2021-2022學(xué)年陜西省咸陽(yáng)市禮泉縣高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．函數(shù)的定義域是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域求法，要使真數(shù)大于零解不等式即可.【詳解】由題意可知，是對(duì)數(shù)型函數(shù)，所以其真數(shù)大于零，即所以，，即定義域?yàn)?/span>.故選：C.2．已知集合則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的并、補(bǔ)運(yùn)算即可得出選項(xiàng).【詳解】由題意，.故選：A.3．下列函數(shù)中與函數(shù)是同一函數(shù)的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù)只需要判斷定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否都相同即可.【詳解】已知的定義域?yàn)?/span>,選項(xiàng)A：定義域?yàn)?/span>，，與有相同的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，故是同一函數(shù)；選項(xiàng)B：定義域?yàn)?/span>，，解析式不一樣，故不是同一函數(shù)；選項(xiàng)C：定義域?yàn)?/span>，定義域不一樣，故不是同一函數(shù)；選項(xiàng)D：，定義域?yàn)?/span>，定義域不一樣，故不是同一函數(shù).故選:A4．若函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)（    ）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得，故選：C.5．已知函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?/span>且，所以令，則，，所以過(guò)定點(diǎn).故選：C.6．托馬斯說(shuō)：“函數(shù)概念是近代數(shù)學(xué)思想之花.”請(qǐng)根據(jù)函數(shù)的概念判斷：下列對(duì)應(yīng)是集合到集合的函數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)各選項(xiàng)中的函數(shù)，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)的值域，結(jié)合可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，按照對(duì)應(yīng)的，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，按照對(duì)應(yīng)的，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，按照對(duì)應(yīng)的，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，按照對(duì)應(yīng)的，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.7．利用二分法求方程的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)當(dāng)連續(xù)函數(shù)滿足（a）（b）時(shí)，在區(qū)間上有零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上有解，進(jìn)而得到答案．【詳解】解：設(shè)，當(dāng)連續(xù)函數(shù)滿足（a）（b）時(shí)，在區(qū)間上有零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上有解，又（2），（3），故（2）（3），故方程在區(qū)間上有解，即利用二分法求方程的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是.故選：C．8．已知，則函數(shù)與函數(shù)的圖像在同一坐標(biāo)系中可以是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像為B.故選：B.9．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過(guò)分鐘后物體的溫度可由公式求得.其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于的常數(shù).現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，分鐘以后物體的溫度是，則約等于（參考數(shù)據(jù)：）（  ）A． B． C． D．【答案】A【分析】列方程，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可【詳解】解：由題意得，，，兩邊取自然對(duì)數(shù)得，，所以，故選：A10．若，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是（    ）A． B． C． D．以上答案都不對(duì)【答案】D【分析】可化為，根據(jù)條件可分三種情況討論，即，然后根據(jù)每種情況分析求出對(duì)應(yīng)關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)?/span>可化為，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，則，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，則，所以，故選：D.11．已知函數(shù)，且函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)，，．則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出以及的解析式即可求解.【詳解】由函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)的函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)，，，，所以.故選：D12．已知函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且，則使成立的的取值集合為（    ）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】先利用偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)平移得出原函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸，再根據(jù)已知得出開(kāi)口方向，并作出示意圖，結(jié)合圖像即可求解.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，向右平移3個(gè)單位，得，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又因?yàn)?/span>，所以二次函數(shù)開(kāi)口向下，畫(huà)一個(gè)示意圖如圖，由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知，，當(dāng)，由圖像可知只需讓，即，故選：B 二、填空題13．若，則__________.【答案】【分析】用換元法或湊配法求函數(shù)解析式.【詳解】，令，則，∴，所以.故答案為：14．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則__________.【答案】【分析】根據(jù)時(shí)函數(shù)解析式,將代入即可求,根據(jù)奇函數(shù)代入即可求得.【詳解】解:由題知是定義在上的奇函數(shù),,當(dāng)時(shí),,,.故答案為:-115．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】##【分析】分段函數(shù)在上單調(diào)遞減，則滿足在單調(diào)遞減且在單調(diào)遞減，同時(shí).【詳解】若函數(shù)是上的減函數(shù),則滿足在單調(diào)遞減，則；在單調(diào)遞減；并且，即，綜上故答案為：16．函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________.【答案】2【分析】作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，由圖像可得交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】作出和的圖像如圖所示：由圖像可得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè),故答案為：2 三、解答題17．計(jì)算：(1)；(2).【答案】(1)(2) 【分析】（1）（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及冪指數(shù)和根式的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】（1）.（2）18．已知集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，且，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）代入，再根據(jù)交集的定義求解即可；（2）根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)滿足的條件，結(jié)合列式求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又.（2）由，得，又，故有，解得.的取值范圍是.19．已知函數(shù).（1）求值，使得函數(shù)為奇函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明.【答案】（1）；（2）在R上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，再由函數(shù)為奇函數(shù)，得，解之可得答案；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在R上單調(diào)遞增，任取，且，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性的定義作差，判斷其符號(hào)，可得證.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，若函數(shù)為奇函數(shù)，所以，解得，檢驗(yàn)時(shí)，，此時(shí)，所以時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在R上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，因?yàn)?/span>，且，所以，，所以，所以，所以在R上單調(diào)遞增.20．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求在上的解析式；(2)設(shè)函數(shù)在上的最小值為，求的表達(dá)式.【答案】(1) .(2) . 【分析】(1)利用函數(shù)奇偶性，結(jié)合時(shí)的解析式，即可求得函數(shù)在時(shí)的解析式，即可得函數(shù)在上的解析式；（2）討論在時(shí)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系，即可得答案.【詳解】（1）若，則，則，又為偶函數(shù)，，故.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸方程為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)，即時(shí)，.綜上，.21．推行垃圾分類(lèi)以來(lái)，某環(huán)保公司新上一種把廚余垃圾加工處理為可重新利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目.經(jīng)測(cè)算該公司每日處理廚余垃圾的成本（元）與日處理量（噸）之間的函數(shù)解析式可近似地表示為每處理一噸廚余垃圾，可得到價(jià)值100元的化工產(chǎn)品的收益.(1)求日純收益（元）關(guān)于日處理量（噸）的函數(shù)解析式；（純收益=總收益-成本）(2)該公司每日處理的廚余垃圾為多少噸時(shí)，獲得的日純收益最大？【答案】(1)(2)該公司每日處理的廚余垃圾為24噸時(shí)，獲得的日純收益最大. 【分析】(1)分別討論，時(shí)，，即可得出函數(shù)解析式.(2)由一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性求出最值進(jìn)行比較，即可得出所求最大值.【詳解】（1）由題意可得（2）當(dāng)時(shí)，遞增，可得的最大值為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的最大值為1288.，該公司每日處理的廚余垃圾為24噸時(shí)，獲得的日純收益最大.22．已知函數(shù)，且）在上的最大值為2.（1）求a的值；（2）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求m的取值范圍.【答案】（1）3；（2）.【解析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類(lèi)討論，結(jié)合單調(diào)性求得函數(shù)的最值，即可求解.（2）把函數(shù)g（存在零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有解，設(shè)，利用換元法求得函數(shù)的值域，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，解得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，（舍去）.綜上可得，實(shí)數(shù)的值為.（2）由（1）知函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)g（存在零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程有解，設(shè)，令，所以，即的值域?yàn)?/span>.所以m的取值范圍為. 

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