅當時等號成立,所以,由恒成立得,所以,解得,故選:D. 二、多選題9．下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(    )A．， B．，C．， D．，【答案】AC【分析】兩函數(shù)定義域相同，對應關(guān)系相同，則它們是同一函數(shù)，據(jù)此逐項分析即可.【詳解】A：，，兩函數(shù)定義域均為R，對應關(guān)系相同，故兩個函數(shù)為同一函數(shù)；B：定義域為R，的定義域為，故兩函數(shù)不為同一函數(shù)；C：，，兩函數(shù)定義域均為R，對應關(guān)系相同，故兩個函數(shù)為同一函數(shù)；D：定義域滿足，即[1，＋∞)；定義域滿足，即(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故兩函數(shù)不為同一函數(shù).故選：AC.10．設，，，則下列不等式中一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)基本不等式及特例法逐一判斷各選項即可.【詳解】∵，，，∴，當且僅當時，等號成立；，當且僅當時，等號成立；，當且僅當時，等號成立；當時，，故B錯誤，ACD正確.故選：ACD11．高斯（1777-1855）是德國著名數(shù)學家，物理學家，天文學家，大地測量學家，近代數(shù)學奠基者之一.高斯被認為是歷史上最重要的數(shù)學家之一，并享有“數(shù)學王子”之稱，用其名字命名的高斯函數(shù)為：設，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如，，.以下關(guān)于“取整函數(shù)”的性質(zhì)敘述正確的有（    ）A．， B．，C．函數(shù)的值域為 D．，，，【答案】BCD【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義逐個分析判斷即可．【詳解】對于A：，，故錯誤；對于：因為對，表示不超過的最大整數(shù)，所以，故正確；對于：由可知，所以，因為對于，表示不超過的最大整數(shù)，所以，即，所以的值域為，，故正確；對于D：說明二者位于長度不足1的區(qū)間上，所以，故正確.故選：BCD12．給出以下四個判斷，其中錯誤的是（    ）A．已知函數(shù)的值域為B．關(guān)于“的不等式有解”的一個必要不充分條件是C．函數(shù)，定義域，值域，則滿足條件的有3個D．若函數(shù)，且，則實數(shù)m的值為【答案】BD【分析】利用常數(shù)分離法求值域，小充分大必要，函數(shù)定義，配湊法求解析式等逐一判斷各選項即可.【詳解】對于A，在上單調(diào)遞增，故值域為，故正確；對于B，關(guān)于“的不等式有解”等價于，即，根據(jù)小充分大必要，是充分條件不是必要條件，故錯誤；對于C，定義域可以是，故正確；對于D，，故，若，即，則，故錯誤.故選：BD 三、填空題13．不等式的解集是_________.【答案】【分析】根據(jù)分式不等式的求解步驟，可得答案.【詳解】，，，，不等式等價于，解得，故答案為：14．已知，則的值為________.【答案】0.25【分析】將統(tǒng)一用表示即可求解.【詳解】由得,即代入,解得,所以,故答案為: .15．設，求函數(shù)的最小值________.【答案】【分析】根據(jù)題意，令，則函數(shù)（），利用均值不等式即可求出最小值.【詳解】令，則函數(shù)（），因為，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.16．設集合，，函數(shù)，若，且，則的取值范圍是_______.【答案】【分析】利用分段函數(shù)定義將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，解之即可求得的取值范圍【詳解】若，則，則則由，可得，解之得故答案為： 四、解答題17．設集合，，.(1)求集合，；(2)求集合.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）化簡集合A，B，進而求交并即可；（2）進行并集與補集運算即可.【詳解】(1)由題意，，，，，(2)，，所以.18．已知命題，，命題為假命題時，實數(shù)a的取值集合為A.(1)求集合A；(2)設集合，若是的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用判別式法即可得到結(jié)果；（2）由是的必要不充分條件，可得A是B的真子集，列不等式組可得結(jié)果.【詳解】(1)由命題p為真命題，得，得∴,(2)∵是的必要不充分條件，∴A是B的真子集.-∴,解得.19．已知不等式的解集為，且.(1)求a值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)二次不等式解集與相應二次方程根的關(guān)系，結(jié)合韋達定理可得結(jié)果；（2）利用韋達定理可得結(jié)果.【詳解】(1)因為不等式的解集為，所以，方程有兩個不相等的實根，即或，則有，，，即，或，而或，所以；(2).20．已知是二次函數(shù)，滿足且.(1)求的解析式；(2)當時，求不等式的解集.【答案】(1)(2)答案見解析 【分析】(1) 設函數(shù)，【詳解】(1)設函數(shù)，由且列出方程組求解;(2)分類討論解一元二次不等式.因為，可得，所以，又，得，即，對于任意的x成立，則有解得,∴.(2)當時，由得，即①當時，不等式的解集為,②當時，變形為若時，，不等式的解集為若時，，不等式的解集為；若時，，不等式的解集為綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為21．對于函數(shù)，我們把使得成立的x稱為函數(shù)的“不動點”；把使得成立的x稱為函數(shù)的“穩(wěn)定點”.函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”構(gòu)成的集合分別記為A和B，即，，，若.(1)求集合A，集合B.(2)當時，求的值域.【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）根據(jù)新定義列出方程求解即可；（2）寫出函數(shù)解析式，令換元后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域即可.【詳解】(1)由解得，由，解得，；(2)若時，令則當時，所以，所以當時，，當時，所以值域為.22．某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定明年對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元，公司擬投入萬元作為技改費用，投入萬元作為宣傳費用.試問：當該商品明年的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價. 【答案】(1)40元；(2)12.2萬件，每件30元. 【分析】（1）設每件定價為元，求出原銷售收入和新銷售收入后列不等式求解；（2）列出不等關(guān)系，分離參數(shù)得【詳解】(1)設每件定價為t元，依題意，有，整理得，解得因此要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元.(2)依題意，時，不等式能成立，等價于時，有解.∵時，（當且僅當時，等號成立），∴.因此當該商品明年的銷售量a至少應達到12.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的定價為每件30元. 

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