2021-2022學年陜西省咸陽市秦都區(qū)高一上學期期末數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】集合，集合，因此，.故選：A.2．函數(shù)的定義域為（    ）A．(1，+∞) B．[1，+∞)C．[1，2) D．[1，2)∪(2，+∞)【答案】D【分析】求出使函數(shù)式有意義的自變量的范圍即可.【詳解】由題意，解得且．故選：D．3．函數(shù)，則時的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)復合函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】為減函數(shù)，由可得，解得，所以不等式的解集為，故選：A4．已知是上的奇函數(shù)，且當時，，則當時，的解析式是A． B．C． D．【答案】D【詳解】令，則，所以，又是上的奇函數(shù)，所以，故選D.5．圓與圓的位置關(guān)系為（    ）A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．相離【答案】B【解析】求出兩圓的圓心距與半徑之和、半徑之差比較大小即可得出正確答案.【詳解】由可得圓心為，半徑，由可得圓心為，半徑，所以圓心距為，所以兩圓相外切，故選：B.6．若函數(shù)f(x)=，則f(2)=（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)2的范圍確定解析式，代入求值即可.【詳解】∵f(x)＝，∴f(2)＝f(2＋2)＝f(4)＝f(4＋2)＝f(6)＝6－3＝3.故選：B.7．函數(shù)的大致圖象是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B選項，根據(jù)特殊點，排除C選項，根據(jù)分子和分母的增長速度排除A選項.【詳解】因為定義域為，且，所以是偶函數(shù)，排除B；又，排除C；當時，函數(shù)比增長得更快，故函數(shù)的大致圖象為D選項.故選：D8．已知，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可.【詳解】因為，，，所以.故選：A9．過原點和直線與的交點的直線的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出兩直線的交點，從而可得所求的直線方程.【詳解】由可得，故過原點和交點的直線為即，故選：C.10．下列條件中能推出平面平面的是（    ）A．存在一條直線，，B．存在一條直線， ，C．存在兩條平行直線，，，，，D．存在兩條異面直線，，，，，【答案】D【分析】A、B、C，畫圖舉例判斷；D.由面面平行的判定定理判斷.【詳解】A.如圖所示：，存在一條直線，，，但平面與平面相交，故錯誤；B.如圖所示： ，存在一條直線，，，但平面與平面相交，故錯誤；C. 如圖所示：，存在兩條平行直線，，，，，，但平面與平面相交，故錯誤；D.如圖所示：，在平面內(nèi)過b上一點作，則，又，且，所以，故正確；故選：D11．中國北斗導航系統(tǒng)是繼美國GPS等系統(tǒng)后另一個能為全球提供高質(zhì)量導航定位的系統(tǒng).北斗衛(wèi)星由長征三號乙運載火箭送入太空，長征三號乙運載火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪音，聲音的等級（單位：）與聲音的強度（單位：）滿足，火箭發(fā)射時的聲音等級約為，兩人交談時的聲音等級大約為，那么火箭發(fā)射時的聲音強度大約是兩人交談時聲音強度的（    ）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【分析】結(jié)合對數(shù)運算求得，進而求得聲音強度的倍數(shù).【詳解】由，得，所以火箭發(fā)射時的聲音強度大約是兩人交談時聲音強度的倍.故選：C12．一個空間幾何體的三視圖如圖所示，三個視圖都是外輪廓為邊長是2的正方形，則其表面積等于（    ）A．16 B．20 C． D．【答案】D【分析】先確定幾何多面體的原圖，再求表面積.【詳解】解：如圖所示：由題得，過點G作,垂足為H故所以所以多面體的表面積為：故選：D 二、填空題13．直線和直線之間的距離為______.【答案】2【分析】首先要將兩條平行直線化為相同的形式，即方程與的系數(shù)分別相同，然后代入公式，來求兩平行直線的距離.【詳解】將直線化為，故直線和直線之間的距離為.故答案為：2.14．函數(shù)的零點個數(shù)為________．【答案】2【分析】令，得到，即是，函數(shù)的零點個數(shù)就是方程的根的個數(shù)，分別做出方程兩邊的函數(shù)的圖象，可以觀察出交點的個數(shù)，即為零點的個數(shù)，得解.【詳解】令，得到，即是 ，函數(shù)的零點個數(shù)就是方程的根的個數(shù)，就是對數(shù)曲線與拋物線的交點個數(shù).如下圖所示，由圖象知：對數(shù)曲線與拋物線兩個交點，所以函數(shù)有兩個零點，故填：2 . 【點睛】本題考查函數(shù)的零點的個數(shù)，關(guān)鍵在于令函數(shù)為零，整理對應(yīng)的方程將方程的左右分別令成函數(shù)，在同一坐標系下做出這兩個函數(shù)的圖象，觀察其交點個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.15．在我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)·商功》中劉徽注解“邪解立方得二塹堵”.如圖，在正方體中“邪解”得到一塹堵，為的中點，則異面直線與所成的角為______.【答案】90°【分析】由圖形中直線的位置關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為求與所成的角，易得結(jié)果.【詳解】因為在正方體中，，所以異面直線與所成的角等于與所成的角，又因為為正三角形，且E為的中點，所以，即與所成的角為，異面直線與所成的角為.故答案為：.16．在直三棱柱中，，，則該直三棱柱的外接球的體積是______.【答案】##【分析】利用勾股定理求得外接球的半徑，進而求得外接球的體積.【詳解】由于，所以，且直角三角形的外心在的中點處，設(shè)外接球的半徑為，則，所以外接球的體積為.故答案為： 三、解答題17．已知直線：，點.(1)求過點且與平行的直線方程；(2)求過點且與垂直的直線方程.【答案】(1)(2). 【分析】（1）（2）根據(jù)直線平行垂直的性質(zhì)，求出相應(yīng)的斜率，運用點斜式直線方程求解.【詳解】（1）易知直線的斜率為，設(shè)過點且與平行的直線的斜率為，則，直線的方程為，即；（2）易知直線的斜率為，設(shè)過點且與垂直的直線的斜率為，則，，直線的方程為，即；18．已知函數(shù)，.(1)當時，求函數(shù)的值域；(2)求實數(shù)的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).【答案】(1)(2). 【分析】（1）判斷出在上單減，在上單增，利用單調(diào)性法求值域；（2）求出對稱軸，利用在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)列不等式，即可求解.【詳解】（1）依題意，當時，，所以在上單減，在上單增，所以當時，取得最小值，且，又，，則函數(shù)的最大值為10，最小值為1，值域為.（2）函數(shù)為二次函數(shù)，其對稱軸為直線，要使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，只需或，解得：或，則的取值范圍為.19．已知函數(shù)，其中是指數(shù)函數(shù)．（1）求的表達式；（2）解不等式：．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，有，結(jié)合求a，寫出；（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其單調(diào)性列不等式組求解集即可.【詳解】（1）是指數(shù)函數(shù)，所以，解得或(舍)，∴.（2）由（1）知：，∴，解得，解集為.20．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，，分別為棱，的中點，為棱上的動點.求證：(1)平面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）通過構(gòu)造平行四邊形的方法，結(jié)合線面平行的判定定理證得平面；（2）通過證明平面來證得平面平面.【詳解】（1）如圖，取的中點，連接，.為棱的中點，，且.又為棱的中點，且底面為正方形，，且，，且，四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，平面.（2）為棱的中點，，.底面，平面，，又，，平面，平面，平面，.，平面，平面.平面，平面平面.21．已知圓C過，兩點，且圓心C在直線上．(1)求圓C的方程；(2)若直線l過點且被圓C截得的線段長為，求l的方程．【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）設(shè)圓C的圓心為，半徑為r，結(jié)合題意得，解出a、b、r的值，將其值代入圓的方程即可得答案．（2）根據(jù)題意，分類討論，斜率存在和斜率不存在兩種情況：①當直線l的斜率不存在時，滿足題意，②當直線l的斜率存在時，設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：，由點到直線的距離公式求得k的值，即可得直線的方程，綜合2種情況即可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)圓C的圓心為，半徑為r，則圓C方程為，又圓C過，，且圓心C在直線上，∴，解得：，，，故圓C的方程為．（2）根據(jù)題意，設(shè)直線l與圓C交與MN兩點，則，設(shè)D是線段MN的中點，則，∴，．在中，可得．當直線l的斜率不存在時，此時直線l的方程為，滿足題意，當直線l的斜率存在時，設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l為：，即．由C到直線MN的距離公式：，解得：，此時直線l的方程為．綜上，所求直線l的方程為或．22．如圖2，四邊形為矩形，平面，，，作如圖3折疊，折痕.其中點、分別在線段、上，沿折疊后點在線段上的點記為，并且.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）詳見解析；（2）.【詳解】試題分析：（1）要證CF⊥平面MDF，只需證CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即證MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；（2）求出△CDE的面積S△CDE，對應(yīng)三棱錐的高MD，計算它的體積VM-CDE．試題解析：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD；又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD?平面ABCD，MD⊥CD，∴MD⊥平面PCD，CF?平面PCD，∴CF⊥MD；又CF⊥MF，MD、MF?平面MDF，MD∩MF=M，∴CF⊥平面MDF；（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，又易知∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=；∵EF∥DC，∴，即，∴，∴，，=，∴【解析】空間線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，空間幾何體的體積計算，邏輯推論證能力，運算求解能力  

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