?第2講　磁場(chǎng)　帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)


1.磁場(chǎng)的產(chǎn)生與疊加

2.安培力的分析與計(jì)算
方向
左手定則
大
小
直
導(dǎo)
線
F=ILBsin θ
θ=0時(shí)F=0,θ=90°時(shí)F=ILB
導(dǎo)
線
為
曲
線
時(shí)

等效為ac直線電流
受
力
分
析


根據(jù)力的平衡條件或牛頓運(yùn)動(dòng)定律列方程
二
級(jí)
結(jié)
論
同向電流相互吸引,反向電流相互排斥
3.靈活應(yīng)用帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的關(guān)系式
(1)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式:R=mvqB。
(2)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式:T=2πRv=2πmqB。

1.思想方法
(1)解題關(guān)鍵。
帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做什么運(yùn)動(dòng),取決于帶電粒子所受的合外力及初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的速度,因此帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況和受力情況的分析是解題的關(guān)鍵。
(2)力學(xué)規(guī)律的選擇。
①當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),應(yīng)根據(jù)平衡條件列方程求解。
②當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),往往同時(shí)應(yīng)用牛頓第二定律和受力分析列方程聯(lián)立求解。
③當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做非勻變速曲線運(yùn)動(dòng)時(shí),應(yīng)選用動(dòng)能定理或能量守恒定律列方程求解。
2.模型建構(gòu)
電磁學(xué)中的曲線運(yùn)動(dòng)常用四種方法
利用運(yùn)
動(dòng)的合
成與分
解
(1)帶電粒子以某一初速度垂直電場(chǎng)方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)中,只受靜電力作用的運(yùn)動(dòng)。
(2)帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)及重力場(chǎng)中的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)
利用動(dòng)
能定理
解曲線
運(yùn)動(dòng)問(wèn)
題
帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做變加速曲線運(yùn)動(dòng),適合應(yīng)用動(dòng)能定理。帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)也可以使用動(dòng)能定理
利用牛
頓運(yùn)動(dòng)
定律解
圓周運(yùn)
動(dòng)問(wèn)題
(1)核外電子在庫(kù)侖力作用下繞原子核的運(yùn)動(dòng)。
(2)帶電粒子在垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)的平面中在磁場(chǎng)力作用下的運(yùn)動(dòng)。
(3)帶電物體在各種外力(重力、彈力、摩擦力、靜電力、磁場(chǎng)力等)作用下的圓周運(yùn)動(dòng)
利用幾
何關(guān)系
解圓周
問(wèn)題
帶電粒子垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng),有以下幾種情況:
(1)磁場(chǎng)的邊界不同造成粒子軌跡圓與邊界的幾何問(wèn)題。
(2)粒子射入磁場(chǎng)的速度不同造成粒子軌跡圓的半徑不同。
(3)粒子射入磁場(chǎng)的方向不同造成粒子軌跡的旋轉(zhuǎn)。
以上均涉及平面幾何問(wèn)題



高考考點(diǎn)
命題軌跡
考查內(nèi)容
考查要求
磁場(chǎng)性質(zhì)
磁場(chǎng)對(duì)電流的作用
2022全國(guó)甲卷T25
關(guān)鍵能力
綜合性
2022全國(guó)乙卷T18
必備知識(shí)
基礎(chǔ)性
2022湖北卷T11
關(guān)鍵能力
綜合性
2021全國(guó)甲卷T16
必備知識(shí)
基礎(chǔ)性
2021廣東卷T5
必備知識(shí)
基礎(chǔ)性
帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
2022廣東卷T7
必備知識(shí)
基礎(chǔ)性
2021全國(guó)乙卷T16
必備知識(shí)
基礎(chǔ)性
2021湖北卷T9
關(guān)鍵能力
綜合性
帶電粒子在有界磁場(chǎng)中
運(yùn)動(dòng)的臨界、極值和多
解問(wèn)題
2022湖南卷T13
關(guān)鍵能力
綜合性
2022湖北卷T8
關(guān)鍵能力
綜合性
2021全國(guó)甲卷T25
關(guān)鍵能力
綜合性
2021廣東卷T14
關(guān)鍵能力、核心價(jià)值
綜合性
帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)
及交變場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
2022廣東卷T8
關(guān)鍵能力
綜合性
2022山東卷T17
關(guān)鍵能力、核心價(jià)值
綜合性
2022河北卷T14
關(guān)鍵能力
綜合性
2022全國(guó)甲卷T18
關(guān)鍵能力
綜合性

考點(diǎn)一　磁場(chǎng)性質(zhì)　磁場(chǎng)對(duì)電流的作用

(2021·全國(guó)甲卷,16)兩足夠長(zhǎng)直導(dǎo)線均折成直角,按圖示方式放置在同一平面內(nèi),EO與O′Q在一條直線上,PO′與OF在一條直線上,兩導(dǎo)線相互絕緣,通有相等的電流I,電流方向如圖所示。若一根無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線通過(guò)電流I時(shí),所產(chǎn)生的磁場(chǎng)在距離導(dǎo)線d處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,則圖中與導(dǎo)線距離均為d的M、N兩點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為(　B　)


A.B、0 B.0、2B C.2B、2B D.B、B
解析:根據(jù)安培定則可知,兩根導(dǎo)線在M處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,方向相反,疊加后磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為0;豎直方向的導(dǎo)線和水平方向的導(dǎo)線在N處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,方向相同,疊加后磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B,B正確。
(2021·廣東卷,5)截面為正方形的絕緣彈性長(zhǎng)管中心有一固定長(zhǎng)直導(dǎo)線,長(zhǎng)管外表面固定著對(duì)稱分布的四根平行長(zhǎng)直導(dǎo)線。若中心直導(dǎo)線通入電流I1,四根平行直導(dǎo)線均通入電流I2,I1?I2,電流方向如圖所示。下列截面圖中可能正確表示通電后長(zhǎng)管發(fā)生形變的是(　C　)


解析:根據(jù)“同向電流相互吸引,異向電流相互排斥”的作用規(guī)律可知,左、右兩導(dǎo)線與長(zhǎng)管中心的長(zhǎng)直導(dǎo)線相互吸引,上、下兩導(dǎo)線與長(zhǎng)管中心的長(zhǎng)直導(dǎo)線相互排斥,C正確。

1.磁場(chǎng)性質(zhì)分析的兩點(diǎn)技巧
(1)判斷電流的磁場(chǎng)要正確應(yīng)用安培定則,明確大拇指、四指所指的方向及手掌的放法。
(2)分析磁場(chǎng)對(duì)電流的作用要做到“一明、一轉(zhuǎn)、一分析”。即:

2.安培力作用下的平衡與運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的求解思路


1.(2022·山西臨汾二模)已知通有電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線外某點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=kIr,其中r為該點(diǎn)到導(dǎo)線的距離,k為常量。如圖所示,在紙面內(nèi)有一直角三角形AOC,∠C=30°,O、C兩點(diǎn)間距離為d。在A點(diǎn)固定一垂直于紙面的長(zhǎng)直通電導(dǎo)線,電流為I,方向垂直紙面向里。若在該區(qū)域再加一勻強(qiáng)磁場(chǎng),使C點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零,則所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小、方向分別為(　A　)

A.3kI2d,垂直于AC向上
B.3kI2d,平行于AC向上
C.3kId,垂直于AC向上
D.3kId,平行于AC向上
解析:根據(jù)幾何關(guān)系,AC的長(zhǎng)度為r=OCcos30°=23d,長(zhǎng)直通電導(dǎo)線在C處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1=kIr=3kI2d,根據(jù)右手螺旋定則,方向垂直AC向下。在該區(qū)域再加一勻強(qiáng)磁場(chǎng),使C點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零,則所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度與B1等大反向,即大小為3kI2d,方向垂直于AC向上。故A正確。
2.(2022·江蘇南通一模)如圖所示,水平桌面上有一正三角形線框abc,線框由粗細(xì)相同的同種材料制成,邊長(zhǎng)為L(zhǎng),線框處在與桌面成60°斜向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,ac邊與磁場(chǎng)垂直。現(xiàn)a、c兩點(diǎn)接到直流電源上,流過(guò)ac邊的電流為I,線框靜止在桌面上,則線框受到的摩擦力大小為(　C　)

A.34ILB B.3ILB
C.334ILB D.2ILB
解析:根據(jù)題意可知,abc邊的電流I′=I2,正三角形框架接入電路后,受安培力的等效長(zhǎng)度為L(zhǎng),總電流I總=I+I′=3I2,所受安培力大小F=I總LBcos 30°=33ILB4,故選C。
考點(diǎn)二　帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

(2022·廣東卷,7)如圖所示,一個(gè)立方體空間被對(duì)角平面MNPQ劃分成兩個(gè)區(qū)域,兩區(qū)域分布有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等、方向相反且與z軸平行的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)子以某一速度從立方體左側(cè)垂直O(jiān)yz平面進(jìn)入磁場(chǎng),并穿過(guò)兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域。下列關(guān)于質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌跡在不同坐標(biāo)平面的投影中,可能正確的是(　A　)



解析:根據(jù)題述情境,質(zhì)子垂直O(jiān)yz平面進(jìn)入磁場(chǎng),由左手定則可知,質(zhì)子先向y軸正方向偏轉(zhuǎn)穿過(guò)MNPQ平面,再向x軸正方向偏轉(zhuǎn),所以選項(xiàng)A可能正確,B錯(cuò)誤;該軌跡在Oxz平面上的投影為一條平行于x軸的直線,選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤。
(2021·全國(guó)乙卷,16)如圖,圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子從圓周上的M點(diǎn)沿直徑MON方向射入磁場(chǎng)。若粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v1,離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)90°;若射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v2,離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)60°。不計(jì)重力。則v1v2為(　B　)

A.12 B.33 C.32 D.3
解析:設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為R,根據(jù)幾何關(guān)系可知,帶電粒子以v1射入磁場(chǎng)時(shí),在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r1=R,帶電粒子以v2射入磁場(chǎng)時(shí),在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r2=Rtan 60°2=3R,根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB=mv2r,可得r=mvqB,則r1=mv1qB,r2=mv2qB,解得v1v2=33,B正確。

1.對(duì)洛倫茲力的分析
(1)方向判斷:左手定則→F垂直于B和v決定的平面。
(2)大小計(jì)算:F=qvBsin θ。
①v∥B時(shí),洛倫茲力F=0(θ=0°或180°)。
②v⊥B時(shí),洛倫茲力F=qvB(θ=90°)。
③v=0時(shí),洛倫茲力F=0。
(3)動(dòng)力學(xué)關(guān)系:帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)將做勻速圓周運(yùn)動(dòng),向心力由洛倫茲力提供,洛倫茲力始終垂直于運(yùn)動(dòng)方向,它不做功。
2.分析帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的方法
基
本
思
路
(1)畫(huà)軌跡:確定圓心,用幾何方法求半徑并畫(huà)出軌跡。
(2)找聯(lián)系:軌跡半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、運(yùn)動(dòng)速度相聯(lián)系,偏轉(zhuǎn)角度與圓心角、運(yùn)動(dòng)時(shí)間相聯(lián)系,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與周期相聯(lián)系。
(3)用規(guī)律:利用牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,特別是周期公式和半徑公式
基
本
公
式
qvB=mv2r
重
要
結(jié)
論
r=mvqB,T=2πmqB,T=2πrv
圓
心
的
確
定
(1)軌跡上的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的速度垂線的交點(diǎn)為圓心,如圖甲。
(2)軌跡上入射點(diǎn)速度垂線和兩點(diǎn)連線中垂線的交點(diǎn)為圓心,如圖乙。
(3)沿半徑方向距入射點(diǎn)距離等于r的點(diǎn),如圖丙。(r已知或可求)

半
徑
的
確
定
方法一:由物理公式求。由于qvB=mv2r,所以半徑r=mvqB。
方法二:由幾何關(guān)系求。一般由數(shù)學(xué)知識(shí)(勾股定理、三角函數(shù)等)通過(guò)計(jì)算來(lái)確定
時(shí)
間
的
求
解
方法一:由圓心角求。t=θ2π·T。
方法二:由弧長(zhǎng)求。t=sv
軌
跡
圓
的
幾
個(gè)
基
本
特
點(diǎn)
(1)粒子從同一直線邊界射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)時(shí),入射角等于出射角。(如圖甲,θ1=θ2=θ3)
(2)粒子速度方向的偏轉(zhuǎn)角等于其軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角。(如圖甲,α1=α2)
(3)沿半徑方向射入圓形磁場(chǎng)的粒子,出射時(shí)亦沿半徑方向,如圖乙。(兩側(cè)關(guān)于兩圓心連線對(duì)稱)


3.(2022·廣東深圳二模)(多選)如圖為地球赤道剖面圖,地球半徑為R,把地面上高度為R2區(qū)域內(nèi)的地磁場(chǎng)視為磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直于剖面的勻強(qiáng)磁場(chǎng),一帶電粒子以速度v正對(duì)地心射入該磁場(chǎng)區(qū)域,軌跡恰好與地面相切。則(　BD　)

A.粒子帶正電荷
B.軌跡半徑為5R8
C.粒子的比荷為vBR
D.若粒子速度減小,在該磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間增加
解析:由左手定則可知,粒子帶負(fù)電,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;由幾何關(guān)系可知r2+(R+R2)2=(R+r)2,解得r=5R8,選項(xiàng)B正確;根據(jù)qvB=mv2r,解得qm=8v5BR,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;若粒子速度減小,則粒子的運(yùn)動(dòng)半徑減小,但是粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角變大,因粒子的周期T=2πmqB,不變,則由t=θ2πT可知,在該磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間增加,選項(xiàng)D正確。

4.(2022·廣西南寧二模)如圖,在底邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等腰直角三角形MQN區(qū)域內(nèi),存在方向垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電粒子(不計(jì)重力)以垂直于底邊MN的速度v從底邊中點(diǎn)P1射入磁場(chǎng),粒子離開(kāi)磁場(chǎng)的位置在直角邊QN的中點(diǎn)P2,下列結(jié)論正確的是(　C　)

A.粒子帶負(fù)電
B.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R=L2
C.粒子的比荷qm=4vBL
D.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=πL2v
解析:由題意可知,粒子從P1點(diǎn)進(jìn),從P2點(diǎn)出,則粒子向右偏轉(zhuǎn),根據(jù)左手定則可知,粒子帶正電,故A錯(cuò)誤;根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。

設(shè)粒子的軌道半徑為R,則,OP1=OP2=R,底邊MN=L,則根據(jù)幾何關(guān)系可知P2N=24L,ON=12L-R,由題知,△MQN為等腰直角三角形,則∠QNM=45°,在△P2NO中,根據(jù)余弦定理有R2=(2L4)2+(L2-R)2-2×24L×(L2-R)cos 45°,解得R=L4;粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB=mv2R,解得粒子的比荷qm=4vBL,故B錯(cuò)誤,C正確;因半徑R=L4,則由幾何關(guān)系可得ON=L2-R=L4,故OP2=ON=R,且P2N=24L,所以∠P2ON=90°,故粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度也為90°,則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=14T,又T=2πmBq,解得t=πL8v,故D錯(cuò)誤。
考點(diǎn)三　帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值和多解問(wèn)題

(2021·海南卷13)(多選)如圖,在平面直角坐標(biāo)系Oxy的第一象限內(nèi),存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。大量質(zhì)量為m、電荷量為q的相同粒子從y軸上的P(0,3L)點(diǎn),以相同的速率在紙面內(nèi)沿不同方向先后射入磁場(chǎng),設(shè)入射速度方向與y軸正方向的夾角為α(0≤α≤180°)。當(dāng)α=150°時(shí),粒子垂直x軸離開(kāi)磁場(chǎng)。不計(jì)粒子的重力。則(　ACD　)

A.粒子一定帶正電
B.當(dāng)α=45°時(shí),粒子也垂直x軸離開(kāi)磁場(chǎng)
C.粒子入射速率為23qBLm
D.粒子離開(kāi)磁場(chǎng)的位置到O點(diǎn)的最大距離為35L
解析:根據(jù)題意可知粒子垂直x軸離開(kāi)磁場(chǎng),根據(jù)左手定則可知粒子帶正電,A正確。當(dāng)α=150°時(shí),粒子垂直x軸離開(kāi)磁場(chǎng),運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示,粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r=3Lcos60°=23L,洛倫茲力提供向心力,qvB=mv2r,解得粒子入射速率v=23qBLm;若α=45°,粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示,


根據(jù)幾何關(guān)系可知,粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)與x軸不垂直,B錯(cuò)誤,C正確。粒子離開(kāi)磁場(chǎng)距離O點(diǎn)距離最遠(yuǎn)時(shí),粒子在磁場(chǎng)中的軌跡為半圓,如圖丙所示,根據(jù)幾何關(guān)系可知(2r)2=(3L)2+xm2,解得xm=35L,D正確。

(2022·湖北卷,8)(多選)在如圖所示的平面內(nèi),分界線SP將寬度為L(zhǎng)的矩形區(qū)域分成兩部分,一部分充滿方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),另一部分充滿方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,SP與磁場(chǎng)左右邊界垂直。離子源從S處射入速度大小不同的正離子,離子入射方向與磁場(chǎng)方向垂直且與SP成30°角。已知離子比荷為k,不計(jì)重力。若離子從Р點(diǎn)射出,設(shè)出射方向與入射方向的夾角為θ,則離子的入射速度和對(duì)應(yīng)θ角的可能組合為(　BC　)

A.13kBL,0° B.12kBL,0°
C.kBL,60° D.2kBL,60°
解析:若離子通過(guò)下部分磁場(chǎng)直接到達(dá)P點(diǎn),如圖甲,根據(jù)幾何關(guān)系則有R=L,由洛倫茲力提供向心力有qvB=mv2R,可得v=qBLm=kBL,根據(jù)對(duì)稱性可知,出射速度與SP成30°角向上,故出射方向與入射方向的夾角θ=60°。當(dāng)離子上、下兩部分均經(jīng)歷一次時(shí),如圖乙,


因?yàn)樯?、下兩部分磁?chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,則根據(jù)對(duì)稱性有R=12L,根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB=mv2R,可得v=qBL2m=12kBL,此時(shí)出射方向與入射方向相同,即θ=0°。通過(guò)以上分析可知,當(dāng)離子從下部分磁場(chǎng)射出時(shí),需滿足v=qBL(2n-1)m=12n-1kBL(n=1,2,3,…),此時(shí)θ=60°;當(dāng)離子從上部分磁場(chǎng)射出時(shí),需滿足v=qBL2nm=12nkBL(n=1,2,3,…),此時(shí)θ=0°。故可知B、C正確,A、D錯(cuò)誤。

1.解答帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界極值問(wèn)題的“二、二、四”技巧
兩種思路
一是以定理、定律為依據(jù),首先求出所研究問(wèn)題的一般規(guī)律和一般解的形式,然后分析、討論處于臨界狀態(tài)時(shí)的特殊規(guī)律和特殊解
二是直接分析、討論臨界狀態(tài),找出臨界條件,從而通過(guò)臨界條件求出臨界值
兩種
方法
物理
方法
(1)利用臨界條件求極值。
(2)利用邊界條件求極值。
(3)利用矢量圖求極值
數(shù)學(xué)
方法
(1)用三角函數(shù)求極值。
(2)用一元二次方程的判別式求極值。
(3)用不等式的性質(zhì)求極值。
(4)用圖像法求極值
四個(gè)結(jié)論
(1)剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。
(2)當(dāng)速率v一定時(shí),弧長(zhǎng)(或圓心角小于180°時(shí)的弦長(zhǎng))越長(zhǎng),圓心角越大,則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)。
(3)當(dāng)速率v變化時(shí),圓心角越大,運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)。
(4)在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,若帶電粒子速率v一定且運(yùn)動(dòng)軌跡圓半徑大于磁場(chǎng)區(qū)域圓半徑,則入射點(diǎn)和出射點(diǎn)為磁場(chǎng)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí),軌道對(duì)應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角最大(所有的弦中直徑最長(zhǎng))

2.常見(jiàn)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題
多解分類
多解原因
示意圖
帶電粒子電性不確定
帶電粒子可能帶正電,也可能帶負(fù)電,粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡不同

磁場(chǎng)方向不確定
題目只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小,而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向,必須考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向有兩種情況

臨界狀態(tài)不唯一
帶電粒子在飛越有界磁場(chǎng)時(shí),可能直接穿過(guò)去了,也可能從入射界面反向飛出

運(yùn)動(dòng)的
往復(fù)性
帶電粒子在空間運(yùn)動(dòng)時(shí),往往具有往復(fù)性


3.常見(jiàn)的四種運(yùn)動(dòng)類型
粒子發(fā)射速度特征
類型
歸納
粒子運(yùn)動(dòng)
特征
運(yùn)動(dòng)圖例
同向異速發(fā)射
放
縮
圓
所有的軌跡圓過(guò)發(fā)射點(diǎn),軌跡圓大小在變化,但圓心在同一直線上

等速異向發(fā)射
旋
轉(zhuǎn)
圓
所有的軌跡圓過(guò)發(fā)射點(diǎn),軌跡圓大小不變,但圓心在同一圓周上移動(dòng)

同向等速發(fā)射
平
移
圓
粒子發(fā)射速度的大小和方向不變,但入射點(diǎn)沿一直線移動(dòng)時(shí),軌跡圓在平移,但圓心在同一直線上

等速平行發(fā)射
聚
焦
圓
粒子從圓形邊界進(jìn)入磁場(chǎng),若區(qū)域圓的半徑等于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓半徑,粒子將聚焦到同一點(diǎn)


5.(2020·全國(guó)Ⅰ卷,18)一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外,其邊界如圖中虛線所示,ab為半圓,ac、bd與直徑ab共線,ac間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為 m、電荷量為q(q>0)的粒子,在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場(chǎng),這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子之間的相互作用。在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子,其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(　C　)

A.7πm6qB B.5πm4qB C.4πm3qB D.3πm2qB
解析:帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,由洛倫茲力提供向心力有qvB=mv2r,解得r=mvqB,運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=θrv=θmqB,θ為帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角,粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間由軌跡所對(duì)圓心角決定。采用放縮法,粒子垂直ac射入磁場(chǎng),則軌跡圓圓心必在直線ac上,將粒子的軌跡半徑從零開(kāi)始逐漸放大,當(dāng)r≤0.5R(R為ab的半徑)和r≥1.5R時(shí),粒子從ac、bd區(qū)域射出磁場(chǎng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于半個(gè)周期。當(dāng)0.5R

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