2022-2023學(xué)年江蘇省南京市第一中學(xué)高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知且，若集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的定義求解即可【詳解】因?yàn)榧?/span>，且，所以，故選：C2．命題“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由“改量詞，否結(jié)論”，可得答案.【詳解】由“改量詞，否結(jié)論”,命題“”的否定是“”.故選：C3．已知，若，則的大小關(guān)系為（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)，分別求出的范圍，即可判斷的大小關(guān)系.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，故選：B.4．我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”現(xiàn)有一類似問題，不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示．用鋸去鋸這木材，若鋸口深，鋸道，則圖中的長度為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓的半徑為，根據(jù)勾股定理可求得的值，求出，利用扇形的弧長公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，，由勾股定理可得，即，解得，所以，，，所以，，故，因此，.故選：B.5．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)函數(shù)的初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；對于B中，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意；對于C中，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對于D中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)，不符合題意.故選：B.6．已知，關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由利用韋達(dá)定理可得，代入所求不等式解不等式即可.【詳解】因?yàn)椴坏仁?/span>的解集為，所以即，不等式等價(jià)于，解得.故選：A.7．函數(shù)的圖象如圖所示，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過函數(shù)的定義域可求出的范圍，由可判斷的范圍，由函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)可判斷的范圍【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，由圖可知，則，由圖可知，所以，由，得，，由圖可知，得，所以，綜上，，，，故選：D8．已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（      ）A． B． C． D．【答案】D【解析】先由分段函數(shù)值域的求法可得在恒成立，再結(jié)合不等式恒成立問題求解即可.【詳解】解：由已知有，當(dāng)時(shí)，，即，又函數(shù)的值域是，則在恒有，即在恒成立，顯然有，即，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)值域的求法，重點(diǎn)考查了對數(shù)不等式恒成立問題，屬中檔題. 二、多選題9．下列給出的各角中，與終邊相同的角有（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】利用終邊相同的角的定義判斷.【詳解】A. 因?yàn)?/span>，故正確；B. 因?yàn)?/span>，故正確；C. 令，解得，故錯(cuò)誤；D. 因?yàn)?/span>，故正確；故選：ABD10．已知，則（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】取特殊值可說明A錯(cuò)；根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性，可判斷B,C的對錯(cuò)；利用作差法可判斷D的對錯(cuò).【詳解】對于A，取 滿足，但，故A錯(cuò)；對于B，是定義域上的增函數(shù)，故時(shí)，有成立，故B正確；對于C, ,故，故C正確；對于D，，故，故D正確，故選：BCD.11．下列說法正確的是（    ）A．若，則函數(shù)有最小值B．若，則的最大值1C．若，則函數(shù)的最大值為4D．若，則的最小值為4【答案】BD【分析】對于A、C，利用基本不等式，可得答案；對于B，利用基本不等式，建立不等式，結(jié)合二次不等式，可得答案；對于D，根據(jù)基本不等式中“1”的妙用，可得答案.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對于B，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即，整理可得，解得，故B正確；對于C，由，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故C錯(cuò)誤；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故D正確.故選：BD.12．已知函數(shù)，對于任意，則A．的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) B．C．單調(diào)遞增 D．【答案】ABD【分析】對于A，令可判斷，對于B，分別令和化簡計(jì)算即可，對于C，利用單調(diào)的定義判斷，對于D，令進(jìn)行判斷【詳解】對于A，令，則，得，所以的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以A正確，對于B，令，則，再令，則，所以B正確，對于D，令，則，因?yàn)?/span>，所以，所以D正確，對于C，任取，且，由D選項(xiàng)可知，所以，而的符號不確定，所以不能確定函數(shù)的單調(diào)性，所以C錯(cuò)誤，故選：ABD 三、填空題13．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)___________.【答案】(-2,1) 【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的恒等式，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故答案為：.14．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>________.【答案】【詳解】要使有意義，須，即，解得或，即函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；故答案為.15．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且．則的值為_________【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義即可求解．【詳解】由于角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，得所以故答案為：16．已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為________．【答案】【分析】分析可得，再利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，即，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 等號成立，故的最小值為.故答案為：. 四、解答題17．設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足，其中.命題：實(shí)數(shù)滿足.（1）當(dāng)時(shí)，命題，都為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，化簡命題，，然后根據(jù)兩個(gè)命題都為真求解.（2）化簡命題：，：，根據(jù)是的充分不必要條件，由?求解.【詳解】（1）時(shí)，：，：， 因?yàn)?/span>，都為真，所以；（2）時(shí) ：，：，因?yàn)?/span>是的充分不必要條件，所以?，則或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．18．（1）已知，求和的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）或；（2）【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的商式關(guān)系以及平方關(guān)系，建立方程，可得答案；【詳解】（1）由同角三角函數(shù)的商式關(guān)系，則，即，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，則，即，解得，由，可得，即可得或.（2）由，則，即，.19．求函數(shù)的值域.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算化簡函數(shù)，利用換元法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】，由，則，令，即，則，易知在上的值域?yàn)?/span>，故函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>.20．某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量（單位：百千克）與肥料費(fèi)用（單位：百元）滿足如下關(guān)系：投入的肥料費(fèi)用不超過5百元時(shí)，，且投入的肥料費(fèi)用超過5百元且不超過8百元時(shí)．此外，還需要投入其他成本（如施肥的人工費(fèi)等）百元．已知這種水蜜桃的市場售價(jià)為16元千克（即16百元百千克），且市場需求始終供不應(yīng)求．記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為（單位：百元）．（1）求利潤的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí)，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）；（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為6.5百元時(shí)，該水蜜桃樹獲得的利潤最大，最大利潤是百元．【解析】（1）由題意分段求出利潤的函數(shù)解析式，即可得解；（2）按照、分類，結(jié)合基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.．【詳解】（1）由題意，，化簡得：；（2）①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值43；②當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為6.5百元時(shí)，該水蜜桃樹獲得的利潤最大，最大利潤是百元．21．已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）求的值；（2）判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性并用定義證明；（3）若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增；證明見解析；（3）.【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)建立方程關(guān)系即可求的值；（2），可判斷在上單調(diào)遞增，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì),將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，所以，即，∴，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，是上奇函數(shù)；（2），則在上單調(diào)遞增.證明如下：任取且，則，因?yàn)?/span>，所以，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（3）又因?yàn)?/span>是上奇函數(shù)，所以，等價(jià)于，即，因?yàn)?/span>為上增函數(shù)，則對一切恒成立，即恒成立，①顯然成立，②，解得.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴：本題屬于對函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用的考察，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且時(shí)，則有且；若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且時(shí)，則有且；據(jù)此可以解不等式，由函數(shù)值的大小，根據(jù)單調(diào)性就可以得自變量的大小關(guān)系.22．已知，且．(1)若，求的值；(2)求的最小值．【答案】(1)或2(2) 【分析】（1）由對數(shù)的運(yùn)算得，解方程可得答案； （2）由得，解不等式得，根據(jù)可得答案.【詳解】（1）由題意，，即，解得或2．（2）因?yàn)?/span>，所以，所以，因此，即，解得或，因?yàn)?/span>，所以，故，當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值為． 

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