2022-2023學(xué)年江蘇省常州市田家炳高級中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．命題“”的否定是A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題的知識，選出正確選項.【詳解】特稱命題的否定是全稱命題，注意到要否定結(jié)論，故A選項正確.故選A.【點睛】本小題主要考查全稱命題與特稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.2．設(shè)集合U={1,2,3,4,5}，A={2,4}，B={1,2,3}，則圖中陰影部分所表示的集合是（    ）A．{4} B．{2,4} C．{4,5} D．{1,3,4}【答案】A【解析】由圖可知陰影部分所表示的集合為，計算出結(jié)果即可.【詳解】由圖可知陰影部分所表示的集合為，，.故答案為：A.【點睛】本題考查根據(jù)Venn圖得出集合關(guān)系，考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3．與表示同一函數(shù)的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】可化簡每個選項的兩函數(shù)，看定義域和解析式是否都一樣，都一樣的為同一函數(shù)，否則不是．【詳解】解：對于A，的定義域為，的定義域為，定義域不同，不是同一函數(shù)；對于B，的定義域為，的定義域為，定義域不同，不是同一函數(shù)；對于C，的定義域為，的定義域為，定義域和解析式都相同，是同一函數(shù)．對于D，的定義域為，的定義域為，定義域不同，但，解析式不相同，不是同一函數(shù)．故選：C.4．“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】分別判斷充分性和必要性是否成立即可.【詳解】若，，則，故充分性不成立；若，則且，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5．已知函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是（    ）A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]【答案】D【分析】直接由兩段函數(shù)分別為減函數(shù)以及端點值的大小關(guān)系解不等式組即可.【詳解】由函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)可得解得.故選：D.6．心理學(xué)家有時用函數(shù)來測定人們在時間內(nèi)能夠記憶的單詞量，其中表示記憶率.心理學(xué)家測定某學(xué)生在內(nèi)能夠記憶50個單詞，則該學(xué)生在從能記憶的單詞個數(shù)為（    ）A．150 B．128 C．122 D．61【答案】C【分析】根據(jù)已知可求出，再代入即可求出.【詳解】由題可得，則，所以，即該學(xué)生在從能記憶的單詞個數(shù)為122.故選：C.7．已知定義在上的函數(shù)，滿足，的圖象關(guān)于直線對稱，且對任意的，都有成立，則不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合題意，求解即可.【詳解】函的圖象關(guān)于直線對稱，故關(guān)于對稱，即為偶函數(shù)；又對任意的，都有成立，即在單調(diào)遞增；故在單調(diào)遞減，又，故，即，，解得，即不等式的解集為.故選：B.8．已知，那么的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式可求得，可所求式子，再次利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】，，，（當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號），的最小值為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用基本不等式求解最值的問題，解題關(guān)鍵是能夠利用基本不等式將所求式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，需要注意的是要確定取等條件能夠成立，從而確定最值能否取得. 二、多選題9．設(shè)，則下列不等式中正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及作差法比較大小即可判斷.【詳解】解：對于A，當(dāng)時，不滿足，故A不正確；對于B，，則，所以，故B正確；對于C，，因為，所以，則，即，故C正確；對于D，，即，故D正確.故選：BCD.10．在下列命題中不正確的是（    ）A．當(dāng)時，則B．當(dāng)時，則C．當(dāng)時，函數(shù)的最小值是3D．若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立【答案】BC【分析】利用基本不等式或反例逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，由基本不等式有，但，故等號不可取，故，故A正確.對于B，取，則，此時不成立，故B不正確.對于C，，因為，故，故等號不可取，故的最小值不是3，故C錯誤.對于D，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D正確.故選：BC.11．符號表示不超過的最大整數(shù)，如，定義函數(shù)：.則下列命題不正確的是（    ）A．B．當(dāng)時，C．函數(shù)是增函數(shù)，奇函數(shù)D．函數(shù)的定義域為，值域為【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)定義和解析式依次判斷即可得出.【詳解】對A，，故A正確；對B，當(dāng)時，，故B正確；對C，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，，所以不是增函數(shù)，故C錯誤；對D，的定義域為，當(dāng)時，其中，則，可得，所以的值域為，故D正確.故選：ABD.12．狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個典型函數(shù)，若，其中為有理數(shù)集，則稱為狄利克雷函數(shù).對于狄利克雷函數(shù)，下面4個命題中真命題是（    ）A．對任意，都有B．對任意，都有C．對任意，都存在，D．若，，則有【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)解析式依次判斷每個選項即可得出.【詳解】對A，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，所以對任意，都有，故A正確；對B，若，則，，故B錯誤；對C，顯然當(dāng)時，對任意，，故C正確；對D，由的解析式可得的值域為，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故D正確.故選：ACD. 三、填空題13．函數(shù)的定義域為_________ .【答案】【分析】此題考查函數(shù)的定義域，根據(jù)分母不為和被開方數(shù)大于等于即可得到結(jié)果.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，即且，的定義域為.故答案為：[-2,0)14．已知是定義在上的偶函數(shù)，則__________.【答案】0【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域?qū)ΨQ，，即可列方程求解的值，即可求的值.【詳解】解：已知是定義在上的偶函數(shù)，所以且，所以，則，結(jié)合，解得，所以.故答案為：0.15．已知函數(shù)，對，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】先求出兩個函數(shù)在給定區(qū)間的值域，根據(jù)題意可得值域具有包含關(guān)系，列出不等式即可求出.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，因為對，使得成立，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：. 四、雙空題16．已知函數(shù)，若，則的值域是______；若的值域為，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】     ；     ；【分析】若，分別求出在及上的最值，取并集得答案；結(jié)合圖像，只需即可得到的范圍．【詳解】解：當(dāng)時，．當(dāng)，時，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，可得的最大值為，最小值為；當(dāng)，時，為增函數(shù)，．綜上所述，的值域是； 根據(jù)題意得：，如圖，當(dāng)，解得：或，令，解得： 故，故實數(shù)的取值范圍是 故答案為：；． 五、解答題17．求值：(1)；(2).【答案】(1)(2)6 【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則計算即可；（2）根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則，對數(shù)換底公式計算即可.【詳解】（1）解：（2）解：18．已知集合.(1)當(dāng)時，求；(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)交并補(bǔ)的定義直接運(yùn)算即可；（2）由題可得是的真子集，列出不等式即可求出.【詳解】（1）因為，所以或，所以有，.（2）若是的必要不充分條件，則有是的真子集，則有，解得.19．已知正實數(shù)滿足：.(1)求的最小值；(2)求的最小值.【答案】(1)25(2)11 【分析】（1）利用均值不等式可得，令，轉(zhuǎn)化為二次不等式求解即可；（2）轉(zhuǎn)化原式為，則，結(jié)合均值不等式，即得解.【詳解】（1）正實數(shù)令，則，原不等式可化簡為：解得（舍）或，即當(dāng)且僅當(dāng)即取得“”的最小值為25（2）由得，即由正實數(shù)，得當(dāng)且僅當(dāng)取得“”的最小值為11.20．已知函數(shù).(1)求證：是奇函數(shù)(2)若.求證：在上是增函數(shù)(3)當(dāng)時，對于恒成立.求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3). 【分析】（1）利用奇偶性的定義即可證明；（2）利用單調(diào)性的定義即可證明；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值即可求出.【詳解】（1）定義域為，關(guān)于原點對稱，，是奇函數(shù)；（2）任取且，，，，，在上單調(diào)遞增.（3）由題意，.當(dāng)時，由（2）可知在上遞增，在[2，3]上的最小值為，，解得，21．設(shè)二次函數(shù)滿足兩個條件：①當(dāng)時，函數(shù)的最小值為；②函數(shù)圖像與直線交于兩點，且線段的長度等于（1）求的解析式.（2）設(shè)函數(shù)的最小值為，求的解析式，并求的解集.【答案】（1）；（2）；或.【解析】（1）由題意可知，解方程組求出的值即可；（2）由（1）得，然后分，和求得，再分，和解不等式即可【詳解】（1）由題意知又函數(shù)圖象與直線交于兩點時則 有∴    （2）①當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則最小值②當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則最小值③當(dāng)即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則最小值，的解析式為當(dāng)時，，得，當(dāng)時，， 得或  不符題意當(dāng)時，得，綜上所述：不等式的解集為或.【點睛】此題考查利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式，考查動軸定區(qū)間上求最值，考查一元二次不等式的解法，屬于中檔題22．已知定義在的函數(shù)下列條件：①對任意的實數(shù)，恒成立：②當(dāng)時，：③(1)求的值：(2)判斷的單調(diào)性并給出證明：(3)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增，證明見解析(3) 【分析】（1）先令，可求得，再令即可求出；（2）令，可得，任取，判斷出即可證明；（3）根據(jù)定義可得，再利用單調(diào)性即可解出.【詳解】（1）令，則，解得，令，則，解得；（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：令，任意，，即在上單調(diào)遞增；（3）由，得，即，由（2）得，解得或，又，，綜上所述：. 

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