第5講 功與功率 功能關(guān)系
命題規(guī)律 1.命題角度：(1)功、功率的分析與計(jì)算；(2)功能關(guān)系.2.常用方法：微元法、圖像法、轉(zhuǎn)換法.3.?？碱}型：選擇題．
考點(diǎn)一 功、功率的分析與計(jì)算
1．功的計(jì)算
(1)恒力做功一般用功的公式或動(dòng)能定理求解．
(2)變力做功通常應(yīng)用動(dòng)能定理、微元法、等效轉(zhuǎn)化法、平均力法、圖像法求解，或者利用恒定功率求功W＝Pt.
2．功率的計(jì)算
(1)明確是求瞬時(shí)功率還是平均功率．
P＝eq \f(W,t)側(cè)重于平均功率的計(jì)算，P＝Fvcs α(α為F和速度v的夾角)側(cè)重于瞬時(shí)功率的計(jì)算．
(2)機(jī)車啟動(dòng)(F阻不變)
①兩個(gè)基本關(guān)系式：P＝Fv，F(xiàn)－F阻＝ma.
②兩種常見情況
a．恒定功率啟動(dòng)：P不變，此時(shí)做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，直到達(dá)到最大速度vm，此過程Pt－F阻s＝eq \f(1,2)mvm2；
b．恒定加速度啟動(dòng)：開始階段a不變，達(dá)到額定功率后，然后保持功率不變，加速度逐漸減小到零，最終做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
無論哪種啟動(dòng)方式，最大速度都等于勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，即vm＝eq \f(P,F阻).
例1 (多選)(2022·廣東卷·9)如圖所示，載有防疫物資的無人駕駛小車，在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s勻速行駛，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s勻速行駛．已知小車總質(zhì)量為50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的傾角為30°，重力加速度g取10 m/s2，不計(jì)空氣阻力．下列說法正確的有( )
A．從M到N，小車牽引力大小為40 N
B．從M到N，小車克服摩擦力做功800 J
C．從P到Q，小車重力勢(shì)能增加1×104 J
D．從P到Q，小車克服摩擦力做功700 J
答案 ABD
解析 小車從M到N，依題意有P1＝Fv1，代入數(shù)據(jù)解得F＝40 N，故A正確；小車從M到N，因勻速行駛，小車所受的摩擦力大小為f1＝F＝40 N，則摩擦力做功為W1＝－40×20 J＝－800 J，則小車克服摩擦力做功為800 J，故B正確；依題意，從P到Q，重力勢(shì)能增加量為ΔEp＝mg·PQsin 30°＝5 000 J，故C錯(cuò)誤；設(shè)小車從P到Q，摩擦力大小為f2，有f2＋mgsin 30°＝eq \f(P2,v2)，摩擦力做功為W2＝－f2·PQ，聯(lián)立解得W2＝－700 J，則小車克服摩擦力做功為
700 J，故D正確．
例2 (2021·山東卷·3)如圖所示，粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長為L的輕質(zhì)細(xì)桿，一端可繞豎直光滑軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端與質(zhì)量為m的小木塊相連．木塊以水平初速度v0出發(fā)，恰好能完成一個(gè)完整的圓周運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，木塊所受摩擦力的大小為( )
A.eq \f(mv02,2πL) B.eq \f(mv02,4πL)
C.eq \f(mv02,8πL) D.eq \f(mv02,16πL)
答案 B
解析 在運(yùn)動(dòng)過程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功與路徑有關(guān)，根據(jù)動(dòng)能定理－Ff·2πL＝0－eq \f(1,2)mv02，可得摩擦力的大小Ff＝eq \f(mv02,4πL)，故選B.
例3 (多選)(2018·全國卷Ⅲ·19)地下礦井中的礦石裝在礦車中，用電機(jī)通過豎井運(yùn)送到地面．某豎井中礦車提升的速度大小v隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖所示，其中圖線①②分別描述兩次不同的提升過程，它們變速階段加速度的大小都相同；兩次提升的高度相同，提升的質(zhì)量相等．不考慮摩擦阻力和空氣阻力．對(duì)于第①次和第②次提升過程，( )
A．礦車上升所用的時(shí)間之比為4∶5
B．電機(jī)的最大牽引力之比為2∶1
C．電機(jī)輸出的最大功率之比為2∶1
D．電機(jī)所做的功之比為4∶5
答案 AC
解析 由題圖中的圖線①知，上升總高度h＝eq \f(v0,2)·2t0＝v0t0.由題圖中的圖線②知，加速階段和減速階段上升高度和h1＝eq \f(1,2)·eq \f(v0,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t0,2)＋\f(t0,2)))＝eq \f(1,4)v0t0，勻速階段：h－h(huán)1＝eq \f(1,2)v0·t′，解得t′＝eq \f(3,2)t0，故第②次提升過程所用時(shí)間為eq \f(t0,2)＋eq \f(3,2)t0＋eq \f(t0,2)＝eq \f(5,2)t0，兩次上升所用時(shí)間之比為2t0∶eq \f(5,2)t0＝4∶5，A項(xiàng)正確；由于加速階段加速度相同，故加速時(shí)牽引力相同，即電動(dòng)機(jī)的最大牽引力相同，B項(xiàng)錯(cuò)誤；在加速上升階段，由牛頓第二定律知，F(xiàn)－mg＝ma，則F＝m(g＋a)，第①次在t0時(shí)刻，功率P1＝F·v0，第②次在eq \f(t0,2)時(shí)刻，功率P2＝F·eq \f(v0,2)，第②次在勻速階段P2′＝F′·eq \f(v0,2)＝mg·eq \f(v0,2)90 km/h時(shí)汽油機(jī)和電動(dòng)機(jī)同時(shí)工作，這種汽車更節(jié)能環(huán)保，該小汽車在一條平直的公路上由靜止啟動(dòng)，汽車的牽引力F隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的圖線如圖所示，所受阻力恒為1 250 N．已知汽車在t0時(shí)刻第一次切換動(dòng)力引擎，以后保持恒定功率行駛至第11 s末，則在前11 s內(nèi)( )
A．經(jīng)過計(jì)算t0＝5 s
B．在0～t0時(shí)間內(nèi)小汽車行駛了45 m
C．電動(dòng)機(jī)輸出的最大功率為60 kW
D．汽油機(jī)工作期間牽引力做的功為4.5×105 J
答案 BD
解析 開始階段加速度為a＝eq \f(F1－Ff,m)＝eq \f(5 000－1 250,1 500) m/s2＝2.5 m/s2，v1＝54 km/h＝15 m/s，解得t0＝eq \f(v1,a)＝eq \f(15,2.5) s＝6 s，故A錯(cuò)誤；汽車前6 s內(nèi)的位移為x1＝eq \f(1,2)at02＝45 m，故B正確；t0時(shí)刻，電動(dòng)機(jī)輸出的功率最大，為Pm＝F1v1＝5 000×15 W＝75 kW，故C錯(cuò)誤；由題圖可知，汽油機(jī)工作期間，功率為P＝F2v1＝90 kW，解得11 s時(shí)刻汽車的速度為v3＝eq \f(P,F3)＝eq \f(90×103,3 600) m/s＝25 m/s＝90 km/h，故6～11 s內(nèi)都是汽油機(jī)在做功，且汽油機(jī)工作時(shí)牽引力做的功為W＝Pt＝4.5×105 J，故D正確．
3.(多選)(2022·海南省模擬)如圖所示，某物體(可視為質(zhì)點(diǎn))分別從等高的固定斜面Ⅰ、Ⅱ頂端下滑，物體與接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)處處相同，斜面與水平面接觸處用半徑可忽略的光滑小圓弧相連．若該物體沿斜面Ⅰ由靜止下滑，運(yùn)動(dòng)到水平面上的P點(diǎn)靜止，不計(jì)空氣阻力．下列說法正確的是( )
A．物體沿斜面Ⅱ由靜止下滑，將運(yùn)動(dòng)到水平面上P點(diǎn)的左側(cè)靜止
B．物體沿斜面Ⅱ運(yùn)動(dòng)的路程大于沿斜面Ⅰ運(yùn)動(dòng)的路程
C．物體沿斜面Ⅱ運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)產(chǎn)生的熱量等于沿斜面Ⅰ運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)產(chǎn)生的熱量
D．物體沿斜面Ⅱ運(yùn)動(dòng)損失的機(jī)械能大于沿斜面Ⅰ運(yùn)動(dòng)損失的機(jī)械能
答案 BC
解析 設(shè)斜面的傾角為α，長度為l，高度為h，斜面的下端點(diǎn)到P點(diǎn)的水平距離為x，由動(dòng)能定理得mgh－μmglcs α－μmgx＝0，設(shè)斜面上端點(diǎn)到P點(diǎn)的水平距離為s總，則s總＝lcs α＋x，聯(lián)立可得mgh－μmgs總＝0，可知最終兩物體均停止在P點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；根據(jù)幾何知識(shí)可知，物體沿斜面Ⅱ運(yùn)動(dòng)的路程大于沿斜面Ⅰ運(yùn)動(dòng)的路程，故B正確；兩種情形下，都是重力勢(shì)能完全轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，而初始時(shí)重力勢(shì)能相同，則物體沿斜面Ⅱ運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)產(chǎn)生的熱量等于沿斜面Ⅰ運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)產(chǎn)生的熱量，故C正確；沿斜面Ⅰ運(yùn)動(dòng)損失的機(jī)械能ΔE1＝μmgL1cs α1，沿斜面Ⅱ運(yùn)動(dòng)損失的機(jī)械能ΔE2＝μmgL2cs α2，因?yàn)長1＞L2，α1＜α2，所以ΔE1＞ΔE2，故D錯(cuò)誤．
專題強(qiáng)化練
[保分基礎(chǔ)練]
1.如圖所示，一質(zhì)量為25 kg的小孩從高為2 m的滑梯頂端由靜止滑下，滑到底端時(shí)的速度大小為2 m/s(g取10 m/s2)．關(guān)于力對(duì)小孩做的功，以下說法正確的是( )
A．重力做功450 J
B．合力做功50 J
C．克服阻力做功50 J
D．支持力做功450 J
答案 B
解析 由功的計(jì)算公式可知，重力做功為WG＝mgh＝25×10×2 J＝500 J，A錯(cuò)誤；由動(dòng)能定理可知，合力做功等于動(dòng)能的變化量，則有W合＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)×25×22 J＝50 J，B正確；由動(dòng)能定理可得WG－W克f＝eq \f(1,2)mv2，故克服阻力做功W克f＝WG－eq \f(1,2)mv2＝500 J－50 J＝450 J，C錯(cuò)誤；支持力與小孩的運(yùn)動(dòng)方向一直垂直，所以支持力不做功，D錯(cuò)誤．
2．一滑塊在水平地面上沿直線滑行，t＝0時(shí)其速度為1 m/s，從此刻開始在滑塊運(yùn)動(dòng)方向上再施加一水平作用力F，力F和滑塊的速度v隨時(shí)間的變化規(guī)律分別如圖(a)和圖(b)所示．設(shè)在第1秒內(nèi)、第2秒內(nèi)、第3秒內(nèi)力F對(duì)滑塊做的功分別為W1、W2、W3，則以下關(guān)系正確的是( )
A．W1＝W2＝W3 B．W1

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